二、统计量

（一）统计量的概念

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$g(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$ 是 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 的函数，若 $g$ 中不含有任何未知参数，则称 $g(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$ 为样本 $(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$ 的一个统计量。设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是相应于样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 的样本值，则称 $g(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 是 $g(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$ 的观测值。

统计量是样本 $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ 的函数：$T = f(X_1,X_2,\dots ,X_n)$。统计量不依赖于任何未知参数。作为随机样本的函数，统计量也是随机变量。样本的数字特征是最常用的统计量。

（二）常用统计量（样本矩）

设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则

样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i};$
样本方差 $S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i} - \overline{X})^{2} = \frac{1}{n - 1}\left(\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{2} - n\overline{X}^{2}\right);$ 样本标准差 $S = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}.$

【注】如果总体 $X$（不管服从什么分布，只要其均值和方差存在）具有数学期望 $E(X) = \mu$ 和方差 $D(X) = \sigma^2$，则总有

\[E (\bar {X}) = E (X) = \mu , \quad D (\bar {X}) = \frac {D (X)}{n} = \frac {\sigma^ {2}}{n}, \quad E (S ^ {2}) = D (X) = \sigma^ {2}.\]

样本 $k$ 阶原点矩 $A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k}, k = 1,2,\dots ;$
样本 $k$ 阶中心矩 $B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i} - \overline{X})^{k}, k = 2,3,\dots .$

【注】

① $B _ { 2 } = \frac { n - 1 } { n } S ^ { 2 } < S ^ { 2 }$

② 如果总体 $X$ 的 $k$ 阶原点矩 $\pmb{E}(\pmb{X}^k) = \mu_k (k = 1, 2, \dots)$ 存在，则当 $n \to \infty$ 时，有

\[A _ {k} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} X _ {i} ^ {k} \xrightarrow {P} \mu_ {k}, k = 1, 2, \dots .\]

练习题

例题1

设 ( X_1, X_2, \dots, X_n $是来自总体 \( X$ 的简单随机样本，总体 ( X $的数学期望 \( E(X) = \mu$ 和方差 ( D(X) = \sigma^2 $存在。定义样本均值 \( \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 和样本方差 ( S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 $。证明：

( E(\overline{X}) = \mu $
( D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} $
( E(S^2) = \sigma^2 $

题目解答

由于 ( X_1, X_2, \dots, X_n $独立同分布，且 \( E(X_i) = \mu$，有： \[E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \mu = \mu.\]
由于 ( D(X_i) = \sigma^2 $ 且样本独立，有： \[D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.\]
利用样本方差的定义和性质： \[E(S^2) = E\left( \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \right).\] 已知 ( \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n\overline{X}^2 $，且 \( E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \right) = n(\sigma^2 + \mu^2) $，( E(n\overline{X}^2) = n\left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) = \sigma^2 + n\mu^2 $。因此： \[E\left( \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \right) = n(\sigma^2 + \mu^2) - (\sigma^2 + n\mu^2) = (n-1)\sigma^2,\] 所以： \[E(S^2) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\sigma^2 = \sigma^2.\]

例题2

设 ( X_1, X_2, \dots, X_n $是来自总体 \( X$ 的简单随机样本，定义样本 ( k $阶原点矩 \( A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^k$ 和样本 ( k $阶中心矩 \( B_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^k$。已知总体 ( X $的 \( k$ 阶原点矩 ( E(X^k) = \mu_k $ 存在。

证明当 ( n \to \infty $时，\( A_k \xrightarrow{P} \mu_k$。
若 ( k = 2 $，证明 \( B_2 = \frac{n-1}{n} S^2 $，其中 ( S^2 $ 是样本方差。

题目解答

由大数定律，由于 ( X_1^k, X_2^k, \dots, X_n^k $独立同分布，且 \( E(X_i^k) = \mu_k$，则样本均值 ( A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^k $ 满足： \[A_k \xrightarrow{P} \mu_k \quad \text{当 } n \to \infty.\]
对于 ( k = 2 $，样本二阶中心矩为： \[B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2.\] 而样本方差 ( S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 $，因此： \[B_2 = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 = \frac{n-1}{n} S^2.\]

例题3

设 ( X_1, X_2, X_3 $是来自总体 \( X$ 的简单随机样本，总体 ( X $服从参数为 \( \lambda$ 的泊松分布，即 ( X \sim P(\lambda) $。定义统计量 \( T_1 = X_1 + X_2 $，( T_2 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3} $，和 \( T_3 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} (X_i - \overline{X})^2 $，其中 ( \overline{X} = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i $。

判断 ( T_1, T_2, T_3 $ 是否为统计量，并说明理由。
若 ( \lambda = 2 $，计算 \( E(T_2) $ 和 ( D(T_2) $。

题目解答

- ( T_1 = X_1 + X_2 $是样本的函数，且不依赖未知参数 \( \lambda$，因此是统计量。
- ( T_2 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3} $ 是样本均值的函数，不依赖未知参数，是统计量。
- ( T_3 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} (X_i - \overline{X})^2 $是样本方差的函数（注意分母为 \( n-1 = 2$），不依赖未知参数，是统计量。
由于 ( X \sim P(\lambda) $，有 \( E(X) = \lambda $，( D(X) = \lambda $。当 \( \lambda = 2 $ 时：
- ( E(T_2) = E(\overline{X}) = E(X) = 2 $。
- ( D(T_2) = D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{2}{3} $。

例题4

设 ( X_1, X_2, \dots, X_n $是来自总体 \( X$ 的简单随机样本，总体 ( X $的分布未知，但 \( E(X) = \mu$ 和 ( D(X) = \sigma^2 $存在。定义样本均值 \( \overline{X}$ 和样本标准差 ( S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2} $。

证明 ( E(\overline{X}) = \mu $和 \( D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。
若 ( n = 4 $，且样本观测值为 \( 1, 3, 5, 7 $，计算 ( \overline{x} $和 \( s^2$（样本方差的观测值）。

题目解答

同例题1的证明。
样本观测值：( x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 5, x_4 = 7 $。
- 样本均值观测值：( \overline{x} = \frac{1 + 3 + 5 + 7}{4} = 4 $。
- 样本方差观测值：( s^2 = \frac{1}{4-1} \left( (1-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (7-4)^2 \right) = \frac{1}{3} (9 + 1 + 1 + 9) = \frac{20}{3} \approx 6.667 $。