二次型及其矩阵

定义6.1

$n$ 元的二次型是 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的齐二次多项式函数，一般形式为

\[\begin{aligned} f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) &= a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}x_{2} + 2a_{13}x_{1}x_{3} + \dots + 2a_{1n}x_{1}x_{n} \\ &\quad + a_{22}x_{2}^{2} + 2a_{23}x_{2}x_{3} + \dots + 2a_{2n}x_{2}x_{n} \\ &\quad + \dots \\ &\quad + a_{nn}x_{n}^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} + 2\sum_{i \neq j} a_{ij}x_{i}x_{j}. \end{aligned}\]

称其中含 $x_{i}^{2}$ 的项为平方项，称含 $x_{i}x_{j}(i\neq j)$ 的项为交叉项。

它可以用矩阵乘积的形式写出：构造对称矩阵

\[A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{array} \right]\]

记 $\pmb{X} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{\mathrm{T}}$，则

\[f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{\mathrm{T}}AX.\]

称 $\pmb{A}$ 为 $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 的矩阵，称 $\pmb{A}$ 的秩为 $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 的秩。

注意：二次型的矩阵是对称矩阵，它和二次型是互相决定的。

实二次型

如果二次型的系数都是实数，并且变量 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的变化范围也限定为实数，则称为实二次型。

考研的实际要求限于实二次型。

标准二次型

交叉项的系数都为0的二次型，也就是矩阵为对角矩阵的二次型。

规范二次型

形如 $x_{1}^{2} + \dots + x_{p}^{2} - x_{p+1}^{2} - \dots - x_{p+q}^{2}$ 的二次型，它的矩阵是规范对角矩阵：

\[\left[ \begin{array}{ccc} \boldsymbol{E}_{p} & 0 & 0 \\ 0 & -\boldsymbol{E}_{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right].\]

它由阶数 $n$ 和 $p, q$ 决定（$p, q$ 的意义就是正负惯性指数）。

练习题

例题1

写出二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 4x_1x_2 - 6x_1x_3 + 3x_2^2 + x_3^2 $ 的矩阵表示，并确定其秩。

题目解答
根据二次型的定义，矩阵 ( A $是对称矩阵，其中对角线元素 \( a_{ii}$ 是 ( x_i^2 $的系数，非对角线元素 \( a_{ij} (i \neq j)$ 是 ( x_ix_j $ 系数的一半。因此：

( a_{11} = 2 $, \( a_{22} = 3 $, ( a_{33} = 1 $
( a_{12} = a_{21} = 4/2 = 2 $, \( a_{13} = a_{31} = -6/2 = -3 $, ( a_{23} = a_{32} = 0 $（因为无 \( x_2x_3 $ 项）

矩阵为：

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

二次型可写为 ( f(\mathbf{X}) = \mathbf{X}^T A \mathbf{X} $，其中 \( \mathbf{X} = (x_1, x_2, x_3)^T $。
计算矩阵 ( A $ 的秩：通过行变换，矩阵可化为阶梯形：

\[\begin{bmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

秩为 2，因此二次型的秩为 2。

例题2

将二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 + 6x_1x_3 $ 化为标准二次型（即消除交叉项），并写出对应的对角矩阵。

题目解答
原二次型矩阵为：

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]

使用配方法消除交叉项：

集中含 ( x_1 $的项： \( x_1^2 + 4x_1x_2 + 6x_1x_3 = (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 - 4x_2^2 - 9x_3^2 - 12x_2x_3$
代入原式：
( f = (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 - 4x_2^2 - 9x_3^2 - 12x_2x_3 + 2x_2^2 + 3x_3^2 $ \( = (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 - 2x_2^2 - 6x_3^2 - 12x_2x_3$
对剩余项配平方：
( -2x_2^2 - 6x_3^2 - 12x_2x_3 = -2(x_2^2 + 6x_2x_3 + 9x_3^2) + 12x_3^2 = -2(x_2 + 3x_3)^2 + 12x_3^2 $
最终形式：
( f = (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 - 2(x_2 + 3x_3)^2 + 6x_3^2 $

令 ( y_1 = x_1 + 2x_2 + 3x_3 $, \( y_2 = x_2 + 3x_3 $, ( y_3 = x_3 $，则标准二次型为：

\[f = y_1^2 - 2y_2^2 + 6y_3^2\]

对应对角矩阵为：

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\]

例题3

判断二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3 $ 是否为规范二次型。如果不是，将其化为规范二次型，并指出正负惯性指数。

题目解答
首先写出矩阵：

\[A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\]

计算特征值以确定惯性指数：

特征多项式： ( \det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 4 = -(\lambda - 2)(\lambda^2 - \lambda - 2) = -(\lambda - 2)^2(\lambda + 1) $
特征值： ( \lambda = 2 $（二重）, \( \lambda = -1 $

正惯性指数 ( p = 2 $（对应特征值 2），负惯性指数 \( q = 1 $（对应特征值 -1）。
规范二次型为：

\[f = y_1^2 + y_2^2 - y_3^2\]

其中 ( y_1, y_2, y_3 $是通过正交变换得到的新变量。因此，原二次型不是规范二次型，但可化为规范形 \( y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，正惯性指数为 2，负惯性指数为 1。