一、极限的概念与性质
（一）极限的定义
定义1.1（数列的极限）
\(\lim_{n\to \infty}x_n = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists\) 正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时就有 \(|x_{n} - A| < \varepsilon\)
若数列 \(\{x_{n}\}\) 存在极限（有限数），又称数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛，否则称数列 \(\{x_{n}\}\) 发散。
定义1.2（函数的极限）
\(\lim_{x\to \infty}f(x) = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists\) 正数 \(X\)，使得当 \(|x| > X\) 时就有
\[\left| f (x) - A \right| < \varepsilon .\]类似可定义单侧极限 \(\lim_{x\to +\infty}f(x) = A\) 与 \(\lim_{x\to -\infty}f(x) = A\)
注：在函数极限情形下 \(x \to \infty\) 与数列极限中 \(n \to \infty\) 的意义不同，前者是指 \(x \to \pm \infty\)，而后者是指 \(n \to +\infty\)。
定义1.3（函数的极限）
\(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists\) 正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时有 \(|f(x) - A| < \varepsilon\)
类似可定义 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时左极限 \(f(x_0 - 0)\) 与右极限 \(f(x_0 + 0)\)：
\[f (x _ {0} - 0) = \lim _ {x \rightarrow x _ {0} - 0} f (x) = A, f (x _ {0} + 0) = \lim _ {x \rightarrow x _ {0} + 0} f (x) = A.\]（二）极限的基本性质
1. 数列极限的基本性质
定理1.1（极限的不等式性质）
设 \(\lim_{n\to \infty}x_n = a,\quad \lim_{n\to \infty}y_n = b\)
(1) 若 \(a > b\)，则 \(\exists N\)，当 \(n > N\) 时有 \(x_{n} > y_{n}\)
(2) 若 \(n > N\) 时 \(x_{n} \geqslant y_{n}\)，则 \(a \geqslant b\)
定理1.2（收敛数列的有界性）
设数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛，则数列 \(\{x_{n}\}\) 有界（即 \(\exists\) 常数 \(M > 0, |x_{n}| \leqslant M, n = 1, 2, \dots\)）
2. 函数极限的基本性质
定理1.3（极限的不等式性质）
设 \(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\)，\(\lim_{x\to x_0}g(x) = B\)
(1) 若 \(A > B\)，则 \(\exists \delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时有 \(f(x) > g(x)\)
(2) 若 \(\exists \delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时有 \(f(x) \geq g(x)\)，则 \(A \geq B\)
注：若（2）中的条件"\(f(x) \geq g(x)\)"改为"\(f(x) > g(x)\)"，其他条件保持不变，则结论仍是"\(A \geqslant B\)"
推论（极限的保号性）
设 \(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\)
（1）若 \(A > 0\)，则 \(\exists \delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时有 \(f(x) > 0\)
（2）若 \(\exists \delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时有 \(f(x) \geqslant 0\)，则 \(A \geqslant 0\)
定理1.4（存在极限的函数局部有界性）
设存在极限 \(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\)，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某空心邻域 \(U_{0}(x_{0},\delta) = \{x|0 < |x - x_{0}| < \delta \}\) 内有界，即 \(\exists \delta >0\) 与 \(M > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时有 \(|f(x)|\leqslant M\)
注：其他极限过程如 \(x \to x_0 + 0, x \to x_0 - 0, x \to +\infty, x \to -\infty\) 等也有类似的结论
（三）两个重要极限
\[\lim _ {x \to 0} {\frac {\sin x}{x}} = 1, \qquad \lim _ {x \to \infty} \left(1 + {\frac {1}{x}}\right) ^ {x} = e \quad \text{或} \quad \lim _ {x \to 0} (1 + x) ^ {\frac {1}{x}} = e, \quad \lim _ {x \to 0} {\frac {\ln (1 + x)}{x}} = 1 \tag {1.1}\]例1.1
判断下列结论是否正确，并证明你的判断
（I）若 \(x_{n} < y_{n}(n > N)\)，且存在极限 \(\lim_{n\to \infty}x_n = A\)，\(\lim_{n\to \infty}y_n = B\)，则 \(A < B\)
（Ⅱ）设 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 有定义，又 \(\exists c\in (a,b)\) 使得极限 \(\lim_{x\to c}f(x) = A\)，则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 有界
（Ⅲ）若 \(\lim_{x\to a}f(x) = \infty\)，则 \(\exists \delta >0\) 使得当 \(0 < |x - a| < \delta\) 时 \(\frac{1}{f(x)}\) 有界
解
（I）不正确。在题设下只能保证 \(A\leqslant B\)，不能保证 \(A < B\)。例如，\(x_{n} = \frac{1}{n},y_{n} = \frac{2}{n}\) 则 \(x_{n} < y_{n}\) 而 \(\lim_{n\to \infty}x_n = \lim_{n\to \infty}y_n = 0\)
评注：若 \(\lim_{n\to \infty}x_n\) 与 \(\lim_{n\to \infty}y_n\) 都存在，则对不等式 \(x_{n} < y_{n}(n > N)\) 两边当 \(n\to \infty\) 时取极限，除保持不等号外还应加上等号，即 \(\lim_{n\to \infty}x_n\leqslant \lim_{n\to \infty}y_n\)
（Ⅱ）不正确。这时只能保证：点 \(c\) 的一个空心邻域 \(U_{0}(c,\delta) = \{x|0 < |x - c| < \delta\}\) 使 \(f(x)\) 在 \(U_{0}(c,\delta)\) 中有界，一般不能保证 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 有界。例如：\(f(x) = \frac{1}{x},\quad (a,b) = (0,1)\)，取定 \(c\in (0,1)\)，则 \(\lim_{x \to c} f(x) = \frac{1}{c}\)，但 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \((0,1)\) 无界
（Ⅲ）正确。因为 \(\lim_{x \to a} f(x) = \infty \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = 0\)，由存在极限的函数的局部有界性 \(\Rightarrow \exists \delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - a| < \delta\) 时 \(\frac{1}{f(x)}\) 有界
练习题
例题1
题目内容
设数列 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\) 满足 \(x_n \leq y_n\) 对所有 \(n > N\) 成立，且 \(\lim_{n \to \infty} x_n = A\) 和 \(\lim_{n \to \infty} y_n = B\) 均存在。证明：\(A \leq B\)。
题目解答
根据极限的不等式性质（定理1.1(2)），若当 \(n > N\) 时 \(x_n \leq y_n\)，则取极限后满足 \(A \leq B\)。
证明过程：
由极限定义，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N_1\) 和 \(N_2\) 使得当 \(n > \max(N, N_1, N_2)\) 时，有 \(|x_n - A| < \varepsilon\) 和 \(|y_n - B| < \varepsilon\)。
假设 \(A > B\)，取 \(\varepsilon = (A - B)/2 > 0\)，则当 \(n\) 足够大时，\(x_n > A - \varepsilon = (A + B)/2\) 且 \(y_n < B + \varepsilon = (A + B)/2\)，这与 \(x_n \leq y_n\) 矛盾。因此 \(A \leq B\)。
例题2
题目内容
判断以下命题是否正确，并说明理由：
若函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处存在极限 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有界。
题目解答
正确。根据函数极限的局部有界性（定理1.4），若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则存在 \(\delta > 0\) 和 \(M > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x)| \leq M\)。这表示 \(f(x)\) 在空心邻域 \(U_0(x_0, \delta)\) 内有界。
例题3
题目内容
计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)。
题目解答
利用重要极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)：
其中令 \(u = 3x\)，当 \(x \to 0\) 时 \(u \to 0\)。
例题4
题目内容
设 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0\)，证明存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(f(x) > 0\)。
题目解答
根据极限的保号性（推论(1)），若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0\)，则存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(f(x) > 0\)。
证明过程：取 \(\varepsilon = A/2 > 0\)，由极限定义，存在 \(\delta > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(|f(x) - A| < A/2\)，即 \(f(x) > A - A/2 = A/2 > 0\)。
例题5
题目内容
判断以下命题是否正确，并给出反例：
若函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内某点 \(c\) 处存在极限，则 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内有界。
题目解答
不正确。反例：设 \(f(x) = 1/x\)，区间 \((a, b) = (0, 1)\)，取 \(c = 0.5 \in (0, 1)\)。则 \(\lim_{x \to c} f(x) = 2\)，但 \(f(x)\) 在 \((0, 1)\) 内无界（当 \(x \to 0^+\) 时，\(f(x) \to +\infty\)）。
根据定理1.4，极限存在仅保证局部有界性，而非全局有界性。
例题6
题目内容
计算极限：\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x\)。
题目解答
利用重要极限 \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)：
其中令 \(u = x/2\)，当 \(x \to \infty\) 时 \(u \to \infty\)。