第六章 二次型
练习题
例题1
设 ( A \(是一个 \( n \times n\) 实对称矩阵，( \mathbf{x} \(是一个 \( n\) 维实向量。定义二次型 ( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \(。证明：如果 \( A \) 是正定矩阵，那么对于所有非零向量 ( \mathbf{x} \(，有 \( Q(\mathbf{x}) > 0 \)。
题目解答
由于 ( A \(是实对称矩阵，根据谱定理，\( A\) 可以对角化为 ( A = PDP^T \(，其中 \( P \) 是正交矩阵，( D \(是对角矩阵，其对角线元素是 \( A\) 的特征值。设 ( \mathbf{y} = P^T \mathbf{x} \(，则 \( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{y}^T D \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \)，其中 ( \lambda_i \(是 \( A\) 的特征值。由于 ( A \(正定，所有特征值 \( \lambda_i > 0\)。对于非零向量 ( \mathbf{x} \(，\( \mathbf{y} \) 也是非零（因为 ( P \(可逆），因此 \( \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 > 0\)。故 ( Q(\mathbf{x}) > 0 $。
例题2
考虑二次型 ( Q(x, y) = 2x^2 + 4xy + 5y^2 $。将其写成矩阵形式，并判断其正定性。
题目解答
二次型 ( Q(x, y) = 2x^2 + 4xy + 5y^2 \(可以写成矩阵形式 \( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)，其中 ( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} \(，\( A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \)（注意对称矩阵的构造：交叉项系数平分到对称位置）。
计算 ( A \(的特征值：解特征方程 \( \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(5-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0\)，解得 ( \lambda = 1 \(或 \( \lambda = 6\)。两个特征值均大于 0，因此 ( A \(正定，二次型 \( Q(x, y)\) 正定。
例题3
设二次型 ( Q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 6x_2x_3 $。通过配方法将其化为标准型。
题目解答
原二次型：
( Q = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 6x_2x_3 \(。
首先，对 \( x_1 \) 配方：
( Q = (x_1^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3) + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 6x_2x_3 \(
\( = [x_1^2 + 2x_1(x_2 + 2x_3)] + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 6x_2x_3\)
( = [x_1 + (x_2 + 2x_3)]^2 - (x_2 + 2x_3)^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 6x_2x_3 \(。
展开并简化：
\( - (x_2^2 + 4x_2x_3 + 4x_3^2) + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 6x_2x_3 = x_2^2 + 2x_2x_3 - x_3^2 \)。
现在对 ( x_2 \(配方：
\( x_2^2 + 2x_2x_3 - x_3^2 = (x_2 + x_3)^2 - x_3^2 - x_3^2 = (x_2 + x_3)^2 - 2x_3^2\)。
因此，标准型为：
( Q = [x_1 + x_2 + 2x_3]^2 + [x_2 + x_3]^2 - 2x_3^2 $。
（注：这里使用了变量替换，但未完全对角化；标准型通常指平方和形式，可能带系数。）
例题4
证明：实二次型 ( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \(的秩等于矩阵 \( A\) 的秩。
题目解答
设 ( A \(是 \( n \times n\) 实对称矩阵。二次型的秩定义为在非退化线性替换下，标准型中非零平方项的个数。根据惯性定理，实二次型可以通过正交变换化为 ( Q(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^r \lambda_i y_i^2 \(，其中 \( r \) 是 ( A \(的秩（因为 \( A\) 实对称，秩等于非零特征值个数）。因此，二次型的秩等于 ( r \(，即矩阵 \( A \) 的秩。
例题5
给定二次型 ( Q(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz $。判断其是否正定，并说明理由。
题目解答
二次型矩阵为 ( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \(。
计算特征值：\( A \) 的秩为 1，因为所有行相同。特征值可以通过解 ( \det(A - \lambda I) = 0 \(得到：
\( \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^3 + 2 - 3(1-\lambda) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 = -\lambda^2(\lambda - 3)\)。
特征值为 ( \lambda = 0 \(（二重）和 \( \lambda = 3 \)。由于有零特征值，矩阵不是正定的，因此二次型不是正定的（例如，取 ( x = 1, y = -1, z = 0 \(，则 \( Q = 0 \)）。