二、随机事件的概率
（一）概率与条件概率的概念
概率与长度、面（体）积、质量…是同一类概念，是一种度量。概率是事件 \(A\) 出现可能性大小的数值度量，记为 \(P(A)\)。
1. 概率的公理化定义
称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 的概率，如果 \(P(\cdot)\) 满足下列条件：
（1）非负性 对于每一个事件 \(A\)，有 \(P(A)\geqslant 0\)
（2）规范性 对于必然事件 \(\Omega\)，有 \(P(\Omega) = 1\)
（3）可列可加性 设事件 \(A_{1}, \cdots, A_{n}, \cdots\) 两两互不相容，即对于 \(i \neq j, A_{i}A_{j} = \emptyset (i, j = 1, 2, \cdots)\)，则
2. 条件概率
设 \(A, B\) 是两个事件，且 \(P(A) > 0\)，则称在已知事件 \(A\) 发生的条件下事件 \(B\) 发生的概率为条件概率，记为 \(P(B \mid A)\)，并定义
\[P (B \mid A) = \frac {P (A B)}{P (A)} \quad (P (A) > 0).\]【注】
① 条件概率 \(P(\cdot \mid A)\) 也是一种概率，概率的一切性质和重要结论对条件概率都适用
② 计算条件概率 \(P(B \mid A)\) 的两种方法：
方法 \(1^{\circ}\) 按条件概率的含义，直接求出 \(P(B \mid A)\)，注意到，在求 \(P(B \mid A)\) 时已知事件 \(A\) 已发生，样本空间 \(\Omega\) 中所有不属于 \(A\) 的样本点都被排除，原有的样本空间 \(\Omega\) 缩减成为 \(\Omega' = A\)。在缩减了的样本空间 \(\Omega' = A\) 中计算事件 \(B\) 的概率就得到 \(P(B \mid A)\)。
方法 \(2^{\circ}\) 在 \(\Omega\) 中计算 \(P(AB)\) 及 \(P(A)\)，再按条件概率的定义式求得 \(P(B \mid A)\)。
（二）概率的基本性质和基本公式
1. 概率的基本性质
【性质1】 \(P(\varnothing) = 0\)
【性质2】有限可加性 设事件 \(A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}\) 两两互不相容，则
\[P \left(A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n}\right) = P \left(A _ {1}\right) + P \left(A _ {2}\right) + \dots + P \left(A _ {n}\right).\]【性质3】减法公式 如果 \(A, B\) 是任意事件，则 \(P(A - B) = P(A) - P(AB)\)
如果 \(A \supset B\)，则 \(P(A - B) = P(A) - P(B), P(A) \geqslant P(B)\)。
【性质4】对于任一事件 \(A\)，有 \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)
【性质5】逆事件的概率 对于任一事件 \(A\)，有 \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
【性质6】加法公式 对于任意三个事件 \(A,B,C\)，有
（1）\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)
（2）\(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)\)
【注】在计算一些事件和的概率，即计算若干个事件中至少有一个事件发生的概率时，用概率的加法公式，但有时用对立事件的性质比较方便。特别是当这些事件相互独立的时候。
2. 概率的基本公式
（1）乘法公式
\[\begin{aligned} P (A B) &= \left\{ \begin{array}{l l} {P (A) P (B \mid A),} & {\text {当} P (A) > 0,} \\ {P (B) P (A \mid B),} & {\text {当} P (B) > 0;} \end{array} \right. \\ P \left(A _ {1} A _ {2} \dots A _ {n}\right) &= P \left(A _ {1}\right) P \left(A _ {2} \mid A _ {1}\right) P \left(A _ {3} \mid A _ {1} A _ {2}\right) \dots P \left(A _ {n} \mid A _ {1} \dots A _ {n - 1}\right) \\ & \quad (P \left(A _ {1} \dots A _ {n - 1}\right) > 0) \end{aligned}\]【注】当 \(A_{i}\) 先于 \(A_{i + 1}\) 发生时用乘法公式。
（2）全概率公式
如果事件 \(A_{1}, \cdots, A_{n}\) 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为 \(\Omega\)；并且 \(P(A_{i}) > 0, i = 1, \ldots, n\)，则对任意事件 \(B\)，有
\[P (B) = \sum_ {i = 1} ^ {n} P \left(B A _ {i}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} P \left(A _ {i}\right) P \left(B \mid A _ {i}\right).\]特别地，上式中取 \(n = 2\)，并将 \(A_{1}\) 记为 \(A\)，此时 \(A_{2}\) 就是 \(\overline{A}\)，那么全概率公式成为
\[P (B) = P (A) P (B | A) + P (\bar {A}) P (B | \bar {A}).\]（3）贝叶斯公式
如果事件 \(A_{1}, \cdots, A_{n}\) 构成一个完备事件组，且 \(P(A_{i}) > 0, i = 1, \cdots, n, P(B) > 0\)，则对正整数 \(m\)，有
\[P (A _ {m} \mid B) = \frac {P (B A _ {m})}{P (B)} = \frac {P (A _ {m}) P (B \mid A _ {m})}{\sum_ {i = 1} ^ {n} P (A _ {i}) P (B \mid A _ {i})} (1 \leqslant m \leqslant n).\]特别地，上式中取 \(n = 2\)，并将 \(A_{1}\) 记为 \(A\)，此时 \(A_{2}\) 就是 \(\overline{A}\)，那么贝叶斯公式成为条件概率公式，即
\[P (A \mid B) = \frac {P (A B)}{P (B)} \xlongequal {\text {乘 法 公 式}} \frac {P (B) P (A \mid B)}{P (A) P (B \mid A) + P (\overline {{A}}) P (B \mid \overline {{A}})}.\]【注】全概率公式与贝叶斯公式使用的关键是要找到导致事件 \(B\) 发生的完备事件组。
（三）概率的计算
1. 直接计算
在某些情况下，利用试验结果的等可能性，可以直接计算随机事件的概率。
（1）古典型概率
如果试验只有 \(n\) 个基本事件，并且每一个基本事件出现的可能性相同，对于该试验的事件 \(A\)，则有
\[P (A) = \frac {A \text {所 包 含 的 基 本 事 件 个 数} k}{\text {基 本 事 件 的 总 数} n} = \frac {k}{n}.\]（2）几何型概率
若试验的样本空间是几何区域（直线、面积或体积），其度量大小可用 \(S_{\Omega}\) 表示，且任意点落在度量相同的子区域内是等可能的。当事件 \(A\) 为 \(\Omega\) 的某一子区域，其度量为 \(S_{A}\)，则事件 \(A\) 的概率为
\[P (A) = \frac {S _ {A}}{S _ {\Omega}}.\]【注】
① 古典概型与几何概型都有某种等可能性，或者说”均匀性”。两个概型的区别在于：几何样本空间是无限（不可列）的，而古典概型的样本空间是有限的。
② 古典概型问题的主要计算工具是排列和组合，而几何概型问题的主要计算工具是用几何方法计算长度、面积等，也会用到微积分计算。
③ 古典概型的难点在于当选定样本空间后，正确计算事件 \(A\) 所包含样本点的个数；而几何概型难在模型化（如候车问题、会面问题等）：如何化为数学问题。
2. 用频率估计概率
用事件 \(A\) 在大量重复试验中出现的频率 \(f_{n}(A) = \frac{A\text{在}n\text{次试验中出现的次数}k}{\text{试验次数}n}\) 作为概率 \(P(A)\) 的近似值。
3. 概率的推算
利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由简单事件的概率推算较复杂事件的概率。
4. 利用概率分布计算概率
利用随机变量的概率分布，计算与随机变量相联系的事件的概率（见第二章相关内容）。
例题
【例1.4】
抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于8的概率。
【解】设 \(A\) 表示事件”第一枚骰子出现的点数能够被3整除”，\(B\) 表示事件”两枚骰子出现的点数之和大于8”。抛掷两枚骰子所出现的点数为 \((i,j)(i,j = 1,2,\dots,6)\)，其中 \(i,j\) 分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有 \(6^2 = 36\) 种结果，即有36个基本事件。抛掷第一枚骰子出现3点或6点时，才能被3整除，因此事件 \(A\) 包含2个基本事件，从而
\[P (A) = \frac {2}{6} = \frac {1}{3}.\]事件 \(A\) 和事件 \(B\) 的交 \(AB = \{(3,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}\)，即包含5个基本事件，因此 \(P(AB) = \frac{5}{36}\)。
所求概率即为条件概率
\[P (B \mid A) = \frac {P (A B)}{P (A)} = \frac {\frac {5}{3 6}}{\frac {1}{3}} = \frac {5}{1 2}.\]评注 ① 如果考虑到事件 \(A\) 包含 \(2 \times 6 = 12\) 个基本事件，在这12个基本事件中能够导致事件 \(B\) 发生的基本事件有5个，则所求的条件概率 \(P(B|A) = \frac{5}{12}\)。
② 古典概型中概率的计算关键是正确计算出样本空间 \(\Omega\) 与所求事件 \(A\) 中的基本事件数，其中较困难的是事件 \(A\) 的基本事件数的计算，既不能漏算，也不能重复计算。
【例1.5】
在区间(0,1)中任取两数，求这两数乘积大于0.25的概率。
【解】设 \(x\) 与 \(y\) 为从 \((0,1)\) 中取出的两个数，记事件 \(A\) 表示”\(x\) 与 \(y\) 之积大于0.25”，则
\[\Omega = \{(x, y) \mid 0 < x, y < 1 \},\] \[A = \{(x, y) \mid x y > 0. 2 5, (x, y) \in \Omega \}.\]\(\Omega, A\) 的图形如图1.1所示，由几何概率定义得
\[\begin{aligned} P (A) &= \frac {A \text {的 面 积}}{\Omega \text {的 面 积}} \\ &= \int_ {0. 2 5} ^ {1} \left(\int_ {0. 2 5 / x} ^ {1} 1 \mathrm {d} y\right) \mathrm {d} x = \int_ {0. 2 5} ^ {1} \left(1 - \frac {0 . 2 5}{x}\right) \mathrm {d} x \\ &= \left. \left(x - \frac {1}{4} \ln x\right) \right| _ {\frac {1}{+}} ^ {1} = 0. 4 0 3 4. \end{aligned}\]评注几何型概率是借助几何度量计算事件的概率，因此，解此类问题首先画出题目涉及的图形，然后正确计算题中所涉及的几何图形的面积或体积。
【例1.6】
已知 \(P(A) = 0.5, P(B) = 0.6, P(B \mid A) = 0.8\)，求 \(P(A \cup B)\) 和 \(P(B \mid A)\)。
【解】由题设及乘法公式有
\[P (A B) = P (A) P (B | A) = 0. 5 \times 0. 8 = 0. 4,\]从而依题设及加法公式有
\[P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0. 5 + 0. 6 - 0. 4 = 0. 7.\]由条件概率的定义有
\[\begin{aligned} P (B \mid \bar {A}) &= P (B \bar {A}) / P (\bar {A}) = [ P (B) - P (B A) ] / [ 1 - P (A) ] \\ &= (0. 6 - 0. 4) / (1 - 0. 5) = 0. 4. \end{aligned}\]评注 ① 本题解法较多，中间过程可以去计算 \(P(\overline{B} \mid \overline{A}), P(\overline{B} \mid \overline{A})\) 等。读者可以作为一个练习，熟练运用常用的概率公式。
② 概率的加法、减法与乘法等基本公式要想灵活应用，还应注意与事件的关系和运算法则相结合，特别是在事件具备某种关系（如互不相容、相互对立、完备组、相互独立以及包含等）时，有关概率公式的使用。以乘法公式为例（其他公式请读者自己总结）：对两个事件 \(A, B\)，有
【例1.7】
在一个盒子中放有10个乒乓球，其中8个是新球，2个是用过的球。在第一次比赛时，从该盒子中任取2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中。在第二次比赛时从这个盒子中任取3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为
【分析】在第一次比赛时从盒子中任取的2个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有1个新球1个用过的球，也可能全是新球。设 \(A_{i}\) 表示事件”在第一次比赛时取出的2个球中有 \(i\) 个是新球，其余是用过的球” \((i = 0,1,2)\)，\(B\) 表示事件”在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有
\[\begin{aligned} P \left(A _ {0}\right) &= \frac {\mathrm {C} _ {2} ^ {2}}{\mathrm {C} _ {1 0} ^ {2}} = \frac {1}{4 5}, \\ P (B \mid A _ {0}) &= \frac {\mathrm {C} _ {8} ^ {3}}{\mathrm {C} _ {1 0} ^ {3}} = \frac {7}{1 5}, \\ P \left(A _ {1}\right) &= \frac {\mathrm {C} _ {8} ^ {1} \mathrm {C} _ {2} ^ {1}}{\mathrm {C} _ {1 0} ^ {2}} = \frac {1 6}{4 5}, \\ P (B \mid A _ {1}) &= \frac {\mathrm {C} _ {7} ^ {3}}{\mathrm {C} _ {1 0} ^ {3}} = \frac {7}{2 4}, \\ P \left(A _ {2}\right) &= \frac {\mathrm {C} _ {8} ^ {2}}{\mathrm {C} _ {1 --- # 练习题 ### 例题1 **题目内容** 设事件 \( A $ 和 \( B $ 满足 \( P(A) = 0.6 $, \( P(B) = 0.4 $, 且 \( P(A \cup B) = 0.8 $。 (1) 求 \( P(A \cap B) $。 (2) 求 \( P(B \mid A) $。 (3) 判断事件 \( A $ 和 \( B $ 是否独立。 **题目解答** (1) 由加法公式： \]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\[代入已知： \]0.8 = 0.6 + 0.4 - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = 0.2
\[(2) 由条件概率定义： \]P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}
\[(3) 若 \( A $ 和 \( B $ 独立，则 \( P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 $。 但实际 \( P(A \cap B) = 0.2 \neq 0.24 $，故 \( A $ 和 \( B $ 不独立。 --- ### 例题2 **题目内容** 甲、乙两人独立射击同一目标，甲命中的概率为 0.7，乙命中的概率为 0.6。 求目标被命中的概率。 **题目解答** 设 \( A $ = “甲命中”，\( B $ = “乙命中”，则 \( P(A) = 0.7 $, \( P(B) = 0.6 $。 目标被命中即 \( A \cup B $。由加法公式： \]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\[由于 \( A $ 和 \( B $ 独立，\( P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.7 \times 0.6 = 0.42 $。 代入得： \]P(A \cup B) = 0.7 + 0.6 - 0.42 = 0.88
\[故目标被命中的概率为 0.88。 --- ### 例题3 **题目内容** 一批产品共有 10 件，其中 3 件次品。从中无放回地抽取 2 件，求： (1) 第一次抽到次品的概率； (2) 在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率。 **题目解答** (1) 设 \( A $ = “第一次抽到次品”，则 \]P(A) = \frac{3}{10}
\[(2) 设 \( B $ = “第二次抽到次品”，所求为 \( P(B \mid A) $。 在 \( A $ 发生的条件下，剩余 9 件产品中有 2 件次品，故 \]P(B \mid A) = \frac{2}{9}
\[（也可用条件概率公式验证： \]P(A \cap B) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15}, \quad P(B \mid A) = \frac{1/15}{3/10} = \frac{2}{9}
\[ --- ### 例题4 **题目内容** 某工厂有甲、乙两条生产线，甲线生产的产品占 60%，乙线占 40%。甲线的次品率为 1%，乙线的次品率为 2%。 现从总产品中随机抽取一件： (1) 求抽到次品的概率； (2) 若抽到的是次品，求它来自甲线的概率。 **题目解答** 设 \( A_1 $ = “产品来自甲线”，\( A_2 $ = “产品来自乙线”，\( B $ = “抽到次品”。 已知： \]P(A_1) = 0.6, \quad P(A_2) = 0.4, \quad P(B \mid A_1) = 0.01, \quad P(B \mid A_2) = 0.02
\[(1) 由全概率公式： \]P(B) = P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) = 0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02 = 0.014
\[(2) 由贝叶斯公式： \]P(A_1 \mid B) = \frac{P(A_1)P(B \mid A_1)}{P(B)} = \frac{0.6 \times 0.01}{0.014} = \frac{3}{7}
\[ --- ### 例题5 **题目内容** 在区间 \([0, 2]$ 上随机取两个数 \( x $ 和 \( y $，求 \( x + y \leq 1 $ 的概率。 **题目解答** 样本空间 \( \Omega = \{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq 2\} $，面积为 \( S_\Omega = 4 $。 事件 \( A = \{(x, y) \mid x + y \leq 1\} $ 是直线 \( x + y = 1 $ 以下且在 \([0,2]^2$ 内的区域， 该区域为直角三角形，顶点为 \((0,0), (1,0), (0,1)$，面积 \( S_A = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5 $。 由几何概型： \]P(A) = \frac{S_A}{S_\Omega} = \frac{0.5}{4} = 0.125
\[ --- ### 例题6 **题目内容** 设 \( P(A) = 0.5 $, \( P(B) = 0.6 $, \( P(A \mid B) = 0.8 $。 求 \( P(A \cup B) $ 和 \( P(\overline{A} \mid \overline{B}) $。 **题目解答** 由乘法公式： \]P(A \cap B) = P(B)P(A \mid B) = 0.6 \times 0.8 = 0.48
\[由加法公式： \]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.48 = 0.62
\[由德摩根律： \]P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 0.38
\[\]P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.4
\[故： \]P(\overline{A} \mid \overline{B}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0.38}{0.4} = 0.95
\[\]