第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用

---

练习题

例题1

计算二重积分 \(\iint_D (x + y) \, dA\)，其中 \(D\) 是由直线 \(x = 0\)、\(y = 0\) 和 \(x + y = 1\) 所围成的三角形区域。

解答
区域 \(D\) 可以描述为 \(0 \leq x \leq 1\)，\(0 \leq y \leq 1 - x\)。因此，积分变为：

\[\iint_D (x + y) \, dA = \int_0^1 \int_0^{1-x} (x + y) \, dy \, dx\]

先计算内层积分：

\[\int_0^{1-x} (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} = x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2}\]

简化：

\[x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2} = x - x^2 + \frac{1 - 2x + x^2}{2} = \frac{2x - 2x^2 + 1 - 2x + x^2}{2} = \frac{1 - x^2}{2}\]

现在计算外层积分：

\[\int_0^1 \frac{1 - x^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

因此，\(\iint_D (x + y) \, dA = \frac{1}{3}\)。

---

例题2

计算三重积分 \(\iiint_E z \, dV\)，其中 \(E\) 是由平面 \(z = 0\)、\(z = 1\)、\(x = 0\)、\(y = 0\) 和 \(x + y = 1\) 所围成的区域。

解答
区域 \(E\) 可以描述为 \(0 \leq z \leq 1\)，\(0 \leq x \leq 1\)，\(0 \leq y \leq 1 - x\)。因此，积分变为：

\[\iiint_E z \, dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^{1-x} z \, dy \, dx \, dz\]

先计算最内层积分（关于 \(y\)）：

\[\int_0^{1-x} z \, dy = z \cdot (1 - x)\]

然后计算中间层积分（关于 \(x\)）：

\[\int_0^1 z(1 - x) \, dx = z \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = z \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{z}{2}\]

最后计算最外层积分（关于 \(z\)）：

\[\int_0^1 \frac{z}{2} \, dz = \frac{1}{2} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

因此，\(\iiint_E z \, dV = \frac{1}{4}\)。

---

例题3

使用极坐标计算二重积分 \(\iint_D e^{-x^2 - y^2} \, dA\)，其中 \(D\) 是圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 1\)。

解答
在极坐标下，\(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)，且 \(dA = r \, dr \, d\theta\)。积分区域变为 \(0 \leq r \leq 1\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。因此：

\[\iint_D e^{-x^2 - y^2} \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 e^{-r^2} \cdot r \, dr \, d\theta\]

先计算内层积分（关于 \(r\)）： 令 \(u = r^2\)，则 \(du = 2r \, dr\)，所以 \(r \, dr = \frac{du}{2}\)。当 \(r = 0\) 时，\(u = 0\)；当 \(r = 1\) 时，\(u = 1\)。因此：

\[\int_0^1 e^{-r^2} \cdot r \, dr = \int_0^1 e^{-u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_0^1 = \frac{1}{2} (1 - e^{-1})\]

然后计算外层积分（关于 \(\theta\)）：

\[\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \, d\theta = \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \cdot 2\pi = \pi (1 - e^{-1})\]

因此，\(\iint_D e^{-x^2 - y^2} \, dA = \pi (1 - e^{-1})\)。

---

例题4

求由曲面 \(z = x^2 + y^2\) 和平面 \(z = 4\) 所围成的立体的体积。

解答
立体在 \(xy\)-平面上的投影是圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 4\)。体积可以通过二重积分计算：

\[V = \iint_D (4 - (x^2 + y^2)) \, dA\]

使用极坐标：\(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)，\(dA = r \, dr \, d\theta\)，且区域为 \(0 \leq r \leq 2\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。因此：

\[V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) \cdot r \, dr \, d\theta\]

先计算内层积分：

\[\int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = 2 \cdot 4 - \frac{16}{4} = 8 - 4 = 4\]

然后计算外层积分：

\[\int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot 2\pi = 8\pi\]

因此，体积为 \(8\pi\)。