二、幂级数
（一）函数项级数的有关概念
1. 收敛点与收敛域
对于函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 的基本要求是 \(u_n(x) (n = 1,2,\dots)\) 有共同的定义域 \(I\)。若 \(x_0 \in I\)，常数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)\) 收敛，则称 \(x_0\) 为 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 的收敛点，否则就是发散点。所有收敛点构成的集合就是收敛域，所有发散点构成的集合就是发散域。
【注】求函数项级数的收敛域时，主要是利用收敛域的定义及有关的常数项级数的判敛法。
2. 和函数
函数项级数在其收敛域内有和，其值与收敛点 \(x\) 有关，记作 \(S(x)\)，\(S(x)\) 称为级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 的和函数，即 \(S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\)（\(x\) 属于收敛域）。
【例11.3】求函数项级数 \(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{2n - 1}\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)^n\) 的收敛域
【解】注意 \(\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2n - 1} = 1\)，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left| u_{n} (x) \right|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{2 n - 1}} \left| \frac{1 - x}{1 + x} \right| = \left| \frac{1 - x}{1 + x} \right|.\]当 \(\left|\frac{1 - x}{1 + x}\right| < 1\)，即 \(x > 0\) 时，原级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^n\) 绝对收敛；
当 \(\left|\frac{1 - x}{1 + x}\right| > 1\)，即 \(x < 0\) 时，原级数发散（\(x = -1\) 除外），因为一般项不是无穷小量；
当 \(x = 0\) 时，原级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\) 为收敛的交错级数。
因此，级数 \(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{2n - 1}\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)^n\) 的收敛域为 \([0, + \infty)\)。
（二）幂级数的收敛特点及其收敛域
1. 幂级数的定义
幂级数是一种简单的函数项级数。形如 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) 的级数称为 \(x - x_0\) 的幂级数，其中 \(a_n (n = 0,1,2,\dots)\) 为常数，称为幂级数的系数。当 \(x_0 = 0\) 时，\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 称为 \(x\) 的幂级数。
2. 幂级数收敛的特点
设有幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n\)，它的收敛性有以下特点：
（1）阿贝尔定理 如果幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n\) 当 \(x = x_0\neq 0\) 时收敛，则该幂级数在满足 \(\left|x\right| < \left|x_0\right|\) 的所有 \(x\) 处绝对收敛；如果幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n\) 当 \(x = x_{1}\) 时发散，则该幂级数在满足 \(\left|x\right| > \left|x_1\right|\) 的所有 \(x\) 处发散。
（2）存在收敛区间与收敛半径。若幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 存在非零的收敛点，也存在发散点，则存在实数 \(R (0 < R < +\infty)\)，使得若 \(x \in (-R, R)\)，则该级数收敛。若 \(x \in (-\infty, -R) \cup (R, +\infty)\)，则该级数发散（\(|x| = R\) 时的敛散性另行考虑），其中 \(R\) 称为级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛半径。（\(-R, R\)）称为幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛区间。将幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛区间 \((-R, R)\) 与使该幂级数收敛的端点 \(x = -R\) 或 \(x = R\) 一起构成的集合称为该幂级数的收敛域。如果幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 只在 \(x = 0\) 点收敛，规定收敛半径 \(R = 0\)，例如：\(\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n\)；如果 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 在整个数轴上收敛，则规定收敛半径 \(R = +\infty\)，收敛区间为 \((-\infty, +\infty)\)。例如：\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)。
（3）如果 \(R\) 为幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛半径，那么该幂级数在 \((-R, R)\) 内绝对收敛。
【注】由幂级数收敛的特点可知，能使幂级数条件收敛的点只可能是其收敛区间的端点。
3. 幂级数的收敛半径及收敛域的求法
方法1. 先求收敛半径得收敛区间，再考察收敛区间端点的敛散性
求幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n\) 收敛半径及收敛域的步骤：
第一步，求收敛半径。使用比值法（或根值法），如果 \(\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = l\)（或 \(\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|} = l)\)，则
\[R = \left\{ \begin{array}{l l} 1 / l, & 0 < l < + \infty , \\ 0, & l = + \infty , \\ + \infty , & l = 0; \end{array} \right. \tag{11.3}\]第二步，讨论幂级数在收敛区间端点处的敛散性。即当 \(0 < R < +\infty\) 时，需进一步讨论 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 在 \(x = \pm R\) 处的敛散性；
第三步，确定幂级数的收敛域。
方法2. 对某些情形用幂级数收敛的特点。（见题型三，例11.15（IV））。
【注】① \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}\) 的收敛半径为 \(R\)，并不一定有极限 \(\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right|\)（或 \(\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)）存在。
② 若要求幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) 的收敛半径与收敛域，可令 \(x - x_0 = t\)，则可转化为求幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\) 的收敛半径与收敛域。
【例11.4】求下列幂级数的收敛域：
（I）\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{3^n x^n}{\sqrt{n}};\)
（Ⅱ）\(\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n^n}.\)
【解】（I）\(\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to \infty}\frac{3^{n + 1} / \sqrt{n + 1}}{3^n / \sqrt{n}} = \lim_{n\to \infty}3\sqrt{\frac{n}{n + 1}} = 3\) 故收敛半径 \(R = 1 / 3\)
当 \(x = 1 / 3\) 时，原幂级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\) 是一个收敛的交错级数；当 \(x = -1 / 3\) 时，原幂级数为 \(-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\)（发散），所以 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{3^n x^n}{\sqrt{n}}\) 的收敛域为 \((-1 / 3, 1 / 3]\)。
（Ⅱ）使用根值法。由于 \(\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} = 0\)，故原级数 \(\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n^n}\) 的收敛半径 \(R = +\infty\) 即收敛区间也是收敛域为 \((-\infty , + \infty)\)。
（三）幂级数的运算与和函数的性质
1. 幂级数的运算
设 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 与 \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\) 为两个幂级数，收敛半径分别为 \(R_1, R_2\)，则在它们的公共收敛域内可进行如下运算：
（i）\(\lambda \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n +\mu \sum_{n = 0}^{\infty}b_nx^n = \sum_{n = 0}^{\infty}\left(\lambda a_n + \mu b_n\right)x^n\)，其中 \(\lambda ,\mu\) 为常数；
（ii）\(\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}\cdot \sum_{n = 0}^{\infty}b_{n}x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n};\)
其中 \(c_{n} = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n - 1} + \dots +a_{n}b_{0}\)
当 \(R_{1} \neq R_{2}\) 时，（11.4）的收敛半径 \(R = \min \{R_{1}, R_{2}\}\)。
2. 和函数的性质
设 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛半径为 \(R (> 0)\)，收敛区间为 \((-R, R)\)，收敛域记为 \(D\)，\(S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 为和函数，则如下分析性质成立：
（i）和函数 \(S(x)\) 在 \((-R,R)\) 内可导，并且有逐项求导公式
\[S^{\prime} (x) = \left(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime} = \sum_{n = 0}^{\infty} \left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}, \tag{11.6}\]同时求导后的幂级数的收敛半径仍为 \(R\)。
因此，和函数 \(S(x)\) 在 \((-R,R)\) 内任意次可导，并有逐项求导公式
\[S^{(k)} (x) = \left(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{(k)} = \sum_{n = k}^{\infty} n (n - 1) \dots (n - k + 1) a_{n} x^{n - k}\]它的收敛半径也是 \(R\)。
（ii）在收敛域 \(D\) 上和函数 \(S(x)\) 连续，且逐项积分公式成立，即
\[\int_{0}^{x} S (t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{x} \left(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n}\right) \mathrm{d} t = \sum_{n = 0}^{\infty} \left(\int_{0}^{x} a_{n} t^{n} \mathrm{d} t\right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1} (x \in D), \tag{11.7}\]并且逐项积分后收敛半径也不变。
（iii）若 \(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n\) 在 \(x = R(-R)\) 处收敛，则该幂级数
\[1^{\circ} \lim_{x \rightarrow R - 0} S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} R^{n} \quad \left(\lim_{x \rightarrow - R + 0} S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (- R)^{n}\right);\]\(2^{\circ}\) 可以在 \([0, R]([-R, 0])\) 上逐项积分，即
\[\int_{0}^{R} S (x) \mathrm{d} x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n + 1} R^{n + 1} \quad \left(\int_{- R}^{0} S (x) \mathrm{d} x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{- a_{n}}{n + 1} (- R)^{n + 1}\right);\]\(3^{\circ}\) 逐项求导后的级数 \(\sum_{n = 1}^{\infty}na_nx^{n - 1}\) 在 \(x = R(-R)\) 处可能发散。
（iv）若 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 在 \(x = R(-R)\) 处发散，则逐项求导后的级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\) 在 \(x = R(-R)\) 处一定发散，但逐项积分后的级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}\) 在 \(x = R(-R)\) 处可能收敛。
【例11.5】求幂级数 \(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\) 的收敛域及其和函数。
【解】容易求得其收敛域为 \([-1,1)\)。为求其和函数 \(S(x)\)，在它的收敛区间 \((-1,1)\) 内先进行逐项求导，即得
\[S^{\prime} (x) = \left(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}\right)^{\prime} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n - 1} = \frac{1}{1 - x}, x \in (- 1, 1).\]又因为 \(S(0) = 0\)，因此
\[S (x) = \int_{0}^{x} S^{\prime} (t) d t = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t} = - \ln (1 - x).\]注意原级数在 \(x = -1\) 处收敛，又 \(\ln (1 - x)\) 在 \(x = -1\) 处连续，所以
\[S (x) = - \ln (1 - x), x \in [ - 1, 1).\]（四）幂级数的求和与函数的幂级数展开式
设 \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, |x - x_0| < R\)。已知右端求左端，这是幂级数求和。反之，则是求函数的幂级数展开式。除按定义外，它们的方法是相同的。
1. 泰勒级数与麦克劳林级数
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内具有任意阶导数，则称级数
\[\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} \left(x_{0}\right)}{n !} (x - x_{0})^{n} = f \left(x_{0}\right) + \frac{f^{\prime} \left(x_{0}\right)}{1 !} (x - x_{0}) + \frac{f^{\prime \prime} \left(x_{0}\right)}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} \left(x_{0}\right)}{n !} (x - x_{0})^{n} + \dots \tag{11.8}\]为函数 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处的泰勒（Taylor）级数。
若 \(x_0 = 0\)，则称级数
\[\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n !} x^{n} = f (0) + \frac{f^{\prime} (0)}{1 !} x + \frac{f^{\prime \prime --- # 练习题 ### 例题1 求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$ 的收敛域。 **解答** 使用根值判别法： \]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac{x^n}{n^2} \right|} = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{\sqrt[n]{n^2}} = |x|.
\[当 $|x| < 1$ 时，级数绝对收敛；当 $|x| > 1$ 时，级数发散。 在端点 $x = 1$ 处，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，收敛；在 $x = -1$ 处，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$，绝对收敛。 因此，收敛域为 $[-1, 1]$。 --- ### 例题2 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$ 的收敛域及其和函数。 **解答** 收敛半径： \]\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1, \quad R = 1.
\[在 $x = 1$ 处，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$，收敛（交错级数）；在 $x = -1$ 处，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n}$，发散。 收敛域为 $(-1, 1]$。 和函数：在 $(-1, 1)$ 内逐项求导： \]S’(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^{n-1} = \frac{1}{1+x}.
\[积分得： \]S(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t} , dt = \ln(1+x).
\[由于级数在 $x = -1$ 处发散，在 $x = 1$ 处收敛，且 $\ln(1+x)$ 在 $x=1$ 处连续，故和函数为 $S(x) = \ln(1+x)$，$x \in (-1, 1]$。 --- ### 例题3 将函数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 展开为 $x$ 的幂级数，并求其收敛域。 **解答** 利用已知展开式 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$，$|u| < 1$。 令 $u = -x^2$，则 \]\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}.
\[收敛条件为 $|x^2| < 1$，即 $|x| < 1$。 在端点 $x = \pm 1$ 处，级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$，发散。 故收敛域为 $(-1, 1)$。 --- ### 例题4 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的收敛域及和函数。 **解答** 收敛半径： \]\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0, \quad R = +\infty.
\[收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。 和函数为 $S(x) = e^x$，由已知展开式可得。 --- ### 例题5 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的收敛域及和函数。 **解答** 收敛半径： \]\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1, \quad R = 1.
\[在 $x = \pm 1$ 处，级数通项不趋于零，发散。收敛域为 $(-1, 1)$。 和函数：已知 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$，逐项求导得： \]\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad x \in (-1, 1).
\[\]