四、无穷小及其比较
（一）无穷小，极限，无穷大及其联系
1. 无穷小与无穷大的定义
【定义1.4】 在某一极限过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）。
（1）若 \(\lim_{n\to \infty}x_n = 0\)，则称数列 \(\{x_{n}\}\) 为无穷小，记为 \(x_{n} = o(1)(n\to \infty)\)
（2）若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = 0\)，则称 \(x \to x_0\) 时 \(f(x)\) 为无穷小，记为 \(f(x) = o(1)(x \to x_0)\)
【定义1.5】
（1）若 \(\forall M > 0\)，\(\exists\) 自然数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时就有 \(\left|x_{n}\right| > M\)，则称数列 \(\{x_{n}\}\) 为无穷大（量），记为 \(\lim_{n\to \infty}x_n = \infty\)
（2）若 \(\forall M > 0, \exists X > 0\)，使得当 \(|x| > X\) 时就有 \(|f(x)| > M\)，则称 \(x \to \infty\) 时 \(f(x)\) 为无穷大（量），记为 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\)
（3）若 \(\forall M > 0, \exists \delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时就有 \(|f(x)| > M\)，则称 \(x \to x_0\) 时 \(f(x)\) 为无穷大（量），记为 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty\)
类似可定义其他极限过程的无穷大（量）及正无穷大（量）和负无穷大（量）。
注意： 我们说数列或函数存在极限，即指极限为有限值。例如，若数列 \(\{x_{n}\}\) 为无穷大量，即 \(\lim_{n\to \infty}x_n = \infty\)，则 \(\{x_{n}\}\) 是属于极限不存在的情形。
2. 无穷小与极限的关系
\(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\Leftrightarrow f(x) = A + \alpha (x)\)，其中 \(\lim_{x\to x_0}\alpha (x) = 0\)
3. 无穷小与无穷大的关系
在同一极限过程中，\(f(x)\) 为无穷小，若 \(f(x) \neq 0\)，则 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷大；若 \(f(x)\) 为无穷大，则 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷小。
4. 无穷小的运算性质
（1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小
（2）有限个无穷小的积仍为无穷小
（3）有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小
【注】
① 无穷大量不具有无穷小量相应的运算性质，不可将无穷小量的运算性质应用到无穷大量运算之中
② 无穷大量的运算通常被转化为无穷小量的运算来进行
（二）无穷小阶的概念
1. 无穷小阶的定义
【定义1.6】 设 \(\alpha (x)\) 与 \(\beta (x)\) 为同一个极限过程中的无穷小，且存在极限 \(\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = l\)
（1）若 \(l \neq 0\)，则称 \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 在该极限过程中为同阶无穷小
（2）若 \(l = 1\)，则称 \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 在该极限过程中为等价无穷小，记为 \(\alpha(x) \sim \beta(x)\)
（3）若 \(l = 0\)，则称在该极限过程中 \(\alpha(x)\) 是 \(\beta(x)\) 的高阶无穷小，记为 \(\alpha(x) = o(\beta(x))\)
若 \(\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\) 不存在（且不为 \(\infty\)），称 \(\alpha (x),\beta (x)\) 不可比较。
【定义1.7】 设 \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 是同一个极限过程中的无穷小，以 \(\alpha(x)\) 为基本无穷小，若存在正数 \(k\) 和非零常数 \(l\) 使得 \(\lim\frac{\beta(x)}{\alpha^k(x)} = l \neq 0\)，即 \(\beta(x)\) 与 \(\alpha^k(x)\) 为同阶无穷小，则称 \(\beta(x)\) 是 \(\alpha(x)\) 的 \(k\) 阶无穷小。特别是，若 \(\beta(x)\) 与 \((x - x_0)^k\) 为同阶无穷小即 \(\lim_{x \to x_0} \beta(x) = 0\)，又存在常数 \(l \neq 0\)，使得 \(\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{(x - x_0)^k} = l\)，则称 \(\beta(x)\) 是 \(x - x_0\) 的 \(k\) 阶无穷小。
2. 常见的等价无穷小
当 \(x\to 0\) 时
\[\begin{aligned} \sin x &\sim x, \\ \tan x &\sim x, \\ \arcsin x &\sim x, \\ \arctan x &\sim x, \\ 1 - \cos x &\sim \frac{1}{2}x^2, \\ a^x - 1 &\sim x\ln a \quad (a > 0, a \neq 1), \\ e^x - 1 &\sim x, \\ \ln(1 + x) &\sim x, \tag{1.3} \\ (1 + \beta x)^{\alpha} - 1 &\sim \alpha\beta x, \\ \sqrt[n]{1 + x} - 1 &\sim \frac{1}{n}x, \\ \log_a(1 + x) &\sim \frac{1}{\ln a}x \quad (a > 0, a \neq 1) \end{aligned}\]3. 等价无穷小的重要性质
\(1^{\circ}\) \(\alpha (x)\sim \beta (x),\beta (x)\sim \gamma (x)(x\to a)\Rightarrow \alpha (x)\sim \gamma (x)(x\to a)\)
\(2^{\circ}\) \(\alpha (x)\sim \beta (x)(x\to a)\Leftrightarrow \alpha (x) = \beta (x) + o(\beta (x))(x\to a)\)
\(3^{\circ}\) 求极限过程中，积、商可用等价无穷小因子替换
【例1.18】 求 \(w = \lim_{x\to 0}\frac{(1 + x)^x - 1}{x^2}\)
【解】 \(x\to 0\) 时，\(t = (1 + x)^{x} - 1\to 0\)，则 \((1 + x)^{x} - 1 = t\sim \ln (1 + t) = \ln (1 + x)^{x} = x\ln (1 + x)\) 于是用等价无穷小因子替换得
\[w = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1 + x)}{x^2} = 1\]评注 这是 \(\frac{0}{0}\) 型极限，若直接用洛必达法则需要求导：\([(1 + x)^x]'\)，计算较繁（读者可以试一下）。
在求极限过程中，积、商可用等价无穷小因子替换的应先替换，这样常会给计算带来方便。
（三）无穷小阶的比较与确定无穷小阶的方法
1. 无穷小阶的比较
设 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 都是当 \(x \to a\) 时的无穷小，判断无穷小 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是同阶、等价无穷小或比较其阶数的基本方法是求 \(\frac{0}{0}\) 型极限 \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)，由【定义1.6】给出
\[\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \begin{cases} l \neq 0 \text{且} \neq 1, & f(x) \text{与} g(x) \text{同阶而不等价} \\ 1, & f(x) \text{与} g(x) \text{等价} \\ 0, & f(x) \text{比} g(x) \text{高阶} \\ \infty, & f(x) \text{比} g(x) \text{低阶} \end{cases} \tag{1.4}\]常用洛必达法则或泰勒公式法求这个 \(\frac{0}{0}\) 型极限。
2. 确定无穷小阶的方法
设 \(\lim_{x\to 0}f(x) = 0\)，常用如下方法确定 \(f(x)\) 是关于 \(x - a\) 的几阶无穷小。
方法 \(1^{\circ}\) 利用等价无穷小 若常数 \(A \neq 0, k > 0\)，且当 \(x \to a\) 时 \(f(x) \sim A(x - a)^k\)，则当 \(x \to a\) 时 \(f(x)\) 是 \(x - a\) 的 \(k\) 阶无穷小。
方法 \(2^{\circ}\) 待定阶数法 确定常数 \(k > 0\)，使得存在极限 \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{(x - a)^k} = l\neq 0\)（常用洛必达法则），则当 \(x\rightarrow a\) 时，\(f(x)\) 是 \(x - a\) 的 \(k\) 阶无穷小。
方法 \(3^{\circ}\) 用泰勒公式（见第五章三（一））
方法 \(4^{\circ}\) 利用无穷小阶的运算性质
已知当 \(x \to a\) 时 \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 分别是 \((x - a)\) 的 \(n\) 阶与 \(m\) 阶无穷小，又 \(\lim_{x \to a} h(x) = A \neq 0\)，则
（1）\(\alpha(x)h(x)\) 是 \(x - a\) 的 \(n\) 阶无穷小
（2）\(\alpha(x)\beta(x)\) 是 \(x - a\) 的 \(n + m\) 阶无穷小
（3）当 \(n > m\) 时，\(\alpha(x) + \beta(x)\) 是 \(x - a\) 的 \(m\) 阶无穷小，\(\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\) 是 \(x - a\) 的 \(n - m\) 阶无穷小
【注】 当 \(m = n\) 时，不能说 \(\alpha (x) + \beta (x)\) 一定是 \(x - a\) 的 \(n\) 阶无穷小。但我们可以说，\(\alpha (x) + \beta (x)\) 一定是 \(x - a\) 的 \(n\) 阶或高于 \(n\) 阶的无穷小。如当 \(x\to 0\) 时 \(\sin x,\tan x\) 和 \(-\sin x\) 都是 \(x\) 的一阶无穷小，但 \(\tan x+\sin x\) 仍是 \(x\) 的一阶无穷小，而 \(\tan x - \sin x\) 却是 \(x\) 的三阶无穷小。
【例1.19】 设 \(f(x) = x - \sin x\cos x\cos 2x\)，\(g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\ln(1 + \sin^4x)}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{array} \right.\) 则当 \(x \to 0\) 时 \(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的
（A）高阶无穷小
（B）低阶无穷小
（C）同阶非等价无穷小
（D）等价无穷小
【分析】 由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \frac{1}{4} \sin 4x}{\frac{\ln(1 + \sin^4 x)}{x}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \frac{1}{4} \sin 4x}{x^3} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos 4x}{3x^2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{8x^2}{3x^2} = \frac{8}{3} \end{aligned}\]因此选（C）。
评注 计算中用了当 \(x \to 0\) 时的如下等价无穷小关系：
\[1 - \cos 4x \sim \frac{1}{2}(4x)^2 = 8x^2, \quad \frac{\ln(1 + \sin^4 x)}{x} \sim \frac{1}{x}\sin^4 x \sim x^3\]练习题
例题1
判断下列命题是否正确，并说明理由： (1) 若 \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)，则 \(f(x)\) 是当 \(x \to 0\) 时的无穷小。 (2) 若 \(\lim_{x \to 0} f(x) = \infty\)，则 \(f(x)\) 是当 \(x \to 0\) 时的无穷大，且极限存在。 (3) 若 \(f(x)\) 是当 \(x \to 0\) 时的无穷小，且 \(f(x) \neq 0\)，则 \(\frac{1}{f(x)}\) 是当 \(x \to 0\) 时的无穷大。
解答 (1) 正确。根据无穷小的定义，在极限过程中以零为极限的变量称为无穷小。 (2) 错误。若 \(\lim_{x \to 0} f(x) = \infty\)，则 \(f(x)\) 是无穷大，但极限不存在，因为极限为有限值才称极限存在。 (3) 正确。根据无穷小与无穷大的关系，若 \(f(x)\) 为无穷小且 \(f(x) \neq 0\)，则 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷大。
例题2
求极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}\)。
解答 利用等价无穷小替换：当 \(x \to 0\) 时，\(\tan x \sim x\)，\(\sin x \sim x\)，但直接替换分子会得到 \(x - x = 0\)，无法得出结果。因此，需进一步化简：
\[\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}.\]当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x\)，\(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)，\(\cos x \to 1\)，故：
\[\tan x - \sin x \sim x \cdot \frac{\frac{1}{2}x^2}{1} = \frac{1}{2}x^3.\]因此，
\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3} = \frac{1}{2}.\]例题3
设 \(f(x) = \sqrt{1 + 2x} - 1\)，\(g(x) = \ln(1 + x)\)。判断当 \(x \to 0\) 时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是否为等价无穷小。
解答 计算极限：
\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{\ln(1 + x)}.\]利用等价无穷小：当 \(x \to 0\) 时，\(\sqrt{1 + 2x} - 1 \sim \frac{1}{2} \cdot 2x = x\)，\(\ln(1 + x) \sim x\)，故：
\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.\]因此，\(f(x) \sim g(x)\)，它们是等价无穷小。
例题4
设 \(f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}\)，\(g(x) = x\)。判断当 \(x \to 0\) 时，\(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的高阶无穷小、低阶无穷小还是同阶无穷小。
解答 计算极限：
\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}.\]由于 \(|\sin \frac{1}{x}| \leq 1\)，故 \(|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|\)，由夹逼定理得：
\[\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0.\]因此，\(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的高阶无穷小。
例题5
设 \(f(x) = e^x - 1 - x\)，求当 \(x \to 0\) 时，\(f(x)\) 是关于 \(x\) 的几阶无穷小。
解答 使用待定阶数法。设 \(f(x)\) 是 \(x\) 的 \(k\) 阶无穷小，即求 \(k > 0\) 使得：
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^k} = l \neq 0.\]尝试 \(k = 2\)：
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \stackrel{\text{洛必达}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \stackrel{\text{洛必达}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2} \neq 0.\]因此，当 \(x \to 0\) 时，\(f(x)\) 是 \(x\) 的 2 阶无穷小。
例题6
设 \(\alpha(x) = x^2 + x^3\)，\(\beta(x) = x^2 - x^4\)，判断当 \(x \to 0\) 时，\(\alpha(x) + \beta(x)\) 是关于 \(x\) 的几阶无穷小。
解答 计算：
\[\alpha(x) + \beta(x) = (x^2 + x^3) + (x^2 - x^4) = 2x^2 + x^3 - x^4.\]当 \(x \to 0\) 时，\(2x^2\) 是主导项（2阶），而 \(x^3\) 和 \(x^4\) 是高阶无穷小。因此：
\[\alpha(x) + \beta(x) \sim 2x^2,\]故 \(\alpha(x) + \beta(x)\) 是 \(x\) 的 2 阶无穷小。
例题7
求极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x}\)。
解答 令 \(t = (1 + x)^{1/x} - e\)，当 \(x \to 0\) 时，\(t \to 0\)。利用等价无穷小性质：
\[(1 + x)^{1/x} - e = t \sim \ln(1 + t) = \ln\left( (1 + x)^{1/x} \right) - \ln e = \frac{1}{x} \ln(1 + x) - 1.\]因此，
\[\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} \ln(1 + x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}.\]利用洛必达法则：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2} \stackrel{\text{洛必达}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{(1 + x) \cdot 2x} = -\frac{1}{2}.\]故极限为 \(-\frac{1}{2}\)。