多元函数的概念、极限与连续性
（一）多元函数的概念
1. 二元函数的定义
【定义8.1】设 \(D\) 是平面上的一个点集，如果对每个点 \(P(x,y) \in D\)，按照某一对应规则 \(f\) 变量 \(z\) 都有一个确定的值与之对应，则称 \(z\) 是变量 \(x,y\) 的二元函数，记作 \(z = f(x,y)\)（或 \(z = f(P)\)）。\(D\) 称为该函数的定义域，数集 \(\{z \mid z = f(x,y), (x,y) \in D\}\) 称为该函数的值域。
2. 二元函数的几何意义
空间点集 \(\{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) \in D\}\) 为二元函数 \(z = f(x,y)\) 的图形，通常它是一张曲面。曲面 \(z = f(x,y)\) 与平面 \(z = C\) 的交线在 \(Oxy\) 平面上的投影曲线：\(f(x,y) = C\) 称为 \(z = f(x,y)\) 的等高线。
3. 一元函数与多元函数的联系与区别
（1）一元函数是二元函数的特殊情形：让一自变量变动，另一自变量固定，或让 \((x,y)\) 沿某曲线变动，二元函数就转化为一元函数。
（2）一元函数中，自变量 \(x\) 代表直线上的点，只有两个变动方向，而二元函数中，自变量 \((x, y)\) 代表平面上的点，它有无数个变动方向。
（3）一元函数 \(z = f(x)(a < x < b)\)，也可看成二元函数，其定义域是：\(a < x < b, -\infty < y < +\infty\)
（二）二元函数的极限
1. 二元函数极限定义
【定义8.2】设函数 \(f(x,y)\) 在开区域或闭区域 \(D\) 有定义，\(M_0(x_0,y_0)\) 是 \(D\) 的内点或边界点，则 \(\lim_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}}f(x,y) = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists\) 正数 \(\delta\)，使得当 \((x,y)\in D\)，且 \(0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta\) 时有
\[\left| f (x, y) - A \right| < \varepsilon .\]【注】 ① 这里的极限过程是点 \((x, y)\) 在 \(D\) 内沿任何路径以任何方式趋于点 \((x_0, y_0)\)。
② \(\lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x, y) = A\) 也可写成 \(\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A\)。
极限与无穷小的关系：
\[\lim _ {(x, y) \rightarrow (x _ {0}, y _ {0})} f (x, y) = A \Leftrightarrow f (x, y) = A + \alpha (x, y) ((x, y) \rightarrow (x _ {0}, y _ {0}))\]其中 \(\alpha (x,y) = o(1)\) 是当 \((x,y)\to (x_0,y_0)\) 时的无穷小，即 \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\alpha (x,y) = 0\)。
2. 二元函数与一元函数有相同的极限运算法则与极限性质
求二元函数的极限常用的方法：直接用极限运算法则，或通过适当放大缩小法，变量替换法转化为求简单的极限或一元函数的极限。
3. 二元函数 \(z = f(x,y)\) 与一元函数之极限存在性问题的区别
与一元函数极限中的”函数在一点处的极限存在当且仅当它在该点处的左、右极限存在且相等”这个结论对应，在二元函数的极限中，极限 \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y) = A\)（存在）的充要条件是当点 \(P(x,y)\) 在定义域内沿任何路径以任何方式趋于点 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\) 时，均有 \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)\) 存在，且等于 \(A\)：
若在定义域内沿某两条不同路径（如直线 \(y = kx\)，抛物线 \(y^2 = x\)）极限 \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)\) 的值不相等或沿某一路径极限 \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)\) 不存在，则可断言极限 \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)\) 不存在。这是证明二元函数极限不存在的有效方法。
【例8.1】求下列极限：
（I）\(\lim_{\substack{x\to \infty \\ y\to a}}\left(1 + \frac{1}{xy}\right)^{\frac{x^2}{x + y}} (a\neq 0)\)
（Ⅱ）\(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2|y|^{\frac{1}{2}}}{x^4 + y^2}\)
【解】
（I）\(I = \lim_{\substack{x \to \infty \\ y \to a}} \left(1 + \frac{1}{xy}\right)^{\frac{x^2}{x + y}} = \lim_{\substack{x \to \infty \\ y \to a}} \left[\left(1 + \frac{1}{xy}\right)^{xy}\right]^{\frac{x^2}{xy(x + y)}}\)
\[\lim _ {\substack {x \to \infty \\ y \to a}} \left(1 + \frac {1}{xy}\right) ^ {x y} \xlongequal {t = x y} \lim _ {t \to \infty} \left(1 + \frac {1}{t}\right) ^ {t} = e, \quad \lim _ {\substack {x \to \infty \\ y \to a}} \frac {x ^ {2}}{x y (x + y)} = \lim _ {\substack {x \to \infty \\ y \to a}} \frac {1}{y \left(1 + \frac {y}{x}\right)} = \frac {1}{a},\]因此，\(I = \mathrm{e}^{\frac{1}{a}}\)
（Ⅱ）由 \(x^4 + y^2 \geqslant 2x^2 |y| \Rightarrow 0 \leqslant \frac{x^2 |y|^{3/2}}{x^4 + y^2} \leqslant \frac{x^2 |y|^{3/2}}{2x^2 |y|} = \frac{1}{2} |y|^{\frac{1}{2}}\)
而 \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{1}{2} |y|^{\pm} = 0\)，因此原极限为0。
【例8.2】证明极限 \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2 + y^4}\) 不存在。
【分析】先考察 \((x, y)\) 沿不同的直线趋于 \((0, 0)\) 时 \(f(x, y)\) 的极限。若不同，则得证；若相同，再考察点 \((x, y)\) 沿其他特殊的路径——曲线趋于 \((0, 0)\) 时 \(f(x, y)\) 的极限。
【证明】\((x,y)\) 沿不同的直线 \(y = kx\) 趋于(0,0)，有
\[\lim _ {\substack {(x, y) \to (0, 0) \\ y = k x}} \frac {x y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {4}} = \lim _ {x \to 0} \frac {k ^ {2} x ^ {3}}{x ^ {2} + k ^ {4} x ^ {4}} = \lim _ {x \to 0} \frac {k ^ {2} x}{1 + k ^ {4} x ^ {2}} = 0.\]再令 \((x,y)\) 沿抛物线 \(y^{2} = x\) 趋于(0,0)，有
\[\lim _ {\substack {(x, y) \to (0, 0) \\ y ^ {2} = x}} \frac {x y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {4}} = \lim _ {x \to 0} \frac {x ^ {2}}{x ^ {2} + x ^ {2}} = \frac {1}{2}.\]由二者不相等可知极限 \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2 + y^4}\) 不存在。
（三）二元函数的连续性
1. 二元函数连续性定义
【定义8.3】设 \(z = f(x,y)\) 定义在区域 \(D\) 上，\(P_0(x_0,y_0)\) 是 \(D\) 的内点或边界点。若 \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)\)，则称 \(f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 处连续；若 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上每一点连续，则称 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续。
2. 二元初等函数在其定义区域上连续
由自变量 \(x\) 的初等函数及自变量 \(y\) 的初等函数经过有限次四则运算或复合运算而得的二元函数 \(z = f(x, y)\)，称为 \((x, y)\) 的二元初等函数。类似地可定义多元初等函数。
多元初等函数在它的定义区域上是连续的。
3. 判断二元函数连续性与一元函数有相同的方法
4. 二元连续函数的性质
与一元函数类似，二元连续函数 \(z = f(x, y)\) 也有相应的性质：
【定理8.1】设 \(z = f(x,y)\) 在 \(M_0(x_0,y_0)\) 连续，\(f(x_0,y_0) > 0 (< 0)\)，则 \(\exists \delta > 0\)，当 \((x,y) \in U(M_0,\delta) = \{(x,y) \mid (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < \delta^2\}\) 且 \((x,y) \in D\) 时，\(f(x,y) > 0 (< 0)\)。
【定理8.2】（最大值最小值定理）设 \(z = f(x,y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上连续，则它在 \(D\) 上一定有最大值和最小值，即 \(\exists M_1,M_2\in D\)，使得 \(\forall M\in D\)，有
\[f \left(M _ {2}\right) \leqslant f (M) \leqslant f \left(M _ {1}\right),\]其中，\(f(M_{1})\) 为 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的最大值，\(f(M_2)\) 为 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的最小值。
【定理8.3】（中间值定理）设 \(z = f(x,y)\) 在连通的区域 \(D\) 上连续，\(\forall M_1,M_2\in D,f(M_1) < f(M_2)\)，则对任意的实数 \(\mu ,f(M_1) < \mu < f(M_2)\)，在 \(D\) 中至少存在一点 \(M_0\)，使得 \(f(M_0) = \mu\)。
练习题
例题1
求极限：\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}\)。
解答
考虑点\((x,y)\)沿不同路径趋于\((0,0)\)：
- 沿直线\(y = kx\)，有
\[\lim_{x\to0} \frac{kx^2}{x^2 + k^2x^2} = \lim_{x\to0} \frac{k}{1 + k^2} = \frac{k}{1 + k^2}.\]
该极限依赖于\(k\)，例如当\(k=0\)时极限为0，当\(k=1\)时极限为\(\frac{1}{2}\)。
由于沿不同路径极限值不同，原极限不存在。
例题2
判断函数\(f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}\)在点\((0,0)\)处是否连续。
解答
需检查极限\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\)是否存在且等于\(f(0,0)=0\)。
- 沿直线\(y = kx\)，有 \[\lim_{x\to0} \frac{kx^3}{x^4 + k^2x^2} = \lim_{x\to0} \frac{kx}{x^2 + k^2} = 0.\]
- 沿抛物线\(y = x^2\)，有 \[\lim_{x\to0} \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac{1}{2} \neq 0.\]
沿不同路径极限值不同，故极限不存在，函数在\((0,0)\)处不连续。
例题3
求极限：\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(xy)}{x}\)。
解答
\[\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(xy)}{xy} \cdot y.\]由于\(\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1\)，且\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} y = 0\)，因此原极限为\(1 \cdot 0 = 0\)。
例题4
设\(f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\)，判断其在点\((0,0)\)处的连续性。
解答
函数在\((0,0)\)处有定义，且
因此，函数在\((0,0)\)处连续。
例题5
证明：若\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续，且\(f(x_0,y_0) > 0\)，则存在邻域\(U((x_0,y_0), \delta)\)，使得在该邻域内\(f(x,y) > 0\)。
解答
由连续性定义，对\(\varepsilon = \frac{f(x_0,y_0)}{2} > 0\)，存在\(\delta > 0\)，当\(\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta\)时，
即
\[f(x_0,y_0) - \frac{f(x_0,y_0)}{2} < f(x,y) < f(x_0,y_0) + \frac{f(x_0,y_0)}{2},\]所以\(f(x,y) > \frac{f(x_0,y_0)}{2} > 0\)，证毕。
例题6
求极限：\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\)。
解答
利用极坐标变换：令\(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，则
由于\(|\cos^3\theta + \sin^3\theta| \leq 2\)，且\(r \to 0\)，故原极限为0。