多元函数积分的概念与性质
（一）多元函数积分的定义
1. 二重积分
定义 平面上有界闭区域 \(D\) 上二元函数 \(z = f(x, y)\) 的二重积分
\[I = \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \lim_{d \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i}) \Delta \sigma_{i},\]其中 \(d = \max_{i}\{d_{i}\}\)，\(d_{i}\) 为小区域 \(\Delta \sigma_{i}\) 的直径，\(\Delta \sigma_{i}\) 为第 \(i\) 个小闭区域，同时也表示 \(\Delta \sigma_{i}\) 的面积。
当二重积分 \(\iint_{D} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma\) 存在时，则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积。若 \(f(x, y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上连续，则 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积，即存在二重积分 \(\iint_{D} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma\)。
几何意义 当连续函数 \(z = f(x, y) \geqslant 0\) 时，二重积分 \(I\) 表示以区域 \(D\) 为底，曲面 \(z = f(x, y)\) 为顶，侧面是以 \(D\) 的边界为准线，母线平行于 \(z\) 轴的柱面的曲顶柱体的体积。一般情形，
\(\iint_{D} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma = Oxy\) 平面上方的曲顶柱体体积 - \(Oxy\) 平面下方的曲顶柱体体积。
2. 三重积分
定义 空间中有界闭区域 \(\Omega\) 上三元函数 \(W = f(x,y,z)\) 的三重积分
\[J = \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d}V = \lim_{d \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}) \Delta V_{i},\]其中 \(d = \max_{i}\{d_{i}\}\)，\(d_{i}\) 是小区域 \(\Delta V_{i}\) 的直径，\(\Delta V_{i}\) 为第 \(i\) 个小闭区域，同时也表示 \(\Delta V_{i}\) 的体积。
当三重积分 \(\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d}V\) 存在时，称 \(f(x, y, z)\) 在 \(\Omega\) 上可积。若 \(f(x, y, z)\) 在有界闭区域 \(\Omega\) 上连续，则三重积分 \(\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d}V\) 一定存在。
3. 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
定义 \(Oxy\) 平面上分段光滑曲线 \(L\) 上函数 \(f(x,y)\) 的第一类曲线积分
\[\int_{L} f(x, y) \mathrm{d}s = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i}) \Delta s_{i},\]其中 \(\Delta s_{i}\) 表示第 \(i\) 个小段的弧长，\(\lambda = \max_{i} \{\Delta s_{i}\}\)。第一类曲线积分也称为对弧长的曲线积分，\(f(x, y)\) 称作被积函数，\(L\) 称作积分弧段。
若 \(f(x,y)\) 在分段光滑曲线 \(L\) 上连续，则曲线积分 \(\int_{L} f(x,y) \, \mathrm{d}s\) 一定存在。
类似可定义 \(f(x,y,z)\) 在空间分段光滑曲线 \(L\) 上的第一类曲线积分
\[\int_{L} f(x, y, z) \mathrm{d}s = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}) \Delta s_{i}.\]如果积分弧段 \(L\) 是封闭曲线，则相应的对弧长的曲线积分记作 \(\oint_{L} f(x, y) \mathrm{d}s\)（或 \(\oint_{L} f(x, y, z) \mathrm{d}s\)）。
4. 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
定义 \(F = \{P(x,y),Q(x,y)\}\) 在定向分段光滑曲线 \(L\) 上的第二类曲线积分
\[\int_{L} P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} \left[ P(\xi_{i}, \eta_{i}) \Delta x_{i} + Q(\xi_{i}, \eta_{i}) \Delta y_{i} \right],\]其中 \(\lambda\) 仍是各小弧段长度的最大值，\(\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i-1}\)，\(\Delta y = y_{i} - y_{i-1}\)，\((x_{i}, y_{i})\) 是分点 \(M_{i}\) 的坐标，第二类曲线积分也称为对坐标的曲线积分，也记为 \(\int_{L} F \cdot \mathrm{d}s\)。
若 \(P(x,y),Q(x,y)\) 在定向分段光滑曲线 \(L\) 上连续，则曲线积分 \(\int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathrm{d}y\) 存在。将第二类曲线积分推广到沿空间曲线的情形，即为
\[\begin{aligned} \int_{L} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}s &= \int_{L} P(x, y, z) \mathrm{d}x + Q(x, y, z) \mathrm{d}y + R(x, y, z) \mathrm{d}z \\ &= \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} \left[ P\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta x_{i} + Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta y_{i} + R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta z_{i} \right]. \end{aligned}\]5. 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
定义 \(f(x,y,z)\) 在分块光滑曲面 \(\Sigma\) 上的第一类曲面积分
\[\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d}S = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}) \Delta S_{i},\]其中 \(\lambda\) 是各小块曲面的直径的最大值，\(\Delta S_{i}\) 为第 \(i\) 个小块曲面，同时也代表 \(\Delta S_{i}\) 的面积，\(f(x, y, z)\) 是被积函数，\(\Sigma\) 是积分曲面。第一类曲面积分也称为对面积的曲面积分。
【注】曲面是光滑的，即指曲面上各点有连续变动的切平面。若曲面 \(\Sigma\) 由 \(z = z(x, y) ((x, y) \in D)\) 所确定，\(\Sigma\) 是光滑的，即指 \(z(x, y)\) 在 \(D\) 上有连续的偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\)。分块光滑曲面即指由有限块光滑曲面所组成的曲面。如长方体的表面是分块光滑的。
6. 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
定义 \(F = \{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\) 在有向分块光滑曲面 \(\boldsymbol{\Sigma}\) 上的第二类曲面积分
\[\begin{aligned} \iint_{\Sigma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} &= \iint_{\Sigma} P \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &= \iint_{\Sigma} P(x, y, z) d y d z + Q(x, y, z) d z d x + R(x, y, z) d x d y \\ &= \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} \left[ P\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{y z} + Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{z x} + R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y} \right], \end{aligned}\]其中 \((\Delta S_{i})_{yz},(\Delta S_{i})_{zx},(\Delta S_{i})_{xy}\) 分别表示小曲面块 \(\Delta S_{i}\) 到 \(Oyz,Ozx,Oxy\) 平面上的有向投影的面积。同样地，\(\lambda\) 是各小块曲面的直径的最大值，\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\) 称为被积函数，\(\Sigma\) 称为积分曲面，第二类曲面积分也称为对坐标的曲面积分。
【注】 ① 对双侧曲面，称取定法向量的曲面为有向曲面，而所选择的一侧通常是由法向的指向表示的。对封闭曲面常用外侧（法向量朝外）、内侧（法向量朝内）表示。对曲面 \(z = z(x,y)\) 用上侧（法向量与 \(z\) 轴夹角为锐角）、下侧（法向量与 \(z\) 轴夹角为钝角）表示。类似地，有曲面 \(x = x(y,z)\) 取前侧或后侧，曲面 \(\gamma = \gamma (z,x)\) 取左侧或右侧等。
② 曲面 \(\Sigma\) 的法向量 \(n(M_i) = (\cos \alpha_i, \cos \beta_i, \cos \gamma_i)\)，若 \(\cos \gamma_i > 0\)，则 \(\Delta S_i\) 的投影面积 \((\Delta S_i)_{xy}\) 取正值，若 \(\cos \gamma_i < 0\)，则 \((\Delta S_i)_{xy}\) 取负值。其余类似。
③ 若被积函数在分段光滑闭曲面上连续，则存在曲面积分。
7. 几种多元函数积分的比较
比较上述各类积分的定义，可以看到它们的共同点是：每种积分都是对积分区域进行任意剖分后得到的相应的和式的极限。不论哪种积分和式中每一项都有两个乘积因子，其中一个均是被积函数在小区域上某点取值；都是用”区域”的直径的最大值趋于零来刻画无限细分；每个极限都有两个无关性（与分割无关，与点的取法无关）。不同点是：不同类型的积分有不同类型的积分区域，这决定了乘积因子中另一因子是不同的（小区域的面积或体积；小曲线的长度或在坐标轴上的有向投影；小曲面的面积或在坐标平面上的有向投影的面积）。
（二）多元函数积分的性质
这里只叙述二重积分的性质。
设 \(f(x,y),g(x,y)\) 在有界区域 \(D\) 上可积，则
- 线性性质 \(\iint_{D} [\lambda f(x, y) \pm \mu g(x, y)] \mathrm{d}\sigma = \lambda \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d}\sigma \pm \mu \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d}\sigma\)，其中 \(\lambda, \mu\) 为常数。
- 对积分区域的可加性质 \(\iint_{D} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma + \dots + \iint_{D_k} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma\)，
其中区域 \(D = D_{1} \cup D_{2} \cup \dots \cup D_{k}\)（\(k\) 为有限数），而且区域 \(D_{1}, D_{2}, \dots, D_{k}\) 两两没有重叠部分。
- 比较定理 若 \(f(x,y),g(x,y)\) 在 \(D\) 上连续且 \(f(x,y)\equiv g(x,y)\)，则
特别地，若 \(m \stackrel{\leq}{\neq} f(x, y) \stackrel{\leq}{\neq} M\) 在 \(D\) 上成立，则 \(mA < \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d}\sigma < MA\)，其中 \(A\) 为 \(D\) 的面积。又有
\[\left| \iint_{D} f(x, y) d \sigma \right| \leqslant \iint_{D} | f(x, y) | d \sigma .\]- 积分中值定理 若 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上连续，则在 \(D\) 上至少存在一点 \((\xi ,\eta)\) 使
- 连续非负函数的积分性质 设 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 连续，非负，若 \(D_0 \subset D\)，则有
设 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 连续，非负，且 \(\iint_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = 0\)，则 \(f(x,y) \equiv 0, ((x,y) \in D)\)。
- 设 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 连续，若在 \(D\) 内任意子区域 \(D_0\)，有 \(\iint_{D_0} f(x,y) \, \mathrm{d}\sigma = 0\)，则
【注】 ① 各类多元函数积分都有与二重积分类似的线性性质与对区域的可加性质。
② 对三重积分与第一类曲线、曲面积分有类似二重积分的比较定理、积分中值定理及非负连续函数的积分性质等。
（三）两类曲线积分之间及两类曲面积分之间的关系
1. 两类曲线积分的关系
设 \(L_{AB}\) 为分段光滑曲线，两类曲线积分有如下关系：
\[\int_{L_{\alpha}} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \int_{L_{\alpha}} (P \cos \alpha + Q \cos \beta) \mathrm{d}s,\]其中 \(\cos \alpha, \cos \beta\) 是曲线弧 \(L_{\widehat{A} \widehat{B}}\) 沿从 \(A\) 到 \(B\) 方向的切线的方向余弦；\(P, Q\) 是 \(L_{\widehat{A} \widehat{B}}\) 上连续函数。推广到空间的情形，即为
\[\int_{L_{\alpha}} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z = \int_{L_{\alpha}} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \mathrm{d}s.\]将上式写成向量的点积形式即为 \(\int_{L_{\Delta}} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z = \int_{L_{\Delta}} F \cdot \mathrm{d}s = \int_{L_{\Delta}} F \cdot \tau \mathrm{d}s\)，其中，\(F = \{P, Q, R\}\)，\(\mathrm{d}s = \{\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z\}\)，\(\tau = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\) 是 \(L_{AB}\) 上任意点 \((x, y, z)\) 处指向曲线方向的单位切向量。
上述两个公式表明第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分，这也可以说是第二类曲线积分的一个计算方法。
2. 两类曲面积分的关系
设 \(\Sigma\) 为分块光滑曲面，则两类曲面积分有如下关系：
\[\iint_{\Sigma} P \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint_{\Sigma} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \mathrm{d}S,\]其中 \(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\) 是曲面 \(\Sigma\) 在点 \((x, y, z)\) 处法向量的方向余弦；\(P, Q, R\) 在 \(\Sigma\) 上连续。将上式写成向量的点积的形式，即为
\[\iint_{\Sigma} P \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint_{\Sigma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d}S,\]其中，\(F = \{P,Q,R\}\)，\(\mathrm{d}S = \{\mathrm{dy}\mathrm{dz},\mathrm{dz}\mathrm{dx},\mathrm{dx}\mathrm{dy}\}\)，\(n = (\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma)\)。
练习题
例题1
计算二重积分 \(\iint_D (x + y) \, \mathrm{d}\sigma\)，其中 \(D\) 是由直线 \(x = 0, y = 0\) 和 \(x + y = 1\) 所围成的三角形区域。
题目解答
区域 \(D\) 可以表示为 \(0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 - x\)。
先对 \(y\) 积分：
\[\int_0^{1-x} (x + y) \, \mathrm{d}y = \left[ xy + \frac{1}{2}y^2 \right]_0^{1-x} = x(1-x) + \frac{1}{2}(1-x)^2\]化简：
\[x(1-x) + \frac{1}{2}(1 - 2x + x^2) = x - x^2 + \frac{1}{2} - x + \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2\]再对 \(x\) 积分：
\[\int_0^1 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{6}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\]因此，\(\iint_D (x + y) \, \mathrm{d}\sigma = \frac{1}{3}\)。
例题2
设 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)，区域 \(D\) 是圆盘 \(x^2 + y^2 \le 1\)。利用二重积分的性质，证明：
\[\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma \le \pi\]题目解答
在 \(D\) 上，\(f(x, y) = x^2 + y^2 \le 1\)，且 \(D\) 的面积 \(A = \pi \cdot 1^2 = \pi\)。
由比较定理：若 \(f(x, y) \le M\)，则 \(\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma \le M \cdot A\)。
这里 \(M = 1\)，所以
等号成立当且仅当 \(f(x, y) \equiv 1\)，但 \(f(x, y) = 1\) 仅在边界成立，故严格不等式成立。
例题3
计算第一类曲线积分 \(\int_L (x + y) \, \mathrm{d}s\)，其中 \(L\) 是从点 \((0, 0)\) 到点 \((1, 1)\) 的直线段。
题目解答
直线 \(L\) 的方程为 \(y = x\)，参数化：\(x = t, y = t, 0 \le t \le 1\)。
弧长微分 \(\mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{1 + 1} \, \mathrm{d}t = \sqrt{2} \, \mathrm{d}t\)。
被积函数：\(x + y = t + t = 2t\)。
积分：
因此，\(\int_L (x + y) \, \mathrm{d}s = \sqrt{2}\)。
例题4
设曲线 \(L\) 是单位圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 的上半部分，从点 \((1, 0)\) 到点 \((-1, 0)\)。计算第二类曲线积分：
\[\int_L -y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y\]题目解答
参数化：\(x = \cos t, y = \sin t, 0 \le t \le \pi\)。
则 \(\mathrm{d}x = -\sin t \, \mathrm{d}t, \mathrm{d}y = \cos t \, \mathrm{d}t\)。
代入积分：
因此，\(\int_L -y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y = \pi\)。
例题5
利用两类曲线积分的关系，将第二类曲线积分
\[\int_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y\]化为第一类曲线积分，其中 \(L\) 是平面曲线，切向量的方向余弦为 \(\cos \alpha, \cos \beta\)。
题目解答
由两类曲线积分的关系：
其中 \(\cos \alpha, \cos \beta\) 是曲线 \(L\) 在点 \((x, y)\) 处切向量的方向余弦，\(\mathrm{d}s\) 是弧长微分。
此公式将第二类曲线积分转化为第一类曲线积分，便于计算或应用几何意义。
例题6
设曲面 \(\Sigma\) 是球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) 的上半球面，取上侧。计算第二类曲面积分：
\[\iint_\Sigma z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\]题目解答
由于曲面取上侧，法向量与 \(z\) 轴夹角为锐角，投影到 \(Oxy\) 平面为圆盘 \(D: x^2 + y^2 \le 1\)。
在 \(\Sigma\) 上，\(z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\)。
第二类曲面积分公式：
这里 \(R = z\)，所以
\[\iint_\Sigma z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_D \sqrt{1 - x^2 - y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\]用极坐标：\(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\)，\(\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta\)。
积分：
内积分：令 \(u = 1 - r^2\)，\(\mathrm{d}u = -2r \, \mathrm{d}r\)，
\[\int_0^1 r\sqrt{1 - r^2} \, \mathrm{d}r = -\frac{1}{2} \int_1^0 \sqrt{u} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{1/2} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]外积分：\(\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi\)。
所以：