三、基本初等函数导数表，导数四则运算法则与复合函数微分法则

（一）基本初等函数导数表（微分表）

\((c)' = 0\)

\[\left(x^{\alpha}\right)^{\prime} = \alpha x^{\alpha - 1}\]

\((\sin x)' = \cos x\)

\[\left(\cos x\right)^{\prime} = -\sin x\]

\(\left(\tan x\right)' = \frac{1}{\cos^2 x}\)

\[\left(\cot x\right)^{\prime} = -\frac{1}{\sin^{2} x}\]

\(\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}\)

\[\left(\log_{a} x\right)^{\prime} = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1)\]

\(\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime} = \mathrm{e}^{x}\)

\[\left(a^{x}\right)^{\prime} = a^{x} \ln a\]

\(\left(\arcsin x\right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)

\[\left(\arccos x\right)^{\prime} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\]

\(\left(\arctan x\right)' = \frac{1}{1 + x^2}\)

\[\left(\operatorname{arccot} x\right)^{\prime} = -\frac{1}{1 + x^{2}}\]

注：相应地有基本初等函数微分表。

（二）导数与微分的四则运算法则

定理2.3 设 \(f(x),g(x)\) 在 \(\mathcal{X}\) 处可导（可微），则

\([f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)\)，\([f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)；
\(\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \quad (g(x) \neq 0)\)；
\(\mathrm{d}[f(x)\pm g(x)] = \mathrm{d}f(x)\pm \mathrm{d}g(x)\)，\(\mathrm{d}[f(x)g(x)] = g(x)\mathrm{d}f(x) + f(x)\mathrm{d}g(x)\)；
\(\mathrm{d}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x)\mathrm{d}f(x) - f(x)\mathrm{d}g(x)}{g^2(x)} \quad (g(x)\neq 0)\)。

（三）复合函数的微分法则

定理2.4 设 \(\varphi(x)\) 在 \(x\) 处可导，\(y = f(u)\) 在对应点 \(u = \varphi(x)\) 处可导，则复合函数 \(y = f[\varphi(x)]\) 在 \(x\) 处可导且 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\) 或 \(y^{\prime}_{x} = y^{\prime}_{u}u^{\prime}_{x}\) 或 \(y^\prime_x = f'(u)\varphi'(x)\)。

用微分表示为 \(\mathrm{d}y = f'(u)\mathrm{d}u\)，其中 \(u\) 可以是自变量也可以是另一变量的可微函数——这就是一阶微分形式不变性。

若是多层复合函数，则可逐次用复合函数求导法求它的导数。例如：由 \(y = f(u)\)，\(u = g(v)\)，\(v = h(x)\) 构成复合函数 \(y = f[g(h(x))]\)。若 \(v = h(x)\) 在 \(x\) 可导，\(u = g(v)\) 在 \(v = h(x)\) 处可导，\(y = f(u)\) 在 \(u = g(v)\) 处可导，则复合函数 \(y = f[g(h(x))]\) 在 \(x\) 可导，且有

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x},\]

或 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f[g(h(x))] = f'[g(h(x))] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} g[h(x)] = f'[g(h(x))] g'[h(x)] h'(x)\)。

这里，我们约定：\(f^{\prime}[g(x)] = f^{\prime}(u)\mid_{u = g(x)}\)。

练习题

例题1

求函数 \(f(x) = x^3 + \sin x - \ln x\) 的导数。

解答
根据导数四则运算法则和基本初等函数导数表：

\[f'(x) = (x^3)' + (\sin x)' - (\ln x)' = 3x^2 + \cos x - \frac{1}{x}.\]

例题2

求函数 \(f(x) = e^x \cos x\) 的导数。

解答
使用乘积法则：

\[f'(x) = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x).\]

例题3

求函数 \(f(x) = \frac{\tan x}{x^2}\) 的导数。

解答
使用商法则和基本导数公式：

\[f'(x) = \frac{(\tan x)' \cdot x^2 - \tan x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot x^2 - \tan x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 \sec^2 x - 2x \tan x}{x^4}.\]

例题4

求函数 \(f(x) = \ln(\sin x)\) 的导数。

解答
使用复合函数求导法则，设 \(u = \sin x\)，则 \(f(x) = \ln u\)，

\[f'(x) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x.\]

例题5

求函数 \(f(x) = \arctan(e^{2x})\) 的导数。

解答
设 \(u = e^{2x}\)，则 \(f(x) = \arctan u\)，

\[f'(x) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u' = \frac{1}{1 + e^{4x}} \cdot (e^{2x})' = \frac{1}{1 + e^{4x}} \cdot 2e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{4x}}.\]

例题6

求函数 \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \cdot \ln(x^2 + 1)\) 的导数。

解答
使用乘积法则和复合函数求导：
设 \(u = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}\)，\(v = \ln(x^2 + 1)\)，

\[u' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}, \quad v' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}.\]

因此，

\[f'(x) = u' v + u v' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \ln(x^2 + 1) + \sqrt{x^2 + 1} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}.\]

例题7

求函数 \(f(x) = \frac{\arcsin x}{x}\) 的微分 \(\mathrm{d}f\)。

解答
使用微分的商法则：

\[\mathrm{d}f = \frac{x \cdot \mathrm{d}(\arcsin x) - \arcsin x \cdot \mathrm{d}x}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \mathrm{d}x - \arcsin x \cdot \mathrm{d}x}{x^2} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin x}{x^2} \mathrm{d}x.\]

例题8

求函数 \(f(x) = \cos(\ln(1 + x^2))\) 的导数。

解答
设 \(u = \ln(1 + x^2)\)，则 \(f(x) = \cos u\)，

\[f'(x) = -\sin u \cdot u' = -\sin(\ln(1 + x^2)) \cdot \frac{1}{1 + x^2} \cdot 2x = -\frac{2x \sin(\ln(1 + x^2))}{1 + x^2}.\]