一、矩阵乘法的定义和规律

(1) 乘法定义三要素

条件：矩阵 $\pmb{A}$ 的列数和 $\pmb{B}$ 的行数相等时，$\pmb{A}$ 和 $\pmb{B}$ 才可以相乘。

类型：$AB$ 的行数和 $A$ 相等，列数和 $\pmb{B}$ 相等。

元素：$AB$ 的 $(i,j)$ 位元素等于 $A$ 的第 $i$ 个行向量和 $B$ 的第 $j$ 个列向量（这两个向量维数相同）对应分量乘积之和。

用矩阵乘法表示线性方程组：增广矩阵为 $(A|\beta)$ 的 $n$ 元线性方程组可写为 $AX = \beta$，这里 $X = (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{\mathrm{T}}$。

注：$n$ 维向量 $\pmb{\eta}$ 是 $AX = \beta$ 的解即 $A\pmb {\eta} = \pmb{\beta}$。

(2) 矩阵乘法适合以下法则

① 加乘分配律：$A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC$
② 数乘性质：$(cA)B = c(AB) = A(cB)$
③ 结合律：$(AB)C = A(BC)$
④ 转置律：$(\mathbf{AB})^{\mathrm{T}} = \mathbf{B}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}^{\mathrm{T}}$
⑤ 单位律：$AE = A, EA = A$
⑥ $n$ 阶矩阵乘积的行列式性质：对两个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，有 $|\mathbf{AB}| = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|$

注：③和④容易推广到多个矩阵的情形。

但是矩阵的乘法在规则上与数的乘法有差别，除了它有条件外，还要注意两个不同处：

① 矩阵乘法无交换律

即使 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，从而 $AB, BA$ 都有意义，并且都是 $n$ 阶矩阵，它们也可能不相等。如果 $AB = BA$，则说 $A$ 和 $B$ 乘法可交换。

② 矩阵乘法无消去律，即一般地：

由 $AB = 0$ 推不出 $A = 0$ 或 $B = 0$
由 $AB = AC$ 和 $A \neq 0$ 推不出 $B = C$（无左消去律）
由 $BA = CA$ 和 $A \neq 0$ 推不出 $B = C$（无右消去律）

注：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来，这是常见错误，见下例。

【例2.1】 两个4阶矩阵满足 $A^2 = B^2$，则

(A) $A = B$
(B) $A = -B$
(C) $A = B$ 或 $A = -B$
(D) $|\mathbf{A}| = |\mathbf{B}|$ 或 $|\mathbf{A}| = -|\mathbf{B}|$

【解】 应该选(D)。

【分析】 对 $A^2 = B^2$ 两边取行列式，得：

\[\left|A\right|^2 = \left|B\right|^2 \Leftrightarrow \left|A\right|^2 -\left|B\right|^2 = 0 \Leftrightarrow (\left|A\right| - \left|B\right|)(\left|A\right| + \left|B\right|) = 0 \Leftrightarrow \left|A\right| - \left|B\right| = 0 \text{ 或 } |\textbf{A}| + |\textbf{B}| = 0\]

即 $|\textbf{A}| = |\textbf{B}|$ 或 $|\textbf{A}| = -|\textbf{B}|$。

（有考生选了(C)，他的推导如下：

$A^2 = B^2 \Leftrightarrow A^2 - B^2 = 0 \Leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \Leftrightarrow A - B = 0$ 或 $A + B = 0$ 即 $A = B$ 或 $A = -B$。

他的问题出在哪儿？）

二、$n$ 阶矩阵的方幂和多项式

(1) 方幂

设 $k$ 是正整数，$n$ 阶矩阵 $A$ 的 $k$ 次方幂 $A^k$ 即 $k$ 个 $A$ 的连乘积。规定 $A^0 = E$。显然 $A$ 的任何两个方幂都是可交换的，并且方幂运算符合指数法则：

① $A^k A^h = A^{k + h}$
② $(A^k)^h = A^{kh}$

但是一般地 $(AB)^{k} \neq A^{k}B^{k}$。

(2) 多项式和乘法公式

设 $f(x) = a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots +a_{1}x + a_{0}$，对 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 规定：

\[f(A) = a_{m}A^{m} + a_{m-1}A^{m-1} + \dots + a_{1}A + a_{0}E\]

称为 $A$ 的一个多项式。请特别注意在常数项上加单位矩阵 $\pmb{E}$。

由于交换性的障碍，中学代数教材中的数的因式分解和乘法公式对于 $n$ 阶矩阵不再成立。如等式：

\[(A \pm B)^{2} = A^{2} \pm 2AB + B^{2}\]

和

\[A^{2} - B^{2} = (A + B)(A - B)\]

成立的充分必要条件是 $AB = BA$。

一般地，如果公式中所出现的 $n$ 阶矩阵互相都是乘法可交换的，则乘法公式成立。例如二项展开式：

\[(A + B)^{m} = \sum_{i=1}^{m} C_{m}^{i} A^{m-i} B^{i}\]

在 $A$ 和 $B$ 乘法可交换的条件下成立（不是充分必要条件）。

一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的多项式总可以因式分解。如：

\[E - A^{3} = (E - A)(E + A + A^{2})\]

同一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的两个多项式总是乘法可交换的：

\[f(A)g(A) = g(A)f(A)\]

练习题

例题1

题目内容
设矩阵

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\]

计算 ( AB $和 \( BA$，并验证矩阵乘法无交换律。

题目解答

\[AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot3 + 2\cdot(-1) & 1\cdot1 + 2\cdot2 \\ 0\cdot3 + 1\cdot(-1) & 0\cdot1 + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\] \[BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 + 1\cdot0 & 3\cdot2 + 1\cdot1 \\ -1\cdot1 + 2\cdot0 & -1\cdot2 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\]

由于 ( AB \neq BA $，验证了矩阵乘法无交换律。

例题2

题目内容
已知矩阵

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

验证 ( AB = AC $且 \( A \neq 0$，但 ( B \neq C $，说明矩阵乘法无左消去律。

题目解答

\[AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[AC = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

因此 ( AB = AC = 0 $，且 \( A \neq 0 $，但 ( B \neq C $，说明矩阵乘法无左消去律。

例题3

题目内容
设 ( A $和 \( B$ 为 ( n $阶矩阵，且 \( A^2 = B^2$。证明：( |A| = |B| $或 \( |A| = -|B|$。

题目解答
对 ( A^2 = B^2 $ 两边取行列式：

\[|A^2| = |B^2| \Rightarrow |A|^2 = |B|^2 \Rightarrow |A|^2 - |B|^2 = 0 \Rightarrow (|A| - |B|)(|A| + |B|) = 0\]

因此 ( |A| - |B| = 0 $或 \( |A| + |B| = 0$，即 ( |A| = |B| $或 \( |A| = -|B|$。

例题4

题目内容
设 ( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} $，计算 \( A^3 $ 和 ( f(A) = 2A^2 - 3A + E $，其中 \( E $ 为单位矩阵。

题目解答
先计算 ( A^2 $：

\[A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\]

再计算 ( A^3 = A^2 \cdot A $：

\[A^3 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\]

计算 ( f(A) $：

\[f(A) = 2A^2 - 3A + E = 2\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\]

例题5

题目内容
设 ( A $和 \( B$ 为 ( n $阶矩阵，且 \( AB = BA$。证明：

\[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]

题目解答
展开左边：

\[(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2\]

由于 ( AB = BA $，有 \( AB + BA = 2AB $，代入得：