第八章 多元函数微分学
练习题
例题1
设函数 \(f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2\)，求其在点 \((1, 2)\) 处的偏导数 \(f_x\) 和 \(f_y\)。
解答
首先，计算偏导数 \(f_x\)：
在点 \((1, 2)\) 处：
\[f_x(1, 2) = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8\]接着，计算偏导数 \(f_y\)：
\[f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 3xy + y^2) = 3x + 2y\]在点 \((1, 2)\) 处：
\[f_y(1, 2) = 3(1) + 2(2) = 3 + 4 = 7\]因此，\(f_x(1, 2) = 8\)，\(f_y(1, 2) = 7\)。
例题2
设函数 \(z = e^{xy}\)，求全微分 \(dz\)。
解答
全微分公式为 \(dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy\)。
首先，计算偏导数：
代入全微分公式：
\[dz = y e^{xy} dx + x e^{xy} dy = e^{xy}(y dx + x dy)\]因此，全微分 \(dz = e^{xy}(y dx + x dy)\)。
例题3
设函数 \(f(x, y) = x^3 y + \sin(xy)\)，验证其在点 \((0, 1)\) 处是否满足混合偏导数相等的条件，即检查 \(f_{xy} = f_{yx}\)。
解答
首先，计算一阶偏导数：
接着，计算二阶混合偏导数：
\[f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_x) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 y + y \cos(xy)) = 3x^2 + \cos(xy) - xy \sin(xy)\] \[f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(f_y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + x \cos(xy)) = 3x^2 + \cos(xy) - xy \sin(xy)\]在点 \((0, 1)\) 处：
\[f_{xy}(0, 1) = 3(0)^2 + \cos(0) - (0)(1) \sin(0) = 0 + 1 - 0 = 1\] \[f_{yx}(0, 1) = 3(0)^2 + \cos(0) - (0)(1) \sin(0) = 0 + 1 - 0 = 1\]由于 \(f_{xy}(0, 1) = f_{yx}(0, 1) = 1\)，混合偏导数在点 \((0, 1)\) 处相等，满足条件。
例题4
设函数 \(u = x^2 + y^2 + z^2\)，其中 \(x = t\)，\(y = t^2\)，\(z = t^3\)，求 \(\frac{du}{dt}\) 在 \(t = 1\) 处的值。
解答
使用链式法则：
计算各偏导数和导数：
\[\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = 2z\] \[\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t, \quad \frac{dz}{dt} = 3t^2\]代入：
\[\frac{du}{dt} = 2x \cdot 1 + 2y \cdot 2t + 2z \cdot 3t^2 = 2x + 4ty + 6t^2 z\]将 \(x = t\)，\(y = t^2\)，\(z = t^3\) 代入：
\[\frac{du}{dt} = 2t + 4t(t^2) + 6t^2(t^3) = 2t + 4t^3 + 6t^5\]在 \(t = 1\) 处：
\[\frac{du}{dt} = 2(1) + 4(1)^3 + 6(1)^5 = 2 + 4 + 6 = 12\]因此，\(\frac{du}{dt} \bigg|_{t=1} = 12\)。