二、行列式的性质

基本性质

① $|\mathbf{A}^{\mathrm{T}}| = |\mathbf{A}|$

② 第一类初等变换值变号

③ 某一行（列）的公因子可提出

于是，$\left|c\boldsymbol{A}\right| = c^n\left|\boldsymbol{A}\right|$

④ 第三类初等变换不改变行列式的值

⑤ 对一行或一列可分解，例如

\[\left| \alpha, \beta_{1} + \beta_{2}, \gamma \right| = \left| \alpha, \beta_{1}, \gamma \right| + \left| \alpha, \beta_{2}, \gamma \right|\]

⑥ 如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数，则行列式的值为0

余子式与代数余子式

把 $n$ 阶行列式的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后所得到的 $n - 1$ 阶行列式称为 $(i,j)$ 位元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。称 $A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

展开定理

⑦（对某一行或列的展开）行列式的值等于该行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和

⑧ 某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和 $= 0$

分块矩阵行列式

⑨ 如果 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 都是方阵（不必同阶），则

\[\left| \begin{array}{cc} A & * \\ 0 & B \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} A & 0 \\ * & B \end{array} \right| = |A||B|\]

这是”拉普拉斯公式”的一个特殊情形。

范德蒙行列式

范德蒙行列式：形如

\[\left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ \dots & \dots & \dots & & \dots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & \dots & a_{n}^{n-1} \end{array} \right|\]

（或其转置）的行列式称为范德蒙行列式，它的值等于 $\prod_{i < j}(a_j - a_i)$

于是范德蒙行列式不等于 $0 \Leftrightarrow a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 两两不同。

注记

请注意行列式和矩阵在运算上的不同，如

\[\begin{aligned} &(\alpha, \beta_{1}, \gamma) + (\alpha, \beta_{2}, \gamma) = (2\alpha, \beta_{1} + \beta_{2}, 2\gamma) \\ &\text{而} \quad |\alpha, \beta_{1}, \gamma| + |\alpha, \beta_{2}, \gamma| = |\alpha, \beta_{1} + \beta_{2}, \gamma| \\ &(2\alpha, 2\beta, 2\gamma) = 2(\alpha, \beta, \gamma) \\ &\text{而} \quad |2\alpha, 2\beta, 2\gamma| = 2^{3}|\alpha, \beta, \gamma| \end{aligned}\]

练习题

例题1

计算行列式：

\[\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right|\]

并利用性质说明为什么这个行列式等于上三角矩阵对角线元素的乘积。

解答根据性质⑨（分块矩阵行列式），该矩阵是上三角矩阵，可以视为：

\[\left| \begin{array}{cc} 1 & * \\ 0 & \begin{array}{cc} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \end{array} \right| = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \right| = 1 \cdot (4 \cdot 6 - 5 \cdot 0) = 24.\]

更一般地，上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积：(1 \times 4 \times 6 = 24$。这体现了性质⑨中当 \(*$ 区域为0时，行列式等于子块行列式的乘积。

例题2

设矩阵 (\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$，计算 \(|\mathbf{A}|$ 和 (|2\mathbf{A}|$，并验证性质③：\(|c\mathbf{A}| = c^n |\mathbf{A}|$。

解答首先，(|\mathbf{A}| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$。然后，\(2\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$，所以 (|2\mathbf{A}| = 2 \cdot 8 - 4 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$。由于 \(n=2$，有 (c^n |\mathbf{A}| = 2^2 \cdot (-2) = -8$，与直接计算一致，验证了性质③。

例题3

计算范德蒙行列式：

\[\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{array} \right|\]

并说明它何时为零。

解答这是一个3阶范德蒙行列式，其中 (a_1=1, a_2=2, a_3=3$。根据公式：

\[\prod_{1 \le i < j \le 3} (a_j - a_i) = (2-1)(3-1)(3-2) = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2.\]

因此行列式的值为2。
范德蒙行列式为零当且仅当 (a_1, a_2, a_3$ 中有两个相等，即参数不两两不同。

例题4

设行列式 (D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{array} \right|$，利用性质⑥说明为什么这个行列式的值为0。

解答观察矩阵的行向量：第一行 ((1,2,3)$，第二行 \((4,5,6)$，第三行 ((7,8,9)$。注意到第二行减第一行得 \((3,3,3)$，第三行减第二行得 ((3,3,3)$，说明第三行减去第二行等于第二行减去第一行，即第三行 = 2 × 第二行 - 第一行。因此，行向量线性相关，不满足两两独立。根据性质⑥，如果一个行向量是其他行向量的线性组合（即行向量组线性相关），则行列式为0。实际上，直接计算得 \(D = 1(5\cdot9 - 6\cdot8) - 2(4\cdot9 - 6\cdot7) + 3(4\cdot8 - 5\cdot7) = 0$。

例题5

设 (D = \left| \alpha, \beta, \gamma \right|$ 是一个3阶行列式，其中 \(\alpha, \beta, \gamma$ 是列向量。已知 (D = 5$，计算：

\[\left| \alpha, 2\beta + 3\gamma, \gamma \right| + \left| \alpha, \beta, \gamma \right|.\]

利用性质⑤（线性性）进行分解。

解答根据性质⑤，对第二列分解：

例题6

设 (\mathbf{A}$ 为n阶矩阵，且 \(|\mathbf{A}| = 3$。求 (|\mathbf{A}^T|$ 和 \(|\mathbf{A}^{-1}|$（如果存在），并说明所用性质。

解答

由性质①：(|\mathbf{A}^T| = |\mathbf{A}| = 3$。
如果 (\mathbf{A}$ 可逆，则 \(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$，取行列式得 (|\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{A}^{-1}| = 1$，所以 \(|\mathbf{A}^{-1}| = 1/3$。
这里用到了行列式的乘法性质（虽未在文档明确列出，但可由分块矩阵性质推导）。