三、克拉默法则

克拉默法则在线性方程组的方程个数等于未知数个数 $n$（即系数矩阵 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶矩阵）时，如果 $|A| \neq 0$，则方程组 $AX = \beta$ 有唯一解，这个解为

\[\left(D _ {1} / | A |, D _ {2} / | A |, \dots , D _ {n} / | A |\right),\]

这里 $D_{i}$ 是把 $\left|A\right|$ 的第 $i$ 个列向量换成常数列向量 $\pmb{\beta}$ 所得到的行列式的值。

说明与改进

事实上系数行列式不等于 0 是唯一解的充分必要条件。

求解还可用初等变换法：对增广矩阵 $(A|\beta)$ 作初等行变换，使得 $A$ 变为单位矩阵：

\[\left(A \mid \boldsymbol {\beta}\right)\rightarrow \left(E \mid \boldsymbol {\eta}\right),\]

$\pmb{\eta}$ 就是解。

用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵 $A$ 是方阵，则它只有零解的充分必要条件是 $|A| \neq 0$。

考题型及其解题方法与技巧

（行列式在考试真题中是常常出现的，但是其中不少是涉及其他概念的，有关题型将放在相应的地方，下面只举有关行列式本身的性质和计算方法的题型。）

题型一有关完全展开式和性质的问题

【例 1.1】求 $f(x) = \left| \begin{array}{cccc}x - 3 & 3 & -1 & 4\\ 5 & x - 8 & 0 & -2\\ 0 & 4 & x + 1 & 1\\ 2 & 2 & 1 & x \end{array} \right|$ 的 $x^{3}$ 的系数。

【解】在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23 项 $x$ 的次数都不超过 2，因此 $(x - 3)(x - 8)(x + 1)x$ 中 $x^3$ 的系数 -10 就是所求。

评注一般地，$(x - a_{1})(x - a_{2})(x - a_{3})(x - a_{4})$ 展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $- (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})$。

【例 1.2】$A = \left[ \begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} \right],$ 证明 $\mid xE - A\mid$ 的 4 个根之和等于 $a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44}$。

【证明】设 4 个根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$。因为 $\left|xE - A\right|$ 是 $x$ 的 4 次多项式，并且 $x^{4}$ 的系数为 1，所以

\[\left| x E - A \right| = \left(x - x _ {1}\right) \left(x - x _ {2}\right) \left(x - x _ {3}\right) \left(x - x _ {4}\right)。\]

由例 1.1 的方法的启示，考察 $x^3$ 的系数。从右侧看为 $-(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$；再从左侧看，因为 $|xE - A|$ 对角线外的元素都是不含 $x$ 的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积 $(x - a_{11})(x - a_{22})(x - a_{33})(x - a_{44})$ 这一项包含 $x^3$ 的，并且系数为 $-(a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44})$。于是 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44}$。

【例 1.3】设 $A$ 与 $B$ 分别是 $m, n$ 阶矩阵，证明

\[\left| \begin{array}{c c} * & A \\ B & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c} 0 & A \\ B & * \end{array} \right| = (- 1) ^ {m n} | A | | B |。\]

【证明】把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换（共进行了 $n$ 次），再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，…，最后把右部分的第 $m$ 列依次和左部分的各列邻换。一共进行了 $mn$ 次邻换。于是

\[\left| \begin{array}{l l} * & A \\ B & 0 \end{array} \right| = (- 1) ^ {m n} \left| \begin{array}{l l} A & * \\ 0 & B \end{array} \right| = (- 1) ^ {m n} | A | | B |。\] \[\left| \begin{array}{l l} 0 & A \\ B & * \end{array} \right| = (- 1) ^ {m n} \left| \begin{array}{l l} A & 0 \\ * & B \end{array} \right| = (- 1) ^ {m n} | A | | B |。\]

【例 1.4】设 4 阶矩阵 $A = (\alpha, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$，$B = (\beta, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$，$|A| = 2$，$|B| = 3$，求 $|A + B|$。

【解】$A + B = (\alpha + \beta, 2\gamma_1, 2\gamma_2, 2\gamma_3)$，（注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加）

$\mid A + B\mid = \mid \alpha +\beta ,2\gamma_1,2\gamma_2,2\gamma_3\mid = 8\mid \alpha +\beta ,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\mid$（用性质 ③，二，三，四列都提出 2）

\[\begin{array}{l} = 8 \left(\left| \alpha , \gamma_ {1}, \gamma_ {2}, \gamma_ {3} \right| + \left| \beta , \gamma_ {1}, \gamma_ {2}, \gamma_ {3} \right|\right) \\ = 8 (2 + 3) = 4 0。 \\ \end{array}\]

【例 1.5】设 4 阶矩阵 $A = (\alpha, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$，$B = (\beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_1)$，$|A| = a$，$|B| = b$，求 $|A + B|$。

【解】$A + B = (\alpha + \beta, \gamma_1 + \gamma_2, \gamma_2 + \gamma_3, \gamma_3 + \gamma_1)$，

\[\left| \boldsymbol {A} + \boldsymbol {B} \right| = \left| \boldsymbol {\alpha} + \boldsymbol {\beta}, \gamma_ {1} + \gamma_ {2}, \gamma_ {2} + \gamma_ {3}, \gamma_ {3} + \gamma_ {1} \right|\]

$\alpha + \beta, 2\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3, \gamma_2 + \gamma_3, \gamma_3 + \gamma_1$（把第 4 列加到第 2 列上）

$= |\alpha +\beta ,2\gamma_{1},\gamma_{2} + \gamma_{3},\gamma_{3} + \gamma_{1}|$（第 2 列减去第 3 列）

\[\begin{array}{l} = 2 \left| \alpha + \beta , \gamma_ {1}, \gamma_ {2} + \gamma_ {3}, \gamma_ {3} \right| = 2 \left| \alpha + \beta , \gamma_ {1}, \gamma_ {2}, \gamma_ {3} \right| \\ = 2 \left(\left| \alpha , \gamma_ {1}, \gamma_ {2}, \gamma_ {3} \right| + \left| \beta , \gamma_ {1}, \gamma_ {2}, \gamma_ {3} \right|\right) \\ = 2 \left(\left| \alpha , \gamma_ {1}, \gamma_ {2}, \gamma_ {3} \right| + \left| \beta , \gamma_ {2}, \gamma_ {3}, \gamma_ {1} \right|\right) = 2 a + 2 b。 \\ \end{array}\] \[\left| \boldsymbol {A} + \boldsymbol {B} \right| = 2 a + 2 b。\]

【例 1.6】设

\[D = \left| \begin{array}{cccc} 2 & 4 & 5 & -2 \\ -3 & 7 & 8 & 4 \\ 5 & -9 & -5 & 7 \\ 2 & -5 & 2 & 2 \end{array} \right|,\]

求 $-A_{13}-A_{23}+2A_{33}+A_{43}$。

【解】所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 $A_{13}, A_{23}, A_{33}, A_{43}$ 依次乘 $-1, -1, 2, 1$ 后的和。$A_{13}, A_{23}, A_{33}, A_{43}$ 和行列式的第 3 列元素是无关的，因此如果把第 3 列元素改为 $-1, -1, 2, 1$，则 $A_{13}, A_{23}, A_{33}, A_{43}$ 不改变。于是修改后的行列式的值 $= A_{13} - A_{23} + A_{33} + A_{43}$。

\[- A _ {1 3} - A _ {2 3} + 2 A _ {3 3} + A _ {4 3} = \left| \begin{array}{c c c c} 2 & 4 & - 1 & - 2 \\ - 3 & 7 & - 1 & 4 \\ 5 & - 9 & 2 & 7 \\ 2 & - 5 & 1 & 2 \end{array} \right|\]

第二行减第一行，第三行加第一行的 2 倍，第四行加第一行：

\[= \left| \begin{array}{cccc} 2 & 4 & -1 & -2 \\ -5 & 3 & 0 & 6 \\ 9 & -1 & 0 & 3 \\ 4 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right|\]

对第 3 列展开：

\[= -\left| \begin{array}{ccc} -5 & 3 & 6 \\ 9 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \end{array} \right|\]

第一行减第二行的 2 倍：

\[= -\left| \begin{array}{ccc} -23 & 5 & 0 \\ 9 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \end{array} \right| = 3\left| \begin{array}{cc} -23 & 5 \\ 4 & -1 \end{array} \right| = 9\]

题型二低阶行列式的计算

实际计算低阶行列式的主要方法是化零降阶法（如例 1.6 中的计算）：选择行列式的一行或一列，用第三类初等变换（性质 ④）将它化到只有一个元素不为 0，再用性质 ⑦ 对这行（或列）展开，于是化为计算一个低 1 阶的行列式。

【例 1.7】计算行列式 $\left| \begin{array}{cccc}a & 0 & b & c\\ 0 & a & c & b\\ b & c & a & 0\\ c & b & 0 & a \end{array} \right|$

【解】方法一：先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，

\[\begin{array}{l} \left| \begin{array}{c c c c} a & 0 & b & c \\ 0 & a & c & b \\ b & c & a & 0 \\ c & b & 0 & a \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c} a + b + c & 0 & b & c \\ a + b + c & a & c & b \\ a + b + c & c & a & 0 \\ a + b + c & b & 0 & a \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c} a + b + c & 0 & b & c \\ 0 & a & c - b & b - c \\ 0 & c & a - b & - c \\ 0 & b & - b & a - c \end{array} \right| \\ = (a + b + c) \left| \begin{array}{c c c} a & c - b & b - c \\ c & a - b & - c \\ b & - b & a - c \end{array} \right| \\ \end{array}\]

把第 2 列加到第 3 列上：

\[\begin{array}{l} = (a + b + c) \left| \begin{array}{c c c} a & c - b & 0 \\ c & a - b & 0 \\ b & - b & a - b - c \end{array} \right| \\ = (a + b + c) (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c)。 \\ \end{array}\]

方法二：

\[\begin{array}{l} \left| \begin{array}{cccc}a & 0 & b & c\\ 0 & a & c & b\\ b & c & a & 0\\ c & b & 0 & a \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc}a & a & b + c & b + c\\ 0 & a & c & b\\ b + c & b + c & a & a\\ c & b & 0 & a \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc}a & 0 & b + c & 0\\ 0 & a & c & b - c\\ b + c & 0 & a & 0\\ c & b - c & 0 & a \end{array} \right| \\ = - \left| \begin{array}{c c c c} a & b + c & 0 & 0 \\ 0 & c & a & b - c \\ b + c & a & 0 & 0 \\ c & 0 & b - c & a \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c} a & b + c & 0 & 0 \\ b + c & a & 0 & 0 \\ 0 & c & a & b - c \\ c & 0 & b - c & a \end{array} \right| \\ = \left[ a ^ {2} - (b + c) ^ {2} \right] \left[ a ^ {2} - (b - c) ^ {2} \right] \\ = (a + b + c) (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c)。 \\ \end{array}\]

评注在利用元素分布的规律和行列式性质化简行列式时，方法往往不是唯一的，它们繁简各异，因此计算行列式时方法上有很大灵活性和试探性。

【例 1.8】计算行列式 $\begin{array}{r}\left| \begin{array}{ccccc}2a & b & 2a & 2a & 2a\\ -a & -a & b & -a & -a\\ a & a & a & b & a\\ 2 & 2 & 2 & 2 & b\\ a & a & a & a & a \end{array} \right| \end{array}$

【解】先提出第 5 行的公因子 $a$，再把上面 4 行依次加上它的 $-2a$ 倍，$a$ 倍，$-a$ 倍和 -2 倍：

\[\left| \begin{array}{c c c c c} 2 a & b & 2 a & 2 a & 2 a \\ - a & - a & b & - a & - a \\ a & a & a & b & a \\ 2 & 2 & 2 & 2 & --- # 练习题 ### 例题1 **题目内容** 设线性方程组 \]

\begin{cases} 2x + y + z = 1 \ x + 2y + z = 2 \ x + y + 2z = 3 \end{cases}

\[使用克拉默法则求解该方程组。 **题目解答** 系数矩阵为 \]

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

\[计算行列式 \(|A|$： \]

|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(4-1) - 1(2-1) + 1(1-2) = 6 - 1 - 1 = 4

\[由于 \(|A| \neq 0$，方程组有唯一解。计算各 \(D_i$： - \(D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4-1) - 1 \cdot (4-3) + 1 \cdot (2-6) = 3 - 1 - 4 = -2$ - \(D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (4-3) - 1 \cdot (2-1) + 1 \cdot (3-2) = 2 - 1 + 1 = 2$ - \(D_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (6-2) - 1 \cdot (3-2) + 1 \cdot (1-2) = 8 - 1 - 1 = 6$ 解为： \]

x = \frac{D_1}{|A|} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{D_2}{|A|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad z = \frac{D_3}{|A|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

\[因此，解为 \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$. --- ### 例题2 **题目内容** 计算行列式 \]

D = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \ 1 & x & 1 & 1 \ 1 & 1 & x & 1 \ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix}

\[并求当 \(x = 2$ 时的值。 **题目解答** 将第2、3、4列加到第1列： \]

D = \begin{vmatrix} x+3 & 1 & 1 & 1 \ x+3 & x & 1 & 1 \ x+3 & 1 & x & 1 \ x+3 & 1 & 1 & x \end{vmatrix} = (x+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & x & 1 & 1 \ 1 & 1 & x & 1 \ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix}

\[第2、3、4行减去第1行： \]

D = (x+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & x-1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & x-1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = (x+3)(x-1)^3

\[当 \(x = 2$ 时， \]

D = (2+3)(2-1)^3 = 5 \cdot 1 = 5

\[因此，行列式的值为 \(5$. --- ### 例题3 **题目内容** 设矩阵 \]

A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \ 0 & 1 & a & 0 \ 0 & 0 & 1 & a \ a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\[计算行列式 \(|A|$。 **题目解答** 对第1列展开： \]

|A| = 1 \cdot A_{11} + a \cdot A_{41}

\[其中 - \(A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$（上三角行列式） - \(A_{41} = (-1)^{4+1} M_{41} = -\begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \end{vmatrix} = -a^3$（下三角行列式）代入得： \]

|A| = 1 \cdot 1 + a \cdot (-a^3) = 1 - a^4

\[因此，\(|A| = 1 - a^4$. --- ### 例题4 **题目内容** 已知向量组 \((2,1,1,1), (2,1,a,a), (3,2,1,a), (4,3,2,1)$ 线性相关，且 \(a \neq 1$，求 \(a$。 **题目解答** 向量组线性相关等价于以其为行向量的4阶行列式为0： \]

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \ 2 & 1 & a & a \ 3 & 2 & 1 & a \ 4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0

\[计算行列式：第2行减第1行： \]

= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & a-1 & a-1 \ 3 & 2 & 1 & a \ 4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}

\[第3列减第2列： \]

= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & a-1 \ 3 & 2 & 1-a & a \ 4 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a-1) \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \ 3 & 2 & 1-a \ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}

\[计算3阶行列式： \]

= (a-1) \left[ 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1-a \ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1-a \ 4 & 1 \end{vmatrix} \right] = (a-1) \left[ 2(2 - 3(1-a)) - (3 - 4(1-a)) \right]

\[简化： \]

= (a-1) \left[ 2(2 - 3 + 3a) - (3 - 4 + 4a) \right] = (a-1) \left[ 2(3a - 1) - (4a - 1) \right] = (a-1)(6a - 2 - 4a + 1) = (a-1)(2a - 1)

\[令其为零： \]

(a-1)(2a-1) = 0

\[由于 \(a \neq 1$，得 \(a = \frac{1}{2}$。因此，\(a = \frac{1}{2}$. --- ### 例题5 **题目内容** 计算行列式 \]

D = \begin{vmatrix} a & 0 & b & c \ 0 & a & c & b \ b & c & a & 0 \ c & b & 0 & a \end{vmatrix}

\[并化简结果。 **题目解答** 将第2、3、4列加到第1列： \]

D = \begin{vmatrix} a+b+c & 0 & b & c \ a+b+c & a & c & b \ a+b+c & c & a & 0 \ a+b+c & b & 0 & a \end{vmatrix} = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & b & c \ 1 & a & c & b \ 1 & c & a & 0 \ 1 & b & 0 & a \end{vmatrix}

\[第2、3、4行减第1行： \]

= (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & b & c \ 0 & a & c-b & b-c \ 0 & c & a-b & -c \ 0 & b & -b & a-c \end{vmatrix}

\[对第1列展开： \]

= (a+b+c) \begin{vmatrix} a & c-b & b-c \ c & a-b & -c \ b & -b & a-c \end{vmatrix}

\[进一步化简（例如，将第2列加到第3列）可得： \]

D = (a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)

\[因此，行列式的值为 \((a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)$.\]

三、克拉默法则

说明与改进

考题型及其解题方法与技巧

题型一 有关完全展开式和性质的问题

相关例题

题型二 低阶行列式的计算

题型一有关完全展开式和性质的问题

题型二低阶行列式的计算