七、可逆矩阵
1. 定义
【定义2.1】 设 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵，如果存在 \(n\) 阶矩阵 \(\pmb{H}\)，使得 \(AH = E\)，\(HA = E\)，则称 \(A\) 为可逆矩阵。此时 \(\pmb{H}\) 是唯一的，称为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(A^{-1}\)。
2. 矩阵可逆性的判别
\(n\) 阶矩阵 \(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow |A|\neq 0\)
\(\Leftrightarrow AX = \beta\) 唯一解；\(AX = 0\) 只有零解。
\[\Leftrightarrow \mathrm {r} (A) = n.\]\(\Leftrightarrow 0\) 不是 \(A\) 的特征值。
3. 可逆矩阵的作用
-
如果 \(A\) 可逆，则 \(A\) 在乘法中有消去律：
- \(AB = 0\Rightarrow B = 0;AB = AC\Rightarrow B = C.\) （左消去律）
- \(BA = 0 \Rightarrow B = 0; BA = CA \Rightarrow B = C\) （右消去律）
-
等式两边都在同侧乘一个可逆矩阵是恒等变形：如果 \(A\) 可逆，
\[A B = A C \Leftrightarrow B = C. \quad B A = C A \Leftrightarrow B = C.\] -
乘法中保持秩：如果 \(A\) 可逆，\(\mathrm{r}(AB) = \mathrm{r}(B), \mathrm{r}(BA) = \mathrm{r}(B)\)。
4. 可逆矩阵的性质
-
如果 \(A\) 和 \(B\) 都是 \(n\) 阶矩阵，则 \(AB = E \Leftrightarrow BA = E\)。
即只要 \(AB = E\)，则 \(\mathbf{A}\) 和 \(\pmb{B}\) 都可逆并且互为逆矩阵。
-
对于两个 \(n\) 阶矩阵 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\)，
\(A\) 和 \(B\) 都可逆 \(\Leftrightarrow AB\) 可逆，并且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
-
如果 \(A\) 可逆，则 \(A^{\mathrm{T}}, cA (c \neq 0)\) 和 \(A^{k}\) 都可逆，并且
\[\left(\boldsymbol {A} ^ {\mathrm {T}}\right) ^ {- 1} = \left(\boldsymbol {A} ^ {- 1}\right) ^ {\mathrm {T}}, \quad (c \boldsymbol {A}) ^ {- 1} = c ^ {- 1} \boldsymbol {A} ^ {- 1}, \quad \left(\boldsymbol {A} ^ {k}\right) ^ {- 1} = \left(\boldsymbol {A} ^ {- 1}\right) ^ {k}.\]
5. 逆矩阵的计算
-
初等变换法：\(A^{-1}\) 就是矩阵方程 \(AX = E\) 的解，于是得到计算 \(A^{-1}\) 的初等变换法：
\[(\boldsymbol {A} \mid \boldsymbol {E}) \rightarrow (\boldsymbol {E} \mid \boldsymbol {A} ^ {- 1}).\] -
伴随矩阵法：\(A^{-1} = \frac{A^{*}}{|A|}\)
【注】 伴随矩阵法计算量大，当阶数大于2时建议不要用。
6. 几个常见矩阵的逆矩阵
-
对角矩阵可逆 \(\Leftrightarrow\) 对角线上元素都不为0。其逆矩阵也是对角矩阵，只用把每个对角线元素变为倒数。
-
初等矩阵都是可逆矩阵，并且
\[E (i, j) ^ {- 1} = E (i, j), \quad E (i (c)) ^ {- 1} = E (i (c ^ {- 1})), \quad E (i, j (c)) ^ {- 1} = E (i, j (- c)).\] -
如果 \(A\) 和 \(B\) 是两个 \(n\) 阶可逆矩阵，则分块矩阵 \(\left[ \begin{array}{ll}A & 0\\ 0 & B \end{array} \right]\) 和 \(\left[ \begin{array}{ll}0 & A\\ B & 0 \end{array} \right]\) 都可逆，并且
\[\left[ \begin{array}{c c} A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} A ^ {- 1} & 0 \\ 0 & B ^ {- 1} \end{array} \right]\] \[\left[ \begin{array}{l l} \mathbf {0} & \mathbf {A} \\ \mathbf {B} & \mathbf {0} \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {0} & \mathbf {B} ^ {- 1} \\ \mathbf {A} ^ {- 1} & \mathbf {0} \end{array} \right]\]
练习题
例题1
设 \(A\) 为 \(n\) 阶矩阵，且 \(A^2 - 3A + 2E = 0\)，其中 \(E\) 是单位矩阵。证明 \(A\) 可逆，并求 \(A^{-1}\)。
解答
由 \(A^2 - 3A + 2E = 0\)，整理得 \(A^2 - 3A = -2E\)，即 \(A(A - 3E) = -2E\)。两边同时乘以 \(-\frac{1}{2}\)，得 \(A\left(\frac{3E - A}{2}\right) = E\)。因此，\(A\) 可逆，且 \(A^{-1} = \frac{3E - A}{2}\)。
例题2
设 \(A\) 和 \(B\) 均为 \(n\) 阶可逆矩阵，且 \(A + B\) 也可逆。证明 \(A^{-1} + B^{-1}\) 也可逆，并求其逆矩阵。
解答
由 \(A\) 和 \(B\) 可逆，有 \(A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(E + AB^{-1})\)。由于 \(A + B\) 可逆，考虑 \(A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(A + B)B^{-1}\)。因为 \(A^{-1}\)、\(A + B\) 和 \(B^{-1}\) 均可逆，所以 \(A^{-1} + B^{-1}\) 可逆，且其逆矩阵为 \(B(A + B)^{-1}A\)。
例题3
设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，用初等变换法求 \(A^{-1}\)。
解答
构造增广矩阵并施行初等行变换：
因此，\(A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\)。
例题4
设 \(A\) 为 \(n\) 阶矩阵，且 \(A^3 = 0\)。证明 \(E - A\) 可逆，并求其逆矩阵。
解答
考虑 \((E - A)(E + A + A^2) = E + A + A^2 - A - A^2 - A^3 = E - A^3 = E\)。因此，\(E - A\) 可逆，且 \((E - A)^{-1} = E + A + A^2\)。
例题5
设 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\)，求 \(A^{-1}\)。
解答
由于 \(A\) 是对角矩阵，且对角线元素均不为零，故 \(A\) 可逆。其逆矩阵为对角矩阵，对角线元素为原对角线元素的倒数：
例题6
设 \(A\) 和 \(B\) 均为 \(n\) 阶矩阵，且 \(AB = E\)。证明 \(A\) 和 \(B\) 均可逆，且 \(A^{-1} = B\)。
解答
由 \(AB = E\)，根据可逆矩阵的性质，若 \(AB = E\)，则 \(A\) 和 \(B\) 均可逆，且 \(A^{-1} = B\)，\(B^{-1} = A\)。
例题7
设 \(A\) 为 \(3\) 阶矩阵，且 \(|A| = 2\)。求 \(|(2A)^{-1} - 3A^{*}|\)，其中 \(A^{*}\) 是 \(A\) 的伴随矩阵。
解答
由 \(A^{*} = |A|A^{-1} = 2A^{-1}\)，得 \((2A)^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}\)。因此：
于是：
\[|(2A)^{-1} - 3A^{*}| = \left| -\frac{11}{2}A^{-1} \right| = \left(-\frac{11}{2}\right)^3 |A^{-1}| = -\frac{1331}{8} \cdot \frac{1}{|A|} = -\frac{1331}{16}\]