第十一章 无穷级数

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练习题

例题1

题目内容
判断以下级数的敛散性：

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\]

如果收敛，求其和。

题目解答
该级数可以通过部分分式分解来求解：

\[\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\]

因此，部分和为：

\[S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{N+1}\]

当 \(N \to \infty\)，\(S_N \to 1\)。
所以级数收敛，且和为 1。

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例题2

题目内容
利用比较判别法判断以下级数的敛散性：

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\]

题目解答
由于对于所有 \(n \geq 1\)，有：

\[\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}\]

而级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是收敛的 \(p\)-级数（\(p = 2 > 1\)）。
由比较判别法，原级数收敛。

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例题3

题目内容
判断以下交错级数的敛散性：

\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}}\]

如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

题目解答
首先，考虑绝对收敛性：

\[\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}\]

这是一个 \(p\)-级数，\(p = \frac{1}{2} < 1\)，因此发散。
再判断原交错级数：
令 \(a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\)，则：

1. \(a_n > 0\)
2. \(a_n\) 单调递减
3. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)
   由莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。
   由于绝对级数发散，原级数为条件收敛。

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例题4

题目内容
求幂级数

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]

的收敛半径和收敛区间。

题目解答
使用比值判别法：

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{n+1} \right| = 0\]

由于极限为 0 < 1 对所有 \(x\) 成立，收敛半径 \(R = \infty\)。
收敛区间为 \((-\infty, \infty)\)。

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例题5

题目内容
将函数 \(f(x) = e^x\) 在 \(x = 0\) 处展开为泰勒级数，并写出前四项。

题目解答
函数 \(f(x) = e^x\) 的泰勒级数为：

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]

前四项为：

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]

即：

\[e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\]