二次型的标准化
所谓二次型的标准化（规范化）就是用可逆线性变量替换把一个给定的二次型化为标准（规范）二次型。
二次型的标准化（规范化）从代数的方面说，就是将所对应的实对称矩阵 \(A\) 合同的变为对角矩阵，即构造可逆实矩阵 \(C\)，使得 \(C^{\mathrm{T}}AC\) 是对角矩阵（规范对角矩阵）。
任何二次型都可标准化和规范化，即任何实对称矩阵都合同于对角矩阵（规范对角矩阵）。
比如作正交矩阵 \(Q\)，使得 \(Q^{-1}AQ\) 是对角矩阵。由于 \(Q^{-1} = Q^{\mathrm{T}}\)，\(Q^{\mathrm{T}}AQ = Q^{-1}AQ\)。\(A\) 和 \(Q^{-1}AQ\) 既相似又合同。
于是不同于相似对角化，二次型的标准化没有判断能不能的问题，只有方法问题。
考研大纲要求掌握两个方法。
正交变换法
对二次型的矩阵 \(A\)，作正交矩阵 \(Q\)，使得 \(Q^{-1}AQ\) 是对角矩阵，于是可逆线性变量替换 \(X = QY\)，把原二次型化为标准二次型。
以上变换中变换矩阵 \(Q\) 是正交矩阵，所以称为正交变换。
请注意，由于 \(A = Q^{-1}AQ\) 和 \(\pmb{A}\) 相似，其对角线上的元素是 \(\pmb{A}\) 特征值，因此一般地它只是对角矩阵，不是规范对角矩阵。于是正交变换法只是将二次型标准化，而不是规范化。
配方法
本质上这不是代数方法，而是初等数学方法。
例 6.1
用配方法化下列二次型为标准型
(1) \(f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}\)
(2) \(f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3}\)
解
(1) \(f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}\)
\[\begin{aligned} & = \left[ x _ {1} ^ {2} + 2 x _ {1} x _ {2} - 2 x _ {1} x _ {3} + \left(x _ {2} - x _ {3}\right) ^ {2} \right] - \left(x _ {2} - x _ {3}\right) ^ {2} + 2 x _ {2} ^ {2} + 2 x _ {2} x _ {3} \\ & = \left(x _ {1} + x _ {2} - x _ {3}\right) ^ {2} + x _ {2} ^ {2} + 4 x _ {2} x _ {3} - x _ {3} ^ {2} \\ & = \left(x _ {1} + x _ {2} - x _ {3}\right) ^ {2} + x _ {2} ^ {2} + 4 x _ {2} x _ {3} + 4 x _ {3} ^ {2} - 5 x _ {3} ^ {2} \\ & = \left(x _ {1} + x _ {2} - x _ {3}\right) ^ {2} + \left(x _ {2} + 2 x _ {3}\right) ^ {2} - 5 x _ {3} ^ {2}. \end{aligned}\]令
\[\left\{ \begin{array}{l} y_{1} = x_{1} + x_{2} - x_{3}, \\ y_{2} = x_{2} + 2x_{3}, \\ y_{3} = x_{3}, \end{array} \right.\]原二次型化为 \(f(x_{1},x_{2},x_{3}) = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - 5y_{3}^{2}\)。
从上面的公式反解得变换公式：
\[\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} = y _ {1} - y _ {2} + 3 y _ {3}, \\ x _ {2} = y _ {2} - 2 y _ {3}, \\ x _ {3} = y _ {3}. \end{array} \right.\]变换矩阵
\[\boldsymbol {C} = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\](2) 这个二次型没有平方项，先作一次变换
\[\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} = y _ {1} + y _ {2}, \\ x _ {2} = y _ {1} - y _ {2}, \\ x _ {3} = y _ {3}, \end{array} \right.\] \[f \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}\right) = y _ {1} ^ {2} - y _ {2} ^ {2} + 2 y _ {1} y _ {3}.\]虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：
\[y _ {1} ^ {2} - y _ {2} ^ {2} + 2 y _ {1} y _ {3} = \left(y _ {1} + y _ {3}\right) ^ {2} - y _ {2} ^ {2} - y _ {3} ^ {2}.\]令
\[\left\{ \begin{array}{l} z_{1} = y_{1} + y_{3}, \\ z_{2} = y_{2}, \\ z_{3} = y_{3}, \end{array} \right.\]即
\[\left\{ \begin{array}{l} y_{1} = z_{1} - z_{3}, \\ y_{2} = z_{2}, \\ y_{3} = z_{3}, \end{array} \right.\]则 \(f(x_{1},x_{2},x_{3}) = z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2}\)。
变换公式为
\[\left\{ \begin{array}{l}x_{1} = z_{1} + z_{2} - z_{3},\\ x_{2} = z_{1} - z_{2} - z_{3},\\ x_{3} = z_{3}. \end{array} \right.\]变换矩阵
\[\boldsymbol {C} = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\]评注
配方法的步骤和注意事项如下：
- 选定一个系数非0的平方项 \(x_{i}^{2}\)（如上面用 \(x_{1}^{2}\)），把它和含 \(x_{i}\) 的所有交叉项放在一起，配出一个一次式的平方，剩下一个不含 \(x_{i}\) 的 \((n - 1)\) 元二次型。继续对这 \((n - 1)\) 元二次型配方，最后把原二次型化为若干个（不超过 \(n\) 个）一次式的平方。
- 引进新变量 \(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}\)，使得每个等于其中某个一次式（如果一次式少于 \(n\) 个，多余的 \(y_{i}\) 的设定要保证变换的可逆性）。从而把原二次型表示为 \(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}\) 的一个标准二次型。
- 写出用新变量 \(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}\) 表示 \(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\) 的变量公式和相应的变换矩阵。
- 当二次型没有平方项时，可先用一次变换产生平方项再配方，见（2）小题的做法。
配方法与正交变换相比较计算量要小得多，在不指定用正交变换时一般都可用配方法。配方法的另一个优点是可以用它把二次型规范化。如（1）中，\(y_{3} = x_{3}\) 改设为 \(y_{3} = \sqrt{5} x_{3}\)，则化得的二次型为 \(y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}\)，是规范二次型。
练习题
例题1
用配方法将二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 3x_2^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3 + 6x_2x_3 $ 化为标准型，并写出相应的可逆线性变量替换。
解答 首先，将二次型按 ( x_1 $ 配方：
\[f = x_1^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3 + 3x_2^2 + 6x_2x_3\] \[= [x_1^2 + 2x_1(x_2 - 2x_3) + (x_2 - 2x_3)^2] - (x_2 - 2x_3)^2 + 3x_2^2 + 6x_2x_3\] \[= (x_1 + x_2 - 2x_3)^2 - x_2^2 + 4x_2x_3 - 4x_3^2 + 3x_2^2 + 6x_2x_3\] \[= (x_1 + x_2 - 2x_3)^2 + 2x_2^2 + 10x_2x_3 - 4x_3^2\]接着，对剩余部分按 ( x_2 $ 配方：
\[2x_2^2 + 10x_2x_3 - 4x_3^2 = 2\left[x_2^2 + 5x_2x_3 + \left(\frac{5}{2}x_3\right)^2\right] - 2\cdot\left(\frac{25}{4}x_3^2\right) - 4x_3^2\] \[= 2\left(x_2 + \frac{5}{2}x_3\right)^2 - \frac{25}{2}x_3^2 - 4x_3^2 = 2\left(x_2 + \frac{5}{2}x_3\right)^2 - \frac{33}{2}x_3^2\]因此，
\[f = (x_1 + x_2 - 2x_3)^2 + 2\left(x_2 + \frac{5}{2}x_3\right)^2 - \frac{33}{2}x_3^2\]令
\[\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 - 2x_3 \\ y_2 = x_2 + \frac{5}{2}x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}\]则二次型化为标准型：
\[f = y_1^2 + 2y_2^2 - \frac{33}{2}y_3^2\]从变量替换反解：
\[\begin{cases} x_1 = y_1 - y_2 + \frac{9}{2}y_3 \\ x_2 = y_2 - \frac{5}{2}y_3 \\ x_3 = y_3 \end{cases}\]变换矩阵为
\[C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]例题2
用配方法将二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 6x_2x_3 $ 化为标准型，并写出相应的可逆线性变量替换。
解答 该二次型没有平方项，先作变换产生平方项：
\[\begin{cases} x_1 = y_1 + y_2 \\ x_2 = y_1 - y_2 \\ x_3 = y_3 \end{cases}\]代入得：
\[f = 2(y_1 + y_2)(y_1 - y_2) + 4(y_1 + y_2)y_3 + 6(y_1 - y_2)y_3\] \[= 2(y_1^2 - y_2^2) + 4y_1y_3 + 4y_2y_3 + 6y_1y_3 - 6y_2y_3\] \[= 2y_1^2 - 2y_2^2 + 10y_1y_3 - 2y_2y_3\]对 ( y_1 $ 配方：
\[2y_1^2 + 10y_1y_3 = 2\left[y_1^2 + 5y_1y_3 + \left(\frac{5}{2}y_3\right)^2\right] - 2\cdot\frac{25}{4}y_3^2\] \[= 2\left(y_1 + \frac{5}{2}y_3\right)^2 - \frac{25}{2}y_3^2\]代入：
\[f = 2\left(y_1 + \frac{5}{2}y_3\right)^2 - \frac{25}{2}y_3^2 - 2y_2^2 - 2y_2y_3\]对剩余部分按 ( y_2 $ 配方：
\[-2y_2^2 - 2y_2y_3 = -2\left[y_2^2 + y_2y_3 + \left(\frac{1}{2}y_3\right)^2\right] + 2\cdot\frac{1}{4}y_3^2\] \[= -2\left(y_2 + \frac{1}{2}y_3\right)^2 + \frac{1}{2}y_3^2\]因此，
\[f = 2\left(y_1 + \frac{5}{2}y_3\right)^2 - 2\left(y_2 + \frac{1}{2}y_3\right)^2 - 12y_3^2\]令
\[\begin{cases} z_1 = y_1 + \frac{5}{2}y_3 \\ z_2 = y_2 + \frac{1}{2}y_3 \\ z_3 = y_3 \end{cases}\]即
\[\begin{cases} y_1 = z_1 - \frac{5}{2}z_3 \\ y_2 = z_2 - \frac{1}{2}z_3 \\ y_3 = z_3 \end{cases}\]则
\[f = 2z_1^2 - 2z_2^2 - 12z_3^2\]代入原始变量：
\[\begin{cases} x_1 = y_1 + y_2 = z_1 + z_2 - 3z_3 \\ x_2 = y_1 - y_2 = z_1 - z_2 - 2z_3 \\ x_3 = z_3 \end{cases}\]变换矩阵为
\[C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]例题3
设二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2x_3 $，
（1）用正交变换法将其化为标准型；
（2）比较正交变换法与配方法所得标准型的区别。
解答 （1）二次型的矩阵为
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\]求特征值：
\[|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 4-\lambda & 2 \\ 1 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}\]计算得特征多项式为 ( -\lambda^3 + 6\lambda^2 = -\lambda^2(\lambda - 6) \(，特征值为 \( \lambda_1 = 6, \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \)。
对应 ( \lambda = 6 \(的特征向量：解 \( (A - 6I)v = 0\)，得 ( v_1 = (1, 2, 1)^\mathrm{T} \(，单位化得 \( \mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 2, 1)^\mathrm{T} \)。
对应 ( \lambda = 0 \(的特征向量：解 \( A v = 0\)，得两个线性无关解 ( v_2 = (1, 0, -1)^\mathrm{T} \(, \( v_3 = (2, -1, 0)^\mathrm{T} \)，正交化并单位化得 ( \mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, -1)^\mathrm{T} \(, \( \mathbf{q}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)^\mathrm{T} \)。
正交矩阵 ( Q = [\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3] \(，作正交变换 \( X = QY \)，得标准型：
（2）正交变换法所得标准型为 ( 6y_1^2 \(，系数为特征值；配方法可能得到不同形式的标准型（如 \( y_1^2 + y_2^2 - y_3^2 \) 等），且可通过调整变换进一步化为规范型（系数仅为 ( \pm1, 0 $）。正交变换法保持向量长度，配方法计算简便且可规范化。