二、极限存在性的判别

（一）极限存在的两个准则

1. 夹逼定理

【定理1.5】（数列情形）若 \(\exists N\)，使得当 \(n > N\) 时有 \(y_{n}\leqslant x_{n}\leqslant z_{n}\)，且 \(\lim_{n\to \infty}y_n = \lim_{n\to \infty}z_n = a\)，则

\[\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = a.\]

【定理1.6】（函数情形）若 \(\exists \delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时有 \(h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)\)，又 \(\lim_{x \to x_0} h(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = A\)，则 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)。

【注】 其他极限过程也有类似的结论。

2. 单调有界数列必收敛定理

【定理1.7】 若数列 \(\{x_{n}\}\) 单调上升有上界，即 \(x_{n + 1} \geqslant x_{n}\)（\(n = 1,2,\dots\)），并存在一个数 \(M\) 使得对一切的 \(n\) 有 \(x_{n} \leqslant M\)，则 \(\{x_{n}\}\) 收敛。即存在一个数 \(a\)，使得 \(\lim_{n\to \infty}x_n = a\)，且有 \(x_{n} \leqslant a\)（\(n = 1,2,\dots\)）。

若数列 \(\{x_{n}\}\) 单调下降有下界，即 \(x_{n + 1} \leqslant x_{n}(n = 1,2,\dots)\)，并存在一个数 \(m\) 使得对一切的 \(n\) 有 \(x_{n} \geqslant m\)，则 \(\{x_{n}\}\) 收敛。即存在一个数 \(a\)，使得 \(\lim_{n\to \infty}x_n = a\)，且有 \(x_{n} \geqslant a (n = 1,2,\dots)\)。

（二）极限存在的一个充要条件

【定理1.8】（函数极限存在的充要条件）\(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\Leftrightarrow \lim_{x\to x_0 + }f(x) = \lim_{x\to x_0 - }f(x) = A\)。

对于分段函数 \(f(x) = \begin{cases} g(x), & x_0 - \delta < x < x_0, \\ h(x), & x_0 < x < x_0 + \delta, \end{cases}\) 考察 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 是否存在就需要分别求 \(\lim_{x\to x_0 + }f(x) = \lim_{x\to x_0 + }h(x)\) 与 \(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}g(x)\)，并确定二者是否相等。

【定理1.9】（数列极限存在的充要条件）\(\lim_{n\to \infty}x_n = A\Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}x_{2n} = \lim_{n\to \infty}x_{2n - 1} = A\)。

【例1.2】 设 \(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2(x + 1)\arctan \frac{1}{x}, & x > 0, \\ 1, & x = 0, \\ \frac{\ln(1 + ax^2)}{x\sin x}, & x < 0, \end{array} \right.\) 又 \(a \neq 0\)，问 \(a\) 为何值时 \(\lim_{x \to 0} f(x)\) 存在。

【分析】 分别求右、左极限 \(f(0 + 0)\) 与 \(f(0 - 0)\)，由 \(f(0 + 0) = f(0 - 0)\) 定出 \(a\) 值。

【解】 \(f(0 + 0) = \lim_{x\to 0 + }f(x) = \lim_{x\to 0 + }2(x + 1)\arctan {\frac{1}{x}} = 2\lim_{x\to 0 + }\arctan {\frac{1}{x}} = \pi\)，

\[f (0 - 0) = \lim_{x \rightarrow 0 -} f (x) = \lim_{x \rightarrow 0 -} \left[ \frac {\ln \left(1 + a x ^ {2}\right)}{a x ^ {2}} \cdot \frac {a x ^ {2}}{x \sin x} \right] = 1 \cdot a \cdot 1 = a (a \neq 0),\]

由 \(f(0 + 0) = f(0 - 0)\)，得 \(a = \pi\)。因此，当且仅当 \(a = \pi\) 时，存在 \(\lim_{x \to 0} f(x) = \pi\)。

评注注意在本题中当 \(a = \pi\) 时极限 \(\lim_{x\to 0}f(x) = \pi\)，即当 \(x\to 0\) 时 \(f(x)\) 的极限存在，但此极限值与函数值 \(f(0) = 1\) 并不相等，其原因在于 \(\lim_{x\to 0}f(x)\) 描述的是当 \(x\to 0\) 但 \(x\neq 0\) 时 \(f(x)\) 的变化趋势，它与函数 \(f(x)\) 在点 \(x = 0\) 处的函数值 \(f(0)\) 是多少没有关系。

【例1.3】 \(\lim_{x\to 1}(x - 1)^2\mathrm{e}^{\frac{1}{x - 1}} =\)

(A) 0。

(B) \(-\infty\)

（C）\(+\infty\)：

(D) 不存在但也不是 \(\infty\)：

【分析】 因为 \(\lim_{t\to +\infty}e^{t} = +\infty\)，\(\lim_{t\to -\infty}e^{t} = 0\)，故要分别考察左、右极限。由于

\[\lim_{x \rightarrow 1 + 0} (x - 1) ^ {2} e ^ {\frac {1}{x - 1}} \underset{t \rightarrow + \infty}{\overset{t = \frac {1}{x - 1}}{\longrightarrow}} \lim_{x \rightarrow 1 - 0} \frac {e ^ {t}}{t ^ {2}} = + \infty, \quad \lim_{x \rightarrow 1 - 0} (x - 1) ^ {2} e ^ {\frac {1}{x - 1}} \underset{t \rightarrow - \infty}{\overset{t = \frac {1}{x - 1}}{\longrightarrow}} \lim_{t \rightarrow - \infty} \frac {e ^ {t}}{t ^ {2}} = 0,\]

因此应选(D)。

（三）证明函数 \(f(x)\) 的极限不存在常用的方法

方法 \(1^{\circ}\) 若 \(f(x_0 + 0) \neq f(x_0 - 0)\)，则 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 不存在。当 \(x \to \infty\) 时，对含有 \(a (a > 0, a \neq 1)\) 或 \(\arctan x\) 或 \(\operatorname{arccot} x\) 的函数极限，一定要对 \(x \to +\infty\) 与 \(x \to -\infty\) 分别求极限。若两者的极限值相等，则 \(x \to \infty\) 时极限存在，否则不存在。

方法 \(2^{\circ}\) 若 \(\exists x_{n} \rightarrow x_{0}\)，但 \(x_{n} \neq x_{0}\) 的数列 \(\{x_{n}\}\)，使得 \(\lim_{n \to \infty} f(x_{n})\) 不存在或有两个满足 \(x_{n} \rightarrow x_{0} (x_{n} \neq x_{0})\)，\(y_{n} \rightarrow x_{0} (y_{n} \neq x_{0})\) 的数列 \(\{x_{n}\}\) 与 \(\{y_{n}\}\) 使得 \(\lim_{n \to \infty} f(x_{n}) \neq \lim_{n \to \infty} f(y_{n})\)，则 \(\lim_{x \to x_{0}} f(x)\) 不存在。

方法 \(3^{\circ}\) 利用结论：设 \(\lim_{x\to x_0}f(x) = A,\lim_{x\to x_0}g(x)\) 不存在，则 \(\lim_{x\to x_0}[f(x) + g(x)]\) 不存在；若又有 \(A\neq 0\) 则 \(\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]\) 不存在。

【例1.4】 证明：（I）\(\lim_{x\to 0}\sin{\frac{1}{x}}\) 不存在；（Ⅱ）设 \(f(x) = \frac{\int_0^x\sin{\frac{1}{x}}\cos t^2dt}{x}\) 则 \(\lim_{x\to 0}f(x)\) 不存在。

【证明】（I）取 \(x_{n} = \frac{1}{2n\pi}, y_{n} = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}\) 则均有 \(x_{n}\to 0,y_{n}\to 0(n\to \infty)\)，但

\[\lim_{n \to \infty} \sin {\frac {1}{x_{n}}} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \sin {\frac {1}{y_{n}}} = 1, \text{因此} \lim_{x \to 0} \sin {\frac {1}{x}} \text{不存在}.\]

评注类似可证：\(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\) 不存在。

（Ⅱ）已知 \(f(x) = \frac{g(x)}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}\)，其中 \(g(x) = \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{d}t\)，由于

\[\lim_{x \to 0} {\frac {g (x)}{x}} \underset{\text{洛必达法则}}{\longrightarrow} \lim_{x \to 0} \cos x ^ {2} = 1 \neq 0,\]

而 \(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\) 不存在，所以 \(\lim_{x\to 0}f(x) = \lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}\sin \frac{1}{x}\) 不存在。

评注这里用到了变限积分的求导公式：设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则对任意 \(x\in [a,b]\)，有

\[\left[ \int_{a}^{x} f (t) \mathrm{d}t \right]^{\prime} = f (x).\]

练习题

例题1

题目内容
设数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(0 \leq x_n \leq \frac{1}{n}\) 对所有 \(n \in \mathbb{N}^*\) 成立。证明：\(\lim_{n \to \infty} x_n = 0\)。

题目解答
由于 \(0 \leq x_n \leq \frac{1}{n}\)，且 \(\lim_{n \to \infty} 0 = 0\)，\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)，根据夹逼定理（定理1.5），有 \(\lim_{n \to \infty} x_n = 0\)。

例题2

题目内容
设函数 \(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}\)
证明：\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)。

题目解答
当 \(x \neq 0\) 时，有 \(-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2\)。由于 \(\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0\)，\(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)，根据夹逼定理（定理1.6），得 \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)。

例题3

题目内容
设数列 \(\{a_n\}\) 由 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}\) 定义。证明：\(\{a_n\}\) 收敛，并求其极限。

题目解答
首先证明 \(\{a_n\}\) 单调递增且有上界：

单调性：由 \(a_1 = 1\)，\(a_2 = \sqrt{3} > 1\)，假设 \(a_n > a_{n-1}\)，则
\(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} > \sqrt{2 + a_{n-1}} = a_n\)。
有上界：假设 \(a_n < 2\)，则 \(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{4} = 2\)。
由单调有界定理（定理1.7），\(\{a_n\}\) 收敛。设极限为 \(L\)，则
\(L = \sqrt{2 + L}\)，解得 \(L = 2\)（舍去负根）。故 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 2\)。

例题4

题目内容
设 \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x > 0, \\ 1 + x^2, & x \leq 0. \end{cases}\)
判断 \(\lim_{x \to 0} f(x)\) 是否存在。

题目解答
计算左右极限：

右极限：\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
左极限：\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x^2) = 1\)。
由于左右极限相等，根据定理1.8，\(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\) 存在。

例题5

题目内容
设数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_{2n} = \frac{1}{n}\)，\(x_{2n-1} = \frac{1}{n^2}\)。判断 \(\lim_{n \to \infty} x_n\) 是否存在。

题目解答
计算偶数项与奇数项极限：

\(\lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)，
\(\lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0\)。
由于两者相等，根据定理1.9，\(\lim_{n \to \infty} x_n = 0\) 存在。

例题6

题目内容
证明：\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) 不存在。

题目解答
取数列 \(x_n = \frac{1}{n}\)，\(y_n = -\frac{1}{n}\)，则 \(x_n \to 0\)，\(y_n \to 0\)，但
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = +\infty\)，\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n} = -\infty\)。
由于左右极限不相等，根据方法1°，\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) 不存在。

例题7

题目内容
设 \(f(x) = x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)\)，\(g(x) = \frac{1}{x}\)。证明：\(\lim_{x \to 0} [f(x) + g(x)]\) 不存在。

题目解答
已知 \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)（由夹逼定理），而 \(\lim_{x \to 0} g(x)\) 不存在（例题6）。
根据方法3°，若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 存在，而 \(\lim_{x \to x_0} g(x)\) 不存在，则 \(\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)]\) 不存在。
故 \(\lim_{x \to 0} [f(x) + g(x)]\) 不存在。