第一章 行列式

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练习题

例题1

题目内容
计算二阶行列式

\[\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}\]

并解释行列式的几何意义。

题目解答
根据二阶行列式的定义，

\[\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10\]

几何意义：该行列式的值表示由向量 ((3,1)\( 和 \((2,4)\) 张成的平行四边形的有向面积。正值表示两个向量按顺序排列时形成右手系。

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例题2

题目内容
利用行列式的性质，证明：
若方阵 (A\( 的某两行成比例，则 \(\det(A) = 0\)。

题目解答
设矩阵 (A\( 的第 \(i\) 行与第 (j\( 行成比例，即第 \(i\) 行 (= k \times\( 第 \(j\) 行。根据行列式的性质，若将第 (i\( 行减去 \(k\) 倍的第 (j\( 行，行列式值不变。此时第 \(i\) 行变为零行，而零行的行列式值为 0，因此 (\det(A) = 0$。

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例题3

题目内容
计算三阶行列式

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix}\]

并说明该矩阵的特点。

题目解答
该矩阵为上三角矩阵，其行列式为对角线元素的乘积：

\[\det = 1 \times 4 \times 6 = 24\]

特点：上三角矩阵的行列式等于主对角线上所有元素的乘积。

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例题4

题目内容
已知行列式

\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5\]

求

\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d & 2e & 2f \\ g & h & i \end{vmatrix}\]

的值。

题目解答
根据行列式的性质，若将矩阵的某一行乘以常数 (k\(，则行列式值也乘以 \(k\)。这里第二行乘以 2，因此新行列式为原行列式的 2 倍：

\[\det = 2 \times 5 = 10\]