四、初等函数的求导法
利用基本初等函数导数表、导数的四则运算法则及复合函数求导法可求任意初等函数的导数。关键是恰当地选取中间变量，将给定的初等函数分解成基本初等函数的复合或四则运算。复合函数求导时，先对中间变量求导，将所得结果再乘上中间变量对自变量的导数即可。这样每一步都是基本初等函数的求导，可用基本初等函数的导数公式。如果读者比较熟练也可以不写出中间变量。
初等函数在它的定义域区间（可能除去若干点）是可导的。（如 \(y = \arcsin x, x \in [-1, 1]\)，它在 \((-1, 1)\) 可导，\(y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)，但在 \(x = \pm 1\) 不可导）。初等函数的导数还是初等函数，因此初等函数可求任意阶导数。
例2.7
求下列函数的导数 \(y'\)
(I) \(y = \arctan x^2\)
(II) \(y = \sqrt[3]{x^2} \sin x\)
解
(I)
\[y' = \frac{1}{1 + e^{2x^2}} (e^{x^2})' = \frac{1}{1 + e^{2x^2}} e^{x^2} (x^2)' = \frac{2xe^{x^2}}{1 + e^{2x^2}}\](II)
当 \(x \neq 0\) 时，由求导法则得：
\[f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \sin x + \sqrt[3]{x^2} \cos x\]当 \(x = 0\) 时，由导数定义得：
\[f'(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt[3]{x^2} \cdot \frac{\sin x}{x} = 0\]评注
若由 \(y'(x) = \left(\sqrt[3]{x^2} \sin x\right)' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \sin x + \sqrt[3]{x^2} \cos x\)，而该式在点 \(x = 0\) 处无定义，得出 \(f'(0)\) 不存在，这无疑是错误的。错误产生于 \(\sqrt[3]{x^2}\) 在点 \(x = 0\) 处不可导，所以乘积的求导法则不适用。这也说明，即使不是分段函数，有时也要用定义求导，而且即使乘积中某个因子在某点处不可导，但乘积在该点处也可能可导。
练习题
例题1
求函数 \(y = \ln(1 + e^{x^2})\) 的导数 \(y'\)。
解答
设 \(u = 1 + e^{x^2}\)，则 \(y = \ln u\)。
由复合函数求导法则：
例题2
求函数 \(y = x^{2/3} \cos x\) 在 \(x = 0\) 处的导数。
解答
当 \(x \neq 0\) 时，由乘积求导法则：
该式在 \(x = 0\) 处无定义，故需用导数定义：
\[y'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2/3} \cos x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} x^{-1/3} \cos x.\]由于 \(\lim_{x \to 0} x^{-1/3}\) 不存在（趋于无穷大），极限不存在，因此 \(y'(0)\) 不存在。
例题3
求函数 \(y = \arcsin(\sqrt{x})\) 的导数 \(y'\)。
解答
设 \(u = \sqrt{x}\)，则 \(y = \arcsin u\)。
由复合函数求导法则：
注意定义域为 \(x \in (0, 1)\)，在 \(x = 0\) 和 \(x = 1\) 处不可导。
例题4
设 \(f(x) = x^{1/3} \sin x\)，判断 \(f'(0)\) 是否存在，若存在则求其值。
解答
用导数定义：
由于 \(|x^{-2/3} \sin x| \leq |x^{-2/3} \cdot x| = |x^{1/3}| \to 0\)，由夹逼定理得极限为 0，故 \(f'(0) = 0\)。
注意：若直接求导 \(f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} \sin x + x^{1/3} \cos x\) 在 \(x = 0\) 处无定义，但导数仍存在。
例题5
求函数 \(y = e^{\sin x^2}\) 的导数 \(y'\)。
解答
设 \(u = \sin x^2\)，则 \(y = e^u\)。
由复合函数求导法则：