三、相似对角化问题

如果一个 \(n\) 阶矩阵相似于一个对角矩阵，就说它可以相似对角化（简称为可对角化）。

并不是每个矩阵都可以对角化的，于是产生两个问题：

判断一个 \(n\) 阶矩阵 \(\mathbf{A}\) 是否可对角化（判断问题）
如果可以，怎么构造可逆矩阵 \(P\)，使得 \(P^{-1}AP\) 是对角矩阵？（实现方法）

【分析】设 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵，\(P = (\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n)\) 是可逆矩阵，则

\(P^{-1}AP\) 是对角矩阵，并且对角线上的元素为 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\)。

\[\Leftrightarrow A \eta_{1} = \lambda_{1} \eta_{1}, A \eta_{2} = \lambda_{2} \eta_{2}, \dots , A \eta_{n} = \lambda_{n} \eta_{n}.\]

于是得到：

判别法则1 \(n\) 阶矩阵 \(\pmb{A}\) 可对角化 \(\Leftrightarrow A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量。

判别法则2 \(A\) 可对角化 \(\Leftrightarrow\) 对于 \(A\) 的每个特征值 \(\lambda_{i}\)，其重数 \(k_{i} = n - \mathrm{r}(A - \lambda_{i}E)\)。

【注】当 \(k_{i} = 1\) 时，\(k_{i} = n - \mathrm{r}(A - \lambda_{i}E)\) 一定成立，因此用判别法则2时，只需对重数大于1的那些特征值进行。在考研真题中，\(n\) 常常是3，重数大于1的特征值不会多于1个。

推论如果 \(\pmb{A}\) 的特征值两两不相同，则 \(\pmb{A}\) 可以对角化。

实现方法 对 \(A\) 的每个特征值 \(\lambda_{i}\)，求 \((A - \lambda_{i}E)X = 0\) 的基础解系，合在一起，就是 \(A\) 的 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\pmb{\eta}_{1},\pmb{\eta}_{2},\dots ,\pmb{\eta}_{n}\)，以它们为列向量构造矩阵 \(\pmb {P} = (\pmb {\eta}_1,\pmb {\eta}_2,\dots ,\pmb {\eta}_n)\)，则 \(P^{-1}AP\) 是对角矩阵，对角线上的元素依次是 \(\pmb {\eta}_1,\pmb {\eta}_2,\dots ,\pmb {\eta}_n\) 的特征值。

练习题

例题1

判断矩阵 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 是否可对角化，并说明理由。

题目解答
矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征多项式为 \(\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2\)，特征值为 \(\lambda = 2\)（重数为2）。
计算 \(\mathbf{A} - 2\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，其秩为1。
根据判别法则2，特征值 \(\lambda = 2\) 的重数 \(k = 2\)，但 \(n - \mathrm{r}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = 2 - 1 = 1 \neq k\)，因此 \(\mathbf{A}\) 不可对角化。

例题2

判断矩阵 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) 是否可对角化。若可，求可逆矩阵 \(\mathbf{P}\) 和对角矩阵 \(\mathbf{\Lambda}\)，使得 \(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{\Lambda}\)。

题目解答
特征多项式为：

\[\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 2 \\ 2 & 1-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 9\lambda - 27 = -(\lambda - 5)(\lambda + 1)^2.\]

特征值为 \(\lambda_1 = 5\)（单根），\(\lambda_2 = -1\)（重数为2）。

对 \(\lambda_1 = 5\)：解 \((\mathbf{A} - 5\mathbf{E})\mathbf{X} = \mathbf{0}\)，得基础解系 \(\pmb{\eta}_1 = (1,1,1)^\mathrm{T}\)。
对 \(\lambda_2 = -1\)：解 \((\mathbf{A} + \mathbf{E})\mathbf{X} = \mathbf{0}\)，得基础解系 \(\pmb{\eta}_2 = (1,-1,0)^\mathrm{T}\)，\(\pmb{\eta}_3 = (1,0,-1)^\mathrm{T}\)。
三个特征向量线性无关，故 \(\mathbf{A}\) 可对角化。
取 \(\mathbf{P} = (\pmb{\eta}_1, \pmb{\eta}_2, \pmb{\eta}_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)，则 \(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \operatorname{diag}(5, -1, -1)\)。

例题3

设 \(\mathbf{A}\) 为 \(3\) 阶矩阵，特征值为 \(1, 2, 3\)。证明 \(\mathbf{A}\) 可对角化，并说明 \(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\) 的对角元素如何排列。

题目解答
根据推论，若特征值两两不同，则矩阵可对角化。此处特征值 \(1, 2, 3\) 互异，故 \(\mathbf{A}\) 可对角化。
对每个特征值求特征向量：

\(\lambda = 1\)：特征向量 \(\pmb{\eta}_1\)；
\(\lambda = 2\)：特征向量 \(\pmb{\eta}_2\)；
\(\lambda = 3\)：特征向量 \(\pmb{\eta}_3\)。
取 \(\mathbf{P} = (\pmb{\eta}_1, \pmb{\eta}_2, \pmb{\eta}_3)\)，则 \(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \operatorname{diag}(1, 2, 3)\)，对角元素顺序与 \(\mathbf{P}\) 中特征向量的排列一致。

例题4

矩阵 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) 是否可对角化？若可，求对角化矩阵 \(\mathbf{P}\)。

题目解答
特征多项式为 \(\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2(2-\lambda)\)，特征值 \(\lambda_1 = 3\)（重数2），\(\lambda_2 = 2\)（单根）。

对 \(\lambda_1 = 3\)：\(\mathbf{A} - 3\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)，秩为2，\(n - \mathrm{r}(\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{E}) = 3 - 2 = 1 \neq 2\)，故 \(\mathbf{A}\) 不可对角化。