基本概念
1. 常微分方程
含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数或微分的方程式称为微分方程。当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程。
2. 线性微分方程与非线性微分方程
以未知函数和它的各阶导数作为总体是一次的就称为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程。
3. 微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。以 \(x\) 为自变量，以 \(y(x)\) 为未知函数的 \(n\) 阶微分方程的一般形式是 \(F(x,y,y^{\prime},\dots ,y^{(n)}) = 0\)，其中 \(F\) 是已知的 \(n + 1\) 元函数。
4. 微分方程的解
若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数。
5. 微分方程的通解和特解
含有与微分方程的阶数相同个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，通解也可以称为一般解；不含任意常数或任意常数确定后的解，称为微分方程的特解。
6. 微分方程的初始条件与初值问题
能确定通解中的任意常数的条件称为定解条件，初始条件是定解条件中最常见的类型。初始条件的形式与方程的阶数有关，一般说，以 \(x\) 为自变量，以 \(y(x)\) 为未知函数的 \(n\) 阶微分方程的初始条件为：
\(y\mid_{x = x_0} = y_0,y'\mid_{x = x_0} = y_1,\dots ,y^{(n - 1)}\mid_{x = x_0} = y_{n - 1},\)
其中 \(y_0,y_1,\dots ,y_{n - 1}\) 是任意给定的常数。
\(n\) 阶微分方程和它的初始条件组成一个定解问题
\[\left\{ \begin{array}{l} F (x, y, y ^ {\prime}, \dots , y ^ {(n)}) = 0 \\ y (x _ {0}) = y _ {0}, y ^ {\prime} (x _ {0}) = y _ {1}, \dots , y _ {(x _ {0})} ^ {(n - 1)} = y _ {n - 1} \end{array} \right.\]称为 \(n\) 阶微分方程的初值问题。
练习题
例题1
判断下列微分方程是否为线性微分方程，并说明理由：
- \(y'' + 2y' + y = \sin x\)
- \(y' + y^2 = 0\)
解答
- 是线性微分方程，因为未知函数 \(y\) 及其导数 \(y'\)、\(y''\) 的总体次数为一次，且没有出现 \(y\) 的高次幂或非线性函数。
- 是非线性微分方程，因为出现了 \(y^2\) 项，使得未知函数 \(y\) 的总体次数不是一次。
例题2
指出下列微分方程的阶数，并写出其一般形式：
- \(\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = e^x\)
- \(y^{(4)} - y = 0\)
解答
- 二阶微分方程，一般形式为 \(F(x, y, y', y'') = 0\)，即 \(y'' + 3y' + 2y - e^x = 0\)。
- 四阶微分方程，一般形式为 \(F(x, y, y', y'', y''', y^{(4)}) = 0\)，即 \(y^{(4)} - y = 0\)。
例题3
验证函数 \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\)（其中 \(C_1\)、\(C_2\) 为任意常数）是微分方程 \(y'' - y = 0\) 的通解，并求满足初始条件 \(y(0) = 1\)、\(y'(0) = 0\) 的特解。
解答 首先验证通解：
- 计算 \(y' = C_1 e^x - C_2 e^{-x}\)，\(y'' = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\)。
- 代入方程：\(y'' - y = (C_1 e^x + C_2 e^{-x}) - (C_1 e^x + C_2 e^{-x}) = 0\)，恒成立。
- 由于解中含有两个独立任意常数，且方程为二阶，因此是通解。
再求特解：
- 代入 \(x = 0\)：\(y(0) = C_1 + C_2 = 1\)。
- 代入 \(y'(0) = C_1 - C_2 = 0\)。
- 解得 \(C_1 = C_2 = \frac{1}{2}\)。
- 特解为 \(y = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x}\)。
例题4
写出下列微分方程的初值问题：
- 微分方程：\(y'' + 4y = 0\)
- 初始条件：\(y(0) = 1\)，\(y'(0) = 2\)
解答 初值问题为：
\[\begin{cases} y'' + 4y = 0 \\ y(0) = 1, \quad y'(0) = 2 \end{cases}\]例题5
判断函数 \(y = \sin x\) 是否为微分方程 \(y'' + y = 0\) 的解，并说明是通解还是特解。
解答
- 计算 \(y' = \cos x\)，\(y'' = -\sin x\)。
- 代入方程：\(y'' + y = -\sin x + \sin x = 0\)，恒成立。
- 由于解中不含任意常数，因此是特解。
例题6
设微分方程 \(y' = 2x\)，求其通解，并写出一个满足初始条件 \(y(1) = 3\) 的特解。
解答
- 通解：对方程积分得 \(y = x^2 + C\)，其中 \(C\) 为任意常数。
- 代入初始条件：\(1^2 + C = 3\)，解得 \(C = 2\)。
- 特解为 \(y = x^2 + 2\)。