一、定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式的完全展开式

\[\begin{aligned} \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| &= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \\ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}\]

（三条”\“线上元素乘积之和减去三条”/“线上元素乘积之和）

n阶行列式的定义

一般地，一个 $n$ 阶行列式

\[\left| a_{ij} \right| = \sum_{j_1j_2\dots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}\]

其中：

是许多 $(n! \text{个})$ 项的代数和（在求和前每项先要乘 $-1$ 或 $1$）
每个项 $a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}$ 都是 $n$ 个元素的乘积，它们取自不同行，不同列。即列标 $j_1j_2\dots j_n$ 构成 $1,2,\dots,n$ 的一个全排列（称为一个 $n$ 元排列），共有 $n!$ 个 $n$ 元排列，每个 $n$ 元排列对应一项，因此共有 $n!$ 个项。$\sum_{j_1j_2\dots j_n}$ 表示对所有 $n$ 元排列求和。
$\tau(j_1j_2\dots j_n)$ 为 $n$ 元排列 $j_1j_2\dots j_n$ 的逆序数

$j_1j_2\dots j_n$ 中的任意两个数，如果小数排在大数右面，就说它们构成一个逆序。$\tau(j_1j_2\dots j_n)$ 就是 $j_1j_2\dots j_n$ 中出现的逆序的个数，它的奇偶性决定该项要乘 $-1$ 还是 $1$。

应用说明

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大。但是用它容易得出：对角矩阵的行列式、上（下）三角矩阵的行列式的值就等于对角线上元素的乘积。

练习题

例题1

计算二阶行列式：

\[\left| \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array} \right|\]

解答根据二阶行列式的完全展开式：

\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\]

代入元素：

\[= 3 \times 4 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10\]

因此，行列式的值为10。

例题2

计算三阶行列式：

\[\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right|\]

解答根据三阶行列式的完全展开式（对角线法则）：

\[= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}\]

代入元素：

\[= (1 \times 5 \times 9) + (2 \times 6 \times 7) + (3 \times 4 \times 8) - (3 \times 5 \times 7) - (1 \times 6 \times 8) - (2 \times 4 \times 9)\] \[= 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 225 - 225 = 0\]

因此，行列式的值为0。

例题3

设三阶行列式：

\[D = \left| \begin{array}{ccc} x & 1 & 2 \\ 0 & y & 3 \\ 4 & 5 & z \end{array} \right|\]

写出其完全展开式（用 (x, y, z$ 表示）。

解答根据三阶行列式的完全展开式：

\[D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}\]

代入元素：

\[= (x \cdot y \cdot z) + (1 \cdot 3 \cdot 4) + (2 \cdot 0 \cdot 5) - (2 \cdot y \cdot 4) - (x \cdot 3 \cdot 5) - (1 \cdot 0 \cdot z)\] \[= xyz + 12 + 0 - 8y - 15x - 0 = xyz - 15x - 8y + 12\]

因此，完全展开式为 (D = xyz - 15x - 8y + 12$。

例题4

考虑一个三阶行列式，其元素为 (a_{ij}$，其中 \(i, j = 1, 2, 3$。写出与排列 (2, 3, 1$ 对应的项，并确定其符号。

解答根据行列式的完全展开式定义，项为 (a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}$，其中 \(j_1j_2j_3$ 是排列 (2, 3, 1$。因此，项为：

\[a_{12}a_{23}a_{31}\]

现在计算排列 (2, 3, 1$ 的逆序数 \(\tau(2,3,1)$：

比较 2 和 3：2 < 3，顺序（无逆序）。
比较 2 和 1：2 > 1，逆序（+1）。
比较 3 和 1：3 > 1，逆序（+1）。逆序总数 (\tau = 2$，是偶数，因此符号为 \((-1)^2 = 1$（正号）。所以，该项为 (+a_{12}a_{23}a_{31}$。

例题5

证明：上三角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积。考虑一个三阶上三角矩阵：

\[A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix}\]

计算其行列式。

解答根据三阶行列式的完全展开式：

\[|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}\]

代入上三角矩阵的元素（其中 (a_{21} = a_{31} = a_{32} = 0$）：

\[= (a \cdot d \cdot f) + (b \cdot e \cdot 0) + (c \cdot 0 \cdot 0) - (c \cdot d \cdot 0) - (a \cdot e \cdot 0) - (b \cdot 0 \cdot f)\] \[= adf + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = adf\]

因此，行列式等于对角线元素乘积 (adf$，这验证了文档中的结论。