四、矩阵的秩

(1) 定义

每个矩阵的行向量组的秩和列向量组的秩是相等的，于是规定：

【定义3.3】 矩阵 $A$ 的秩 $\mathbf{r}(A)$ 就是其行（列）向量组的秩。

【定理3.9】 $\mathrm{r}(A)$ 就是 $A$ 的非0子式的阶数的最大值。（即 $A$ 的每个阶数大于 $\mathrm{r}(A)$ 的子式的值都为0，但是 $A$ 有阶数等于 $\mathrm{r}(A)$ 的非0子式。）

如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则

\[0 \leqslant \mathrm{r}(A) \leqslant \operatorname{Min}\{m, n\}.\] \[\mathrm{r}(A) = 0 \Leftrightarrow A = 0.\]

当 $\mathbf{r}(A) = m$ 时，称 $A$ 为行满秩的。（即 $A$ 的行向量组线性无关）

当 $\mathrm{r}(A) = n$ 时，称 $A$ 为列满秩的。（即 $A$ 的列向量组线性无关）

对于 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$，则行满秩和列满秩是一样的，此时就称 $\mathbf{A}$ 满秩。于是：

$n$ 阶矩阵 $A$ 满秩 $\leftrightarrow r(A) = n\leftrightarrow A$ 的行（列）向量组无关 $\Leftrightarrow |A|\neq 0\Leftrightarrow A$ 可逆。

(2) 计算

【定理3.10】

① 初等变换保持矩阵的秩。

② 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。

矩阵秩的计算：用初等变换将其化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩。

【注】 这里行列变换都可以用，并且可交替使用。

(3) 矩阵秩的性质

① $\mathrm{r}(A^{\mathrm{T}}) = \mathrm{r}(A)$
② 如果 $c$ 不为0，则 $\operatorname{r}(c\mathbf{A}) = \operatorname{r}(\mathbf{A})$
③ $\mathrm{r}(A \pm B) \leqslant \mathrm{r}(A) + \mathrm{r}(B)$
④ $\mathrm{r}(AB) \leqslant \operatorname{Min}\{\mathrm{r}(A), \mathrm{r}(B)\}$
⑤ 当 $A$ 可逆时，$\mathrm{r}(AB) = \mathrm{r}(B)$；当 $B$ 可逆时，$\mathrm{r}(AB) = \mathrm{r}(A)$
⑥ 如果 $A$ 列满秩，则 $\mathrm{r}(AB) = \mathrm{r}(B)$；如果 $B$ 行满秩，则 $\mathrm{r}(AB) = \mathrm{r}(A)$
⑦ 如果 $AB = 0$，则 $\mathrm{r}(A) + \mathrm{r}(B) \leqslant n$，$n$ 为 $A$ 的列数（$B$ 的行数）
⑧ 设 $A^{*}$ 为 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵，则

\[\mathrm{r}(A^{*}) = \left\{ \begin{array}{ll} n, & \text{若} \ \mathrm{r}(A) = n, \\ 1, & \text{若} \ \mathrm{r}(A) = n - 1, \\ 0, & \text{若} \ \mathrm{r}(A) < n - 1. \end{array} \right.\]

(4) 矩阵的等价

【定义3.4】 两个矩阵如果可用初等变换互相转化，就称它们等价。

【定理3.11】 矩阵等价的充要条件是它们类型相同（即行、列数对应相等），并且秩相等。

练习题

例题1

设矩阵

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\]

求矩阵 ( A $的秩 \( \mathbf{r}(A)$。

题目解答
观察矩阵 ( A $，第二行是第一行的2倍，第三行是第一行的3倍，因此行向量组线性相关。
计算子式：二阶子式

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0,\]

所有二阶子式均为0。一阶子式（即元素）不全为0，故 ( \mathbf{r}(A) = 1 $。
或者通过初等变换：

\[A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

阶梯形矩阵非零行数为1，因此 ( \mathbf{r}(A) = 1 $。

例题2

设 ( A $为 \( 3 \times 4$ 矩阵，且 ( \mathbf{r}(A) = 2 $，\( B $ 为 ( 4 \times 3 $矩阵，且 \( \mathbf{r}(B) = 3$。
求 ( \mathbf{r}(AB) $ 的可能取值范围。

题目解答
由性质 ( \mathbf{r}(AB) \leq \min{\mathbf{r}(A), \mathbf{r}(B)} = \min{2, 3} = 2 $。又因为 \( B $ 列满秩（( \mathbf{r}(B) = 3 $，列数=3），由性质⑥，若 \( B $ 列满秩，则 ( \mathbf{r}(AB) = \mathbf{r}(A) = 2 $。因此 \( \mathbf{r}(AB) = 2 $。

例题3

设 ( A, B $均为 \( n$ 阶矩阵，且 ( AB = 0 $。证明：

\[\mathbf{r}(A) + \mathbf{r}(B) \leq n.\]

题目解答
由性质⑦，若 ( AB = 0 $，则 \( \mathbf{r}(A) + \mathbf{r}(B) \leq n $，其中 ( n $为 \( A$ 的列数（也是 ( B $的行数）。这里 \( A, B$ 为 ( n $ 阶矩阵，故结论成立。

例题4

设

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}\]

求 ( \mathbf{r}(A) $，并判断 \( A $ 是否满秩。

题目解答
计算行列式：

\[|A| = 1 \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot 1) - 0 + 2 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = 4 - 4 = 0.\]

由于 ( |A| = 0 $，\( A $ 不满秩。
通过初等变换：

\[A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

非零行数为2，故 ( \mathbf{r}(A) = 2 $。

例题5

设 ( A $为 \( 3$ 阶矩阵，且 ( \mathbf{r}(A) = 2 $。求 \( \mathbf{r}(A^*) $，其中 ( A^* $为 \( A$ 的伴随矩阵。

题目解答
由性质⑧：

若 ( \mathbf{r}(A) = n $，则 \( \mathbf{r}(A^*) = n $；
若 ( \mathbf{r}(A) = n-1 $，则 \( \mathbf{r}(A^*) = 1 $；
若 ( \mathbf{r}(A) < n-1 $，则 \( \mathbf{r}(A^*) = 0 $。
这里 ( n = 3 $，\( \mathbf{r}(A) = 2 = n-1 $，故 ( \mathbf{r}(A^*) = 1 $。

例题6

设

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

计算 ( \mathbf{r}(A + B) $，并验证 \( \mathbf{r}(A + B) \leq \mathbf{r}(A) + \mathbf{r}(B) $。

题目解答

\[A + B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}\]

计算行列式：( |A+B| = 3 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 18 - 12 = 6 \neq 0 $，故 \( \mathbf{r}(A+B) = 2 $。
又 ( |A| = -2 \neq 0 $，\( |B| = 3 \neq 0 $，故 ( \mathbf{r}(A) = \mathbf{r}(B) = 2 $。验证：\( \mathbf{r}(A+B) = 2 \leq \mathbf{r}(A) + \mathbf{r}(B) = 4 $，成立。