二、离散型随机变量与连续型随机变量

（一）离散型随机变量

▶1. 离散型随机变量及其概率分布

设 $X$ 是一个随机变量，如果 $X$ 只取有限个或无穷可列个值，则称 $X$ 为离散型随机变量。

设离散型随机变量 $X$ 所有可能取的值为 $x_{i}(i = 1,2,\dots)$，$X$ 取各个可能值的概率（即事件 $\{X = x_i\}$ 的概率）$P\{X = x_i\}$ 为 $p_i(i = 1,2,\dots)$，则称 $P\{X = x_i\} = p_i(i = 1,2,\dots)$ 为 $X$ 的概率分布或分布律。它也可以采用表格的形式表示，即

X	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$	…
$p_i$	$p_1$	$p_2$	…	$p_n$	…

或 $X\sim \left( \begin{array}{cccc}x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n}\\ p_{1} & p_{2} & \dots & p_{n} \end{array} \right)$

对于两个任意实数 $a < b$，有

\[P \{a \leqslant X \leqslant b \} = \sum_ {a \leqslant x _ {i} \leqslant b} P \{X = x _ {i} \} = \sum_ {i} p _ {i},\]

其中 $\sum$ 表示对于满足 $a \leqslant x_{i} \leqslant b$ 的一切 $\{X = x_{i}\}$ 发生的概率求和。

2. 离散型随机变量的概率分布的性质

(1) $p_{i} \geqslant 0, i = 1,2,\dots;$

(2) $\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1$。

3. 离散型随机变量 $X$ 的分布函数

设离散型随机变量 $X$ 的概率分布为 $p_i = P\{X = x_i\}$，则 $X$ 的分布函数为

\[F (x) = P \{X \leqslant x \} = \sum_ {x _ {i} \leqslant x} P \{X = x _ {i} \} (- \infty < x < + \infty),\]

其中 $\sum$ 表示对于所有满足 $x_{i} \leqslant x$ 的一切 $\{X = x_{i}\}$ 发生的概率求和。$F(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内除 $X$ 可能取的值 $x_{i} (i = 1,2,\dots)$ 外，处处是连续的。

（二）连续型随机变量

▶1. 连续型随机变量及其概率密度

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，如果存在非负可积函数 $f(x)$，使得对于任意实数 $x$，均有

\[F (x) = P \{X \leqslant x \} = \int_ {- \infty} ^ {x} f (t) d t, \tag {2.1}\]

则称 $X$ 为连续型随机变量，函数 $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数，简称概率密度。

2. 连续型随机变量的概率密度 $f(x)$ 的性质

(1) $f(x)\geqslant 0$
(2) $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x = 1$
(3) 对于任意实数 $x_{1}, x_{2} (x_{1} \leqslant x_{2})$，有

\[P \left\{x _ {1} < X \leqslant x _ {2} \right\} = F \left(x _ {2}\right) - F \left(x _ {1}\right) = \int_ {x _ {1}} ^ {x _ {2}} f (t) \mathrm {d} t;\]

(4) 若 $f(x)$ 在点 $x$ 处连续，则有 $F'(x) = f(x)$。

此外，任意连续型随机变量 $X$ 取任何给定值 $c$ 的概率等于0，即 $P\{X = c\} = 0$。

【注】

① 性质(1)与(2)是函数 $f(x)$ 为某一随机变量 $X$ 的概率密度的充要条件。

② 给定 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 就能确定 $F(x)$，由于 $f(x)$ 位于积分号之内，故改变 $f(x)$ 在这个区间内有限个点的函数值，并不改变 $X$ 在该区间内取值的概率。

③ 由于连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 必可表示成 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$，故此时的 $F(x)$ 一定是 $(- \infty, + \infty)$ 上的连续函数。反之，不能说凡是连续的 $F(x)$ 对应的 $X$ 就一定是连续型随机变量。

④ 连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 必连续，但密度函数 $f(x)$ 不一定连续。

例题

【例2.2】

设随机变量 $X$ 的分布律为

X	1	4	6	10
P	2/6	1/6	2/6	1/6

求 $X$ 的分布函数 $F(x)$，并利用分布函数求 $P\{2 < X \leqslant 6\}, P\{X < 4\}, P\{1 \leqslant X < 5\}$。

【解】 $X$ 为离散型随机变量，其分布函数为 $F(x) = \sum_{x_i\leqslant x}P\{X = x_i\} = \sum_{x_i\leqslant x}p_i$，这里和式是对所有满足 $x_{i}\leqslant x$ 的 $i$ 求和，本题中仅当 $x_{i} = 1,4,6,10$ 时概率 $P\{X = x_i\} \neq 0$，故有

当 $x < 1$ 时，$F(x) = P\{X \leqslant x\} = 0$
当 $1 \leqslant x < 4$ 时，$F(x) = P\{X \leqslant x\} = P\{X = 1\} = 2/6$
当 $4 \leqslant x < 6$ 时，$F(x) = P\{X \leqslant x\} = P\{X = 1\} + P\{X = 4\} = 3 / 6$
当 $6 \leqslant x < 10$ 时，$F(x) = P\{X \leqslant x\} = P\{X = 1\} + P\{X = 4\} + P\{X = 6\} = 5 / 6$
当 $x \geqslant 10$ 时，$F(x) = P\{X = 1\} + P\{X = 4\} + P\{X = 6\} + P\{X = 10\} = 1$

于是

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 1,\\ 1 / 3, & 1\leqslant x < 4,\\ 1 / 2, & 4\leqslant x < 6,\\ 5 / 6, & 6\leqslant x < 10,\\ 1, & x\geqslant 10. \end{array} \right.\] \[P \{2 < X \leqslant 6 \} = F (6) - F (2) = 5 / 6 - 1 / 3 = 1 / 2,\] \[P \{X < 4 \} = F (4) - P \{X = 4 \} = 1 / 2 - 1 / 6 = 1 / 3,\] \[\begin{array}{l} P \{1 \leqslant X < 5 \} = P \{1 < X \leqslant 5 \} + P \{X = 1 \} - P \{X = 5 \} \\ = F (5) - F (1) + 1 / 3 - 0 = 1 / 2 - 1 / 3 + 1 / 3 = 1 / 2. \\ \end{array}\]

评注：在求 $F(x)$ 时要将区间 $(- \infty, + \infty)$ 分成若干个小区间，然后在各个小区间写出 $F(x)$，要注意这些小区间除第一个小区间外都是左闭右开的。分布函数应有 $F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$，在求出 $F(x)$ 后，可验证一下，看有没有出错。另外，在使用公式 $P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a)$ 时，在这里 $\{\}$ 中的不等式应是左开右闭的。如果 $\{\}$ 内的不等式不是左开右闭的，应将不等式调整为左开右闭的，然后使用这一公式，如本例所示。

【例2.3】

抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 $X = \left\{ \begin{array}{ll}0, & \text{出现反面 } T, \\ 1, & \text{出现正面 } H, \end{array} \right.$ 则随机变量 $X$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 2\right]$ 上取值的概率为

【分析】 随机变量 $X$ 的概率分布为

X	0	1
P	1/2	1/2

因为事件 $\left\{\frac{1}{2} < X \leqslant 2\right\} = \{X = 1\}$，所以

\[P \left\{\frac {1}{2} < X \leqslant 2 \right\} = P \{X = 1 \} = \frac {1}{2}.\]

【例2.4】

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，则下列函数中一定可以作为概率密度的是

(A) $f(2x)$
(B) $2f(x)$
(C) $|f(-x)|$
(D) $f(|x|)$

【分析】 根据概率密度的充要条件逐一判断。

对于（A）：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(2x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\neq 1$，故（A）不对。

对于（B）：$\int_{-\infty}^{+\infty}2f(x)\mathrm{d}x = 2\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = 2\neq 1$，故（B）不对。

对于(C)：$\left|f(-x)\right| = f(-x)\geqslant 0$，且

\[\int_ {- \infty} ^ {+ \infty} | f (- x) | d x = \int_ {- \infty} ^ {+ \infty} f (- x) d x = - \int_ {+ \infty} ^ {- \infty} f (t) d t = \int_ {- \infty} ^ {+ \infty} f (t) d t = 1,\]

故（C）满足概率密度的充要条件，选（C）。

对于(D) $\int_{-\infty}^{+\infty} f(|x|) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{0} f(-x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = -\int_{+\infty}^{0} f(t) \mathrm{d}t + \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x,$ 由于 $2\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 不一定等于1，故不选。

【例2.5】

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}4Cx, & x\in (0,2),\\ 0, & x\in (0,2), \end{array} \right.$ 试求：

（I）常数 $C$；（Ⅱ）概率 $P\left\{\frac{1}{2} < X < 1\right\}$；（Ⅲ）$X$ 的分布函数。

【解】

（I）由 $1 = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = \int_0^2 4Cx\mathrm{d}x = 8C\Rightarrow C = \frac{1}{8}$

（Ⅱ）$P\left\{\frac{1}{2} < X < 1\right\} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = \frac{3}{16}$。

（Ⅲ）分布函数 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$，由于 $f(x)$ 是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行。要注意的是不管 $x$ 处于哪一个子区间，积分的下限总是”-∞“，积分 $\int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$ 由 $(-\infty, x)$ 的各个子区间上的积分相加而得。

当 $x \leqslant 0$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{x} 0 \, \mathrm{d}t = 0$
当 $0 < x \leqslant 2$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{0} 0 \, \mathrm{d}t + \int_{0}^{x} \frac{t}{2} \, \mathrm{d}t = \frac{x^2}{4}$
当 $x > 2$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{0} 0 \, \mathrm{d}t + \int_{0}^{2} \frac{t}{2} \, \mathrm{d}t + \int_{2}^{x} 0 \, \mathrm{d}t = 1$

因此

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\leqslant 0,\\ \frac{x^2}{4}, & 0 < x\leqslant 2,\\ 1, & x > 2. \end{array} \right.\]

【例2.6】

设随机变量 $X$ 的分布函数为

\[F (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & x < 0, \\ \frac {x}{2}, & 0 \leqslant x < 1, \\ x - \frac {1}{2}, & 1 \leqslant x < 1. 5, \\ 1, & x \geqslant 1. 5, \end{array} \right.\]

求 $P\{0.4 < X \leqslant 1.3\}, P\{X > 0.5\}, P\{1.7 < X \leqslant 2\}$ 以及概率密度 $f(x)$。

【解】

$P\{0.4 < X \leqslant 1.3\} = F(1.3) - F(0.4) = (1.3 - 0.5) - \frac{0.4}{2} = 0.6,$

\[\begin{array}{l} P \{X > 0. 5 \} = 1 - P \{X \leqslant 0. 5 \} = 1 - F (0. 5) = 1 - \frac {0 . 5}{2} = 0. 7 5, \\ P \{1. 7 < X \leqslant 2 \} = F (2) - F (1. 7) = 1 - 1 = 0; \\ f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {1}{2}, & 0 < x < 1, \\ 1, & 1 \leqslant x < 1. 5, \\ 0, & \text {其他}. \end{array} \right. \\ \end{array}\]

评注：

① 这里，$F(x)$ 是一个分段函数，在求 $F(x)$ 在某一点处的值时，应注意该点落在哪一个区间，在这区间上 $F(x)$ 的表达式是什么。

② 由于改变概率密度 $f(x)$ 在个别点的函数值，不影响分布函数 $F(x)$ 的取值。因此，概率密度在个别点的函数值可以是随意指定的有限值。例如本题概率密度也可写成

\[f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {1}{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & 1 < x \leqslant 1. 5, \\ 0, & \text {其他}. \end{array} \right.\]

在 $f(x)$ 的连续点上才有 $F^{\prime}(x) = f(x)$。这里 $F^{\prime}(1)$ 不存在，而 $f(1) = \frac{1}{2}$（它是由我们随意指定的）。

练习题

例题1

设随机变量 (X$ 的分布律为：

\[\begin{array}{c|cccc} X & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.4 \end{array}\]

求：（I）(X$ 的分布函数 \(F(x)$；（II）概率 (P{0 < X \leq 1.5}$ 和 \(P\{X \geq 0\}$。

解答（I）分布函数 (F(x) = P{X \leq x} = \sum_{x_i \leq x} P{X = x_i}$：

当 (x < -1$ 时，\(F(x) = 0$
当 (-1 \leq x < 0$ 时，\(F(x) = P\{X = -1\} = 0.2$
当 (0 \leq x < 1$ 时，\(F(x) = P\{X = -1\} + P\{X = 0\} = 0.5$
当 (1 \leq x < 2$ 时，\(F(x) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6$
当 (x \geq 2$ 时，\(F(x) = 1$

因此，

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1, \\ 0.2, & -1 \leq x < 0, \\ 0.5, & 0 \leq x < 1, \\ 0.6, & 1 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases}\]

（II）计算概率：

(P{0 < X \leq 1.5} = F(1.5) - F(0) = 0.6 - 0.5 = 0.1$
(P{X \geq 0} = 1 - P{X < 0} = 1 - F(0^-) = 1 - 0.2 = 0.8$

例题2

设随机变量 (X$ 的概率密度函数为：

\[f(x) = \begin{cases} Cx^2, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}\]

求：（I）常数 (C$；（II）概率 \(P\{0.2 \leq X < 0.8\}$；（III）分布函数 (F(x)$。

解答（I）由概率密度的规范性：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_0^1 Cx^2 \, dx = C \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C = 3.\]

（II）概率计算：

\[P\{0.2 \leq X < 0.8\} = \int_{0.2}^{0.8} 3x^2 \, dx = \left[ x^3 \right]_{0.2}^{0.8} = 0.512 - 0.008 = 0.504.\]

（III）分布函数 (F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) , dt$：

当 (x < 0$ 时，\(F(x) = 0$
当 (0 \leq x < 1$ 时，\(F(x) = \int_0^x 3t^2 \, dt = x^3$
当 (x \geq 1$ 时，\(F(x) = 1$

因此，

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x^3, & 0 \leq x < 1, \\ 1, & x \geq 1. \end{cases}\]

例题3

设随机变量 (X$ 的分布函数为：

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{x}{3}, & 0 \leq x < 1, \\ \frac{1}{2}, & 1 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases}\]

求：（I）概率 (P{0.5 < X \leq 1.5}$ 和 \(P\{X > 0.8\}$; （II）概率密度函数 (f(x)$（若存在）。

解答（I）概率计算：

(P{0.5 < X \leq 1.5} = F(1.5) - F(0.5) = \frac{1}{2} - \frac{0.5}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
(P{X > 0.8} = 1 - P{X \leq 0.8} = 1 - F(0.8) = 1 - \frac{0.8}{3} = \frac{7}{15}$

（II）概率密度函数 (f(x) = F’(x)$（在连续点）：

当 (0 < x < 1$ 时，\(f(x) = \frac{1}{3}$
当 (1 < x < 2$ 时，\(F(x)$ 为常数，故 (f(x) = 0$
其他点处 (f(x) = 0$

因此，

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}\]

例题4

判断下列函数是否为概率密度函数，并说明理由：（A）(g(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|}$ （B）\(h(x) = \sin x, \quad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

解答（A）检查性质：

(g(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|} \geq 0$
(\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) , dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{x} , dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-x} , dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 满足概率密度函数的充要条件，故 \(g(x)$ 是概率密度函数。

（B）检查性质：

(h(x) = \sin x \geq 0$ 在 \([0, \frac{\pi}{2}]$
(\int_{-\infty}^{+\infty} h(x) , dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x , dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$ 但 \(h(x)$ 在 ((-\infty, 0) \cup (\frac{\pi}{2}, +\infty)$ 上未定义（或为0），且在整个实轴上积分为1，故若补充定义：

\[h(x) = \begin{cases} \sin x, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}\]

则 (h(x)$ 是概率密度函数。

例题5

设随机变量 (X$ 的概率密度为：

\[f(x) = \begin{cases} A(1 - x^2), & -1 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}\]

求：（I）常数 (A$; （II）分布函数 \(F(x)$; （III）概率 (P{|X| < 0.5}$。

解答（I）由规范性：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{-1}^1 A(1 - x^2) \, dx = A \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = A \cdot \frac{4}{3} = 1 \Rightarrow A = \frac{3}{4}.\]

（II）分布函数 (F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) , dt$：

当 (x < -1$ 时，\(F(x) = 0$
当 (-1 \leq x < 1$ 时， \[F(x) = \int_{-1}^x \frac{3}{4}(1 - t^2) \, dt = \frac{3}{4} \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^x = \frac{3}{4} \left( x - \frac{x^3}{3} + \frac{2}{3} \right)\]
当 (x \geq 1$ 时，\(F(x) = 1$

（III）概率计算：

\[P\{|X| < 0.5\} = P\{-0.5 < X < 0.5\} = F(0.5) - F(-0.5)\]

代入 (F(x)$ 表达式：

\[F(0.5) = \frac{3}{4} \left( 0.5 - \frac{0.125}{3} + \frac{2}{3} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{12} = \frac{11}{16}\] \[F(-0.5) = \frac{3}{4} \left( -0.5 + \frac{0.125}{3} + \frac{2}{3} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{16}\] \[P\{|X| < 0.5\} = \frac{11}{16} - \frac{5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\]