五、函数的连续性及其判断
（一）连续性及其相关概念
【定义 1.8】（连续性定义）设 \(y = f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 的某邻域内有定义。
（1）若 \(\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)\)，则称 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处连续。
（2）若 \(\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0\)，则称 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处连续。
（3）若对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，总存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|x - x_0| < \delta\) 时，恒有 \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\)，则称 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处连续。
注：以上三个定义是相互等价的。
（4）若 \(\lim_{x \to x_0 +} f(x) = f(x_0)\)（\(\lim_{x \to x_0 -} f(x) = f(x_0)\)），则称 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处右（左）连续。
（5）若 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内任一点均连续，则称 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内连续。
（6）若 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内连续，在 \(x = a\) 处右连续，在 \(x = b\) 处左连续，则称 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续。
【定理 1.13】（单双侧连续性的关系）\(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续 \(\Leftrightarrow f(x)\) 在点 \(x_0\) 既左连续又右连续。
（二）间断点的定义与分类
【定义 1.9】 设 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 的空心邻域或单侧空心邻域有定义，且 \(x = x_0\) 不是 \(f(x)\) 的连续点，则称点 \(x = x_0\) 是 \(f(x)\) 的间断点，即在点 \(x = x_0\) 处有下列三种情况之一出现：
（1）在点 \(x = x_0\) 的空心邻域 \(f(x)\) 有定义，但在点 \(x = x_0\) 处无定义；
（2）\(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 不存在；
（3）\(f(x_0)\) 与 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 都存在，但 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)\)。
设 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 的空心邻域有定义，间断点 \(x = x_0\) 的类型分为：
1. 第一类间断点
其特点是 \(f(x_0 + 0)\) 与 \(f(x_0 - 0)\) 均存在。
- 可去间断点：\(f(x_0 + 0) = f(x_0 - 0) \neq f(x_0)\) 或 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处无定义。
- 跳跃间断点：\(f(x_0 + 0)\neq f(x_0 - 0)\)。
2. 第二类间断点
其特点是 \(f(x_0 + 0)\) 与 \(f(x_0 - 0)\) 中至少有一个不存在。
- 无穷间断点：\(f(x_0 + 0)\) 与 \(f(x_0 - 0)\) 中至少有一个为 \(\infty\)。
（三）判断函数的连续性和间断点的类型
判断函数连续性的方法：
- 若是初等函数，则在它的定义域区间上处处连续。
- 用连续性运算法则。
- 按定义来判断。
- 分别判断左右连续性。
【定理 1.14】（连续性运算法则）
（1）（连续性的四则运算法则）设 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 都在点 \(x = x_0\) 处连续，则 \(f(x) \pm g(x)\) 与 \(f(x)g(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处连续，当 \(g(x_0) \neq 0\) 时 \(f(x) / g(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处也连续。
（2）（复合函数的连续性）设 \(u = \varphi(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处连续，\(y = f(u)\) 在点 \(u = u_0 (u_0 = \varphi(x_0))\) 处连续，则 \(f[\varphi(x)]\) 在点 \(x = x_0\) 处连续。
（3）（反函数的连续性）设 \(y = f(x)\) 在区间 \(I_{x}\) 上单调且连续，则反函数 \(x = \varphi(y)\) 也在对应的区间 \(I_{y} = \{y \mid y = f(x), x \in I_{x}\}\) 上连续且有相同的单调性。
按定义判断连续性或间断点类型是求极限的问题。
【例 1.20】 设 \(f(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{x^{2n - 1} + ax^2 + bx}{x^{2n} + 1}\)，
（Ⅰ）若 \(f(x)\) 处处连续，求 \(a,b\) 的值；
（Ⅱ）若 \(a, b\) 不是（Ⅰ）中求出的值时 \(f(x)\) 有何间断点，并指出它的类型。
【分析与求解】（Ⅰ）首先求出 \(f(x)\)。注意到
\[\lim_{n\to \infty}x^{2n} = \left\{ \begin{array}{ll}\infty , & |x| > 1,\\ 1, & |x| = 1,\\ 0, & |x| < 1, \end{array} \right.\]故要分段求出 \(f(x)\) 的表达式。
当 \(|x| > 1\) 时，
\[f(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{x^{-1} + ax^{2 - 2n} + bx^{1 - 2n}}{1 + x^{-2n}} = \frac{1}{x};\]当 \(|x| < 1\) 时，
\[f(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{ax^2 + bx}{1} = ax^2 +bx.\]于是得
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x}, & |x| > 1, \\ \frac{1}{2}(a + b + 1), & x = 1, \\ \frac{1}{2}(a - b - 1), & x = -1, \\ ax^2 + bx, & |x| < 1. \end{array} \right.\]
其次，由初等函数的连续性知 \(f(x)\) 分别在 \((-\infty, -1), (-1, 1), (1, +\infty)\) 上连续。
最后，只需考察 \(f(x)\) 在分界点 \(x = \pm 1\) 处的连续性。这就要按定义考察连续性，分别计算：
\[\lim_{x \rightarrow 1 + 0} f (x) = \lim_{x \rightarrow 1 + 0} \frac {1}{x} = 1, \quad \lim_{x \rightarrow 1 - 0} f (x) = \lim_{x \rightarrow 1 - 0} \left(a x ^ {2} + b x\right) = a + b,\] \[\lim_{x \rightarrow - 1 + 0} f (x) = \lim_{x \rightarrow - 1 + 0} \left(a x ^ {2} + b x\right) = a - b, \quad \lim_{x \rightarrow - 1 - 0} f (x) = \lim_{x \rightarrow - 1 - 0} \frac {1}{x} = - 1,\]从而 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 连续
\[\Leftrightarrow f(1 + 0) = f(1 - 0) = f(1) \Leftrightarrow a + b = 1 = \frac{1}{2} (a + b + 1) \Leftrightarrow a + b = 1;\]\(f(x)\) 在 \(x = -1\) 连续
\[\Leftrightarrow f(-1 + 0) = f(-1 - 0) = f(-1) \Leftrightarrow a - b = -1 = \frac{1}{2} (a - b - 1) \Leftrightarrow a - b = - 1.\]因此 \(f(x)\) 在 \(x = \pm 1\) 均连续
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = 1, \\ a - b = -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow a = 0, b = 1.\]当且仅当 \(a = 0, b = 1\) 时 \(f(x)\) 处处连续。
（Ⅱ）当 \((a,b)\neq (0,1)\) 时，若 \(a + b = 1\)（则 \(a - b\neq -1\)），则 \(x = 1\) 是连续点，只有 \(x = -1\) 是间断点，且是第一类间断点；若 \(a - b = -1\)（则 \(a + b\neq 1\)），则 \(x = -1\) 是连续点，只有间断点 \(x = 1\)，且是第一类间断点；若 \(a - b\neq -1\) 且 \(a + b\neq 1\)，则 \(x = 1,x = -1\) 均是第一类间断点。
练习题
例题1
设函数 \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}\)，判断 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处是否连续，并说明理由。
解答
根据连续性的定义，需要检查极限 \(\lim_{x \to 0} f(x)\) 是否存在且等于 \(f(0)\)。
计算极限：
由于 \(f(0) = 1\)，因此 \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\)，函数在 \(x = 0\) 处连续。
例题2
设函数 \(g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 1 \\ 3, & x = 1 \\ 2x, & x > 1 \end{cases}\)，判断 \(g(x)\) 在 \(x = 1\) 处是否连续。若不连续，指出间断点的类型。
解答
计算左右极限：
由于左右极限相等，但 \(g(1) = 3 \neq 2\)，因此 \(\lim_{x \to 1} g(x) \neq g(1)\)。
函数在 \(x = 1\) 处不连续，且为第一类间断点中的可去间断点。
例题3
设函数 \(h(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)，判断 \(h(x)\) 在 \(x = 1\) 处的连续性。若不连续，指出间断点的类型。
解答
函数在 \(x = 1\) 处无定义，因此不连续。
化简函数：
计算极限：
\[\lim_{x \to 1} h(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2.\]极限存在但函数在 \(x = 1\) 处无定义，因此 \(x = 1\) 是第一类间断点中的可去间断点。
例题4
设函数 \(f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n} + ax + b}{x^{2n} + 1}\)，若 \(f(x)\) 处处连续，求常数 \(a\) 和 \(b\) 的值。
解答
分段计算极限：
- 当 \(|x| > 1\) 时，\(f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + a x^{1 - 2n} + b x^{-2n}}{1 + x^{-2n}} = 1\)。
- 当 \(|x| < 1\) 时，\(f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{a x + b}{1} = a x + b\)。
- 当 \(x = 1\) 时，\(f(1) = \frac{1 + a + b}{2}\)。
- 当 \(x = -1\) 时，\(f(-1) = \frac{1 - a + b}{2}\)。
在分界点 \(x = \pm 1\) 处检查连续性：
- 在 \(x = 1\) 处： \[\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = a + b, \quad f(1) = \frac{1 + a + b}{2}.\] 连续性要求： \[a + b = 1 = \frac{1 + a + b}{2} \Rightarrow a + b = 1.\]
- 在 \(x = -1\) 处： \[\lim_{x \to -1^+} f(x) = a(-1) + b = -a + b, \quad \lim_{x \to -1^-} f(x) = 1, \quad f(-1) = \frac{1 - a + b}{2}.\] 连续性要求： \[-a + b = 1 = \frac{1 - a + b}{2} \Rightarrow -a + b = 1.\]
解方程组：
\[\begin{cases} a + b = 1 \\ -a + b = 1 \end{cases} \Rightarrow a = 0, \, b = 1.\]因此，当 \(a = 0, b = 1\) 时，函数处处连续。
例题5
设函数 \(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\)，判断 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处的连续性。若不连续，指出间断点的类型。
解答
计算极限：
极限不存在且为无穷大，因此 \(x = 0\) 是第二类间断点中的无穷间断点。