第二篇 线性代数
复习前导
1. 向量和矩阵
(1) 定义
向量和矩阵都是数量形式的发展。
由 \(mn\) 个数排列成一个 \(m\) 行 \(n\) 列的表格，两边界以圆括号或方括号，就是一个 \(m \times n\) 矩阵。这些数称为它的元素，位于第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数称为 \((i, j)\) 位元素。
本书中用大写黑体英文字母 \(A, B\) 等表示矩阵。
元素全为0的矩阵称为零矩阵，通常就记作0。
由 \(n\) 个数构成的有序数组称为一个 \(\pmb{n}\) 维向量，称这些数为它的分量。本书中常用小写黑体希腊字母 \(\alpha ,\beta ,\gamma ,\eta\) 等表示向量。（小写白体的英文字母 \(a,b,c\) 等常常表示数。）
分量全为0的向量称为零向量，也记作0。
书写中可用矩阵的形式来表示向量，例如分量依次是 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 的向量可表示成
\[(a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {n}) \text {或} \left[ \begin{array}{l} {a _ {1}} \\ {a _ {2}} \\ {\vdots} \\ {a _ {n}} \end{array} \right]\]请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样（左边是 \(1 \times n\) 矩阵，右边是 \(n \times 1\) 矩阵）。通常把它们分别称为行向量与列向量。请注意它们和下面规定的矩阵的行向量、列向量的区别。
一个 \(m \times n\) 的矩阵的每一行是一个 \(n\) 维向量，称为它的行向量；每一列是一个 \(m\) 维向量，称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵 \(\mathbf{A}\) 的列向量组为 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\) 时（它们都是表示为列的形式！），记为 \(\mathbf{A} = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n})\)。
(2) 线性运算和转置
线性运算是矩阵和向量都具有的运算，有两类，下面以矩阵为对象来描述。
加（减）法：两个 \(m \times n\) 的矩阵 \(\pmb{A}\) 和 \(\pmb{B}\) 可以相加（减），得到的和（差）仍是 \(m \times n\) 矩阵，记作 \(\pmb{A} + \pmb{B}(\pmb{A} - \pmb{B})\)，法则为对应元素相加（减）。
数乘：一个 \(m \times n\) 的矩阵 \(\mathbf{A}\) 与一个数 \(c\) 可以相乘，乘积仍为 \(m \times n\) 的矩阵，记作 \(c\mathbf{A}\)，法则为 \(\mathbf{A}\) 的每个元素乘 \(c\)。
这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律：
① 加法交换律：\(A + B = B + A\)。
② 加法结合律：\((A + B) + C = A + (B + C)\)。
③ 加乘分配律：\(c(A + B) = cA + cB, (c + d)A = cA + dA.\)
④ 数乘结合律：\(c(\mathrm{d}A) = (cd)A\)。
⑤ \(c\mathbf{A} = \mathbf{0}\)，则必有 \(c = 0\) 或 \(\pmb {A} = \pmb{0}\)。
向量也有加减法和数乘这两种线性运算，并且也有完全一样的运算规律，这里不再复述了。
向量组的线性组合：设 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 是一组 \(n\) 维向量，\(c_{1},c_{2},\dots ,c_{s}\) 是一组数，则称
\[c _ {1} \alpha_ {1} + c _ {2} \alpha_ {2} + \dots + c _ {s} \alpha_ {s}\]为 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 的（以 \(c_{1},c_{2},\dots ,c_{s}\) 为系数的）线性组合。它也是 \(_n\) 维向量。
转置：把一个 \(m \times n\) 的矩阵 \(\mathbf{A}\) 的行和列互换，得到的 \(n \times m\) 的矩阵称为 \(\mathbf{A}\) 的转置，记作 \(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\)。
有以下规律：
① \(\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}\)
② \(\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right)^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}^{\mathrm{T}} + \mathbf{B}^{\mathrm{T}}\)。
③ \((c\mathbf{A})^{\mathrm{T}} = c(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})\)。
(3) \(n\) 阶矩阵和几类特殊的 \(n\) 阶矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为 \(n\) 的方阵也常常叫作 \(n\) 阶矩阵。把 \(n\) 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的对角线（有的教材称为主对角线），其上的元素行号和列号相等。注意右上到左下这条线不叫对角线（有的教材称为副对角线）。
下面列出考试大纲中要求掌握的几类 \(n\) 阶矩阵。
- 对角矩阵：对角线外的元素都为0的 \(n\) 阶矩阵。
- 单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵，记作 \(\pmb{E}\)。
- 数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数 \(c\) 的对角矩阵，它就是 \(cE\)。
- 上（下）三角矩阵：主对角线下（上）的元素都为0的 \(n\) 阶矩阵。
- 对称矩阵：满足 \(A^{\mathrm{T}} = A\) 的矩阵。也就是对任何 \(i,j,(i,j)\) 位的元素和 \((j,i)\) 位的元素总是相等的 \(n\) 阶矩阵。
- 反对称矩阵：满足 \(A^{\mathrm{T}} = -A\) 的矩阵。也就是对任何 \(i,j,(i,j)\) 位的元素和 \((j,i)\) 是相反数的 \(n\) 阶矩阵。反对称矩阵对角线上的元素一定都是0。
2. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵
(1) 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换分初等行变换和初等列变换。
矩阵的初等行变换有以下三种：
① 交换两行的上下位置。
② 用一个非0的常数乘某一行的各元素。
③ 把某一行的倍数加到另一行上。
类似地，矩阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了。初等行变换与初等列变换统称初等变换。
(2) 阶梯形矩阵
一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果它满足下面两个条件：
① 如果它有零行，则都出现在下面。
② 如果它有非零行，则它们的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调递增。（或者说，各非零行左边出现 0 的个数自上而下严格单调递增。）
由定义看出，阶梯形矩阵中行标大于列标的元素都为0。于是一个 \(n\) 阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵。
阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素的位置称为它的台角。
简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵，特点为：每个台角上的元素为1，并且其正上方的元素都为0。
命题 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。
这种运算是线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。
一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵不是唯一的，但是它们在形式上相同（即非零行数相等，台角位置相同）；化出的简单阶梯形矩阵是唯一的。
3. 线性方程组
(1) 基本概念
线性方程组的一般形式为：
\[\left\{ \begin{array}{l} a _ {1 1} x _ {1} + a _ {1 2} x _ {2} + \dots + a _ {1 n} x _ {n} = b _ {1}, \\ a _ {2 1} x _ {1} + a _ {2 2} x _ {2} + \dots + a _ {2 n} x _ {n} = b _ {2}, \\ \dots \dots \\ a _ {m 1} x _ {1} + a _ {m 2} x _ {2} + \dots + a _ {m n} x _ {n} = b _ {m}, \end{array} \right.\]其中未知数的个数 \(n\) 和方程的个数 \(m\) 不必相等。分别称矩阵
\[\boldsymbol {A} = \left[ \begin{array}{l l l l} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & \dots & a _ {2 n} \\ \dots & \dots & & \dots \\ a _ {m 1} & a _ {m 2} & \dots & a _ {m n} \end{array} \right] \text {和} (\boldsymbol {A} | \boldsymbol {\beta}) = \left[ \begin{array}{l l l l} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & \dots & a _ {2 n} \\ \dots & \dots & & \dots \\ a _ {m 1} & a _ {m 2} & \dots & a _ {m m} \end{array} \right]\]为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵体现了方程组的全部信息。
如果 \(b_{1} = b_{2} = \dots = b_{m} = 0\)，则称为齐次线性方程组。齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息。线性方程组讨论两方面的问题：
① 判断解的情况；
（线性方程组的解的情况有三种：无解，唯一解，无穷多解。）
② 求解，特别是在无穷多解时求通解。
齐次线性方程组总是有解的，\(n\) 维零向量就是它的一个解，称为零解。因此齐次线性方程组的解的情况只有两种：唯一解（即只有零解）和无穷多解（即有非零解）。
(2) 线性方程组的矩阵消元法
处理线性方程组的基本思想是用同解变换化简方程组。同解变换有三种：
① 交换两个方程的上下位置。
② 用一个非0的常数乘某个方程。
③ 把某方程的倍数加到另一方程上。
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。
线性方程组的基本方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进行，称为矩阵消元法，步骤如下：
① 写出方程组的增广矩阵 \((A|\pmb{\beta})\)，用初等行变换把它化为阶梯形矩阵 \((B|\gamma)\)：
② 用 \((\pmb{B} \mid \pmb{\gamma})\) 判别解的情况：
如果它的最下面的非零行为 \((0,0,\dots ,0,d)\)，则无解，否则有解。
有解时比较它的非零行数 \(r\) 与未知数个数 \(n, r = n\) 时唯一解，\(r < n\) 时无穷多解。
对于齐次方程组，只用把系数矩阵化为阶梯形矩阵，则只有零解 \(\Leftrightarrow\) 此阶梯形矩阵的非零行数 \(r =\) 未知数个数 \(\pmb{n}\)：
例如，当齐次方程组的方程个数 \(m\) 小于未知数个数 \(n\) 时，\(r \leqslant m < n\)，因此一定有非零解。
练习题
例题1
设矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，B = \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)，计算：
(1) A + B
(2) 2A - 3B
(3) (A + B)ᵀ
解答
(1) A + B = \(\begin{bmatrix} 1+2 & 2+0 \\ 3+(-1) & 4+1 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\)
(2) 2A - 3B = \(\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}\) - \(\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} -4 & 4 \\ 9 & 5 \end{bmatrix}\)
(3) (A + B)ᵀ = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\)ᵀ = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\)
例题2
判断下列矩阵哪些是对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵、对角矩阵：
(1) \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
解答
(1) 对称矩阵（Aᵀ = A）
(2) 反对称矩阵（Aᵀ = -A，对角线元素为0）
(3) 对角矩阵（非对角线元素全为0）
(4) 上三角矩阵（主对角线下方元素全为0）
例题3
用初等行变换将矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) 化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。
解答
阶梯形矩阵：
① R₂ ← R₂ - 2R₁，R₃ ← R₃ - R₁：
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}\)
② 交换 R₂ 和 R₃：
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)（阶梯形矩阵）
简单阶梯形矩阵：
① R₂ ← (-1)R₂：
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
② R₁ ← R₁ - 2R₂：
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)（简单阶梯形矩阵）
例题4
判断线性方程组的解的情况，若有解则求解：
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6 \\ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 3 \end{cases}\]解答
增广矩阵为：
\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 6 & 12 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]\)
初等行变换：
① R₂ ← R₂ - 2R₁，R₃ ← R₃ - R₁：
\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{array}\right]\)
② 交换 R₂ 和 R₃：
\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)
阶梯形矩阵非零行数 r = 2，未知数个数 n = 3，r < n，故有无穷多解。
回代求解：
由第二行：-x₂ - 2x₃ = -3 ⇒ x₂ = 3 - 2x₃
由第一行：x₁ + 2(3 - 2x₃) + 3x₃ = 6 ⇒ x₁ + 6 - 4x₃ + 3x₃ = 6 ⇒ x₁ = x₃
通解：\(\begin{cases} x_1 = t \\ x_2 = 3 - 2t \\ x_3 = t \end{cases}\)（t 为任意常数）
例题5
设向量 α₁ = \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)，α₂ = \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)，α₃ = \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)，判断 α₃ 是否为 α₁ 和 α₂ 的线性组合。若是，求出系数。
解答
设 α₃ = c₁α₁ + c₂α₂，即：
\(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_1 + c_2 \end{bmatrix}\)
得方程组：
\(\begin{cases} c_1 = 1 \\ c_2 = 1 \\ c_1 + c_2 = 2 \end{cases}\)
解得 c₁ = 1，c₂ = 1，满足第三式。
故 α₃ = α₁ + α₂，是线性组合。