六、两种基本矩阵方程
两种基本形式的矩阵方程：
(I) \(AX = B\)
(II) \(XA = B\)
这里要求 \(A\) 是行列式不为0的 \(n\) 阶矩阵，这样可使得这两个方程的解都是存在并且唯一的。
解法一 初等变换法
(I) \(AX = B\)
将 \(A\) 和 \(B\) 并列作矩阵 \((A|B)\)，对它作初等行变换是矩阵方程的同解变换，于是得到求解初等变换法：对 \((A|B)\) 作初等行变换使得 \(A\) 变为单位矩阵，此时 \(B\) 随之变为解 \(X\)。
\[(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B}) \rightarrow (\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{X})\](II) \(XA = B\)
对两边转置化为（I）的形式：\(A^{\mathrm{T}}X^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}\)，再用初等变换法求出 \(X^{\mathrm{T}}\)，转置得 \(X\)。
\[\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \mid \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right) \rightarrow \left(\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\right)\]解法二 逆矩阵法
\(A\) 的行列式不为0即 \(A\) 可逆，于是：
- (I) \(AX = B\) 的解为 \(X = A^{-1}B\)
- (II) \(XA = B\) 的解为 \(X = BA^{-1}\)
注记
注1 矩阵方程是历年考题中常见的题型，但是真题中的矩阵方程一般比较复杂，要用恒等变形转化为这两种基本矩阵方程，再用初等变换法求解。
有的题中没有给出矩阵方程，但是也可利用条件建立矩阵方程来求矩阵，或解决其他问题。常见的是由特征向量求矩阵。
注2 解法二容易理解和记忆，但是计算量比解法一大，计算量在考场是至关重要的，因此建议大家多用初等变换法。
练习题
例题1
设矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\)，求解矩阵方程 \(AX = B\)。
题目解答
首先验证 \(A\) 可逆：\(\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0\)，因此 \(A\) 可逆。
使用初等变换法：构造增广矩阵 \((A \mid B)\) 并作初等行变换：
因此解为 \(X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\)。
例题2
设矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，求解矩阵方程 \(XA = B\)。
题目解答
验证 \(A\) 可逆：\(\det(A) = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1 \neq 0\)。
使用初等变换法：对方程 \(XA = B\) 两边转置得 \(A^{\mathrm{T}}X^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}\)，其中
构造增广矩阵 \((A^{\mathrm{T}} \mid B^{\mathrm{T}})\) 并作初等行变换：
\[\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 \times (-1)} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_1 - R_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\]因此 \(X^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，转置得 \(X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
例题3
设矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，用逆矩阵法求解 \(AX = B\)。
题目解答
验证 \(A\) 可逆：\(\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 0 + 2 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = -1 - 2 = -3 \neq 0\)。
计算 \(A^{-1}\)（使用伴随矩阵法或初等变换）：
则 \(X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}\)。
例题4
已知矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 和 \(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，若矩阵 \(X\) 满足 \(AX = X + B\)，求 \(X\)。
题目解答 将方程恒等变形为 \(AX - X = B\)，即 \((A - E)X = B\)，其中 \(E\) 为单位矩阵：
\[A - E = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\]但 \(\det(A - E) = 0\)，不可直接使用基本矩阵方程解法。需进一步变形：
原方程 \(AX = X + B\) 可写为 \(AX - X = B\)，即 \((A - E)X = B\)。
由于 \(A - E\) 不可逆，考虑将方程改写为 \(X = A^{-1}(X + B)\) 或其他形式，但本题中 \(A - E\) 奇异，说明需用其他方法（如解线性方程组）。
实际上，设 \(X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}\)，代入得：
计算并比较元素得方程组：
\[\begin{cases} x_{11} + 2x_{21} = x_{11} + 2 \\ x_{12} + 2x_{22} = x_{12} + 1 \\ x_{21} = x_{21} + 1 \\ x_{22} = x_{22} + 1 \end{cases}\]后两个方程矛盾，因此无解。本题意在展示需先恒等变形为基本形式，并注意系数矩阵的可逆性。
例题5
设 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，\(B\) 为 \(n \times m\) 矩阵，比较用初等变换法和逆矩阵法解 \(AX = B\) 的计算量，并说明在考试中推荐使用哪种方法。
题目解答
- 逆矩阵法：需计算 \(A^{-1}\)（通常需要 \(O(n^3)\) 次运算），再计算 \(A^{-1}B\)（需要 \(O(n^2m)\) 次运算）。总计算量约为 \(O(n^3 + n^2m)\)。
- 初等变换法：直接对增广矩阵 \((A \mid B)\) 作初等行变换化 \(A\) 为单位矩阵，计算量约为 \(O(n^3 + n^2m)\)，但常数因子更小，且无需存储逆矩阵。
在考试中，初等变换法更直接、不易出错，且计算量通常更小，因此推荐使用初等变换法。