五、反常积分（广义积分）
定积分有两个基本要求：积分区间有限与被积函数有界。反常积分（广义积分）就是通过去掉这两个限制来推广定积分的。
（一）反常积分（广义积分）概念
1. 无穷区间上的反常积分的概念
(1) 设 \(f(x)\) 定义在 \([a, +\infty)\) 上，且在任意一个有界区间 \([a, b]\) 上存在定积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x\)，定义
\[\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x; \tag{3.14}\](2) 设 \(f(x)\) 定义在 \((-\infty, b]\) 上，且在任意一个有界区间 \([a, b]\) 上存在定积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x\)，定义
\[\int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x; \tag{3.15}\](3) 设 \(f(x)\) 定义在 \((-\infty, +\infty)\) 上，定义
\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{a \rightarrow -\infty} \int_{a}^{0} f(x) \mathrm{d}x + \lim_{b \rightarrow +\infty} \int_{0}^{b} f(x) \mathrm{d}x. \tag{3.16}\](3.14)，(3.15) 中若右端极限存在，则称反常积分（广义积分）收敛，否则称为发散。(3.16) 式要求右端两个反常积分（广义积分）同时收敛，则称 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛，有一个发散则称 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 发散。
2. 无界函数的反常积分的概念
如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x = x_0\) 的任一邻域内都无界，则称点 \(x = x_0\) 为函数 \(f(x)\) 的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。
(1) 设 \(f(x)\) 在 \((a, b]\) 上有定义且在任何一个区间 \([a + \varepsilon, b]\) 上可积，其中 \(\varepsilon > 0\)，在 \(a\) 点的右邻域无界，定义
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0 +} \int_{a + \varepsilon}^{b} f(x) \mathrm{d}x; \tag{3.17}\](2) 设 \(f(x)\) 在 \([a, b)\) 上有定义且在任何一个区间 \([a, b - \varepsilon]\) 上可积，其中 \(\varepsilon > 0\)，在 \(b\) 点的左邻域无界，定义
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0 +} \int_{a}^{b - \varepsilon} f(x) \mathrm{d}x; \tag{3.18}\](3) 设 \(f(x)\) 在 \([a, c)\) 及 \((c, b]\) 上都有定义，且在任意区间 \([a, c - \varepsilon]\) 及 \([c + \varepsilon, b]\) 上可积，其中 \(\varepsilon > 0\)，在点 \(c\) 的邻域内无界，定义
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon_{1} \rightarrow 0 +} \int_{a}^{c - \varepsilon_{1}} f(x) \mathrm{d}x + \lim_{\varepsilon_{2} \rightarrow 0 +} \int_{c + \varepsilon_{2}}^{b} f(x) \mathrm{d}x. \tag{3.19}\](3.17)，(3.18) 中若右端极限存在，则称该反常积分收敛，否则发散。(3.19) 式要求右端两个反常积分均收敛，则称 \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\) 收敛。若有一个发散，则称 \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\) 发散。
3. 按定义判断反常积分的敛散性与计算反常积分值
按定义判断反常积分的敛散性与计算反常积分值，就是考察相应的变限积分的极限存在性，并求极限值。
4. 几个常见的反常积分（广义积分）
(1) \(\int_{a}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p} \left\{ \begin{array}{l} \text{收敛}, p > 1, \\ \text{发散}, p \leqslant 1, \end{array} \right.\) \(a > 0\)
(2) \(\int_{a}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln^{p}x} \left\{ \begin{array}{l} \text{收敛}, p > 1, \\ \text{发散}, p \leqslant 1, \end{array} \right.\) \(a > 1\)
(3) \(\int_{a}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x\) 收敛，\(\lambda > 0\)，\(k \geqslant 0\)；发散，\(\lambda \leqslant 0\)。
(4) \(\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{(x - a)^{p}} \left\{ \begin{array}{l} \text{收敛}, p < 1, \\ \text{发散}, p \geqslant 1 \end{array} \right.\)
（二）反常积分（广义积分）的运算法则与计算
反常积分是变限积分的极限，因此由定积分的运算法则与极限运算法则就可得到反常积分的运算法则。下面以反常积分 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 为例，列出相应的运算法则，对于其他各种类型的反常积分也有类似的运算法则。
1. 牛顿-莱布尼兹公式
设 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 连续，\(F(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 连续，且当 \(x\in (a, +\infty)\) 时 \(F^{\prime}(x) = f(x)\)。若 \(\lim_{x\to +\infty}F(x)\triangleq F(+\infty)\) 存在，则反常积分 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛，且
\[\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = F(x) \Big|_{a}^{+\infty} = F(+\infty) - F(a); \tag{3.20}\]若 \(\lim_{x\to +\infty}F(x)\) 不存在，则反常积分 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 发散。
2. 线性性质
设 \(\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x\) 收敛，\(k_{1}\) 与 \(k_{2}\) 为常数，则 \(\int_{a}^{+\infty} [k_{1}f(x) + k_{2}g(x)] \mathrm{d}x\) 收敛，且
\[\int_{a}^{+\infty} [k_{1} f(x) + k_{2} g(x)] dx = k_{1} \int_{a}^{+\infty} f(x) dx + k_{2} \int_{a}^{+\infty} g(x) dx.\]3. 分部积分法
设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 有连续的导数，若 \(\lim_{x \to +\infty} f(x)g(x)\) 存在，且 \(\int_{a}^{+\infty} f'(x)g(x) \mathrm{d}x\) 收敛，则 \(\int_{a}^{+\infty} f(x)g'(x) \mathrm{d}x\) 收敛，且
\[\int_{a}^{+\infty} f(x) g^{\prime}(x) dx = f(x) g(x) \Big|_{a}^{+\infty} - \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) g(x) dx,\]这里 \(f(x)g(x)\Big|_{a}^{+\infty} = \lim_{x\to +\infty}[f(x)g(x)] - f(a)g(a)\)。
4. 换元积分法
设 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 连续，\(\varphi(t)\) 在 \([\alpha ,\beta)\) 有连续的导数且单调，\(\varphi(\alpha) = a\)，\(\lim_{t\to \beta -0}\varphi(t) = +\infty\)，则
\[\int_{a}^{+\infty} f(x) dx \stackrel{x = \varphi(t)}{=} \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) dt,\]这里 \(\beta\) 可以是有限的，也可以为 \(\infty\)。
【注】要注意上述反常积分运算法则成立的条件”收敛”，否则会导致错误的结论。
从上面讨论可知，我们常用以下方法求出反常积分：
- 按定义；
- 用反常积分的牛顿-莱布尼兹公式即公式(3.20)；
- 用反常积分的运算法则（定积分的运算法则适用于反常积分）。
【例3.22】计算下列反常积分（广义积分）的值：
(I) \(\int_{3}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(x - 1)^{4}\sqrt{x^{2} - 2x}}\); (II) \(\int_{0}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x)^{2}}\)。
【解】（I）由于 \(x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1\)，所以为去掉被积函数中的根号，可令 \(x - 1 = \sec t\)，则有
\[\begin{aligned} \int_{3}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x - 1)^{4} \sqrt{x^{2} - 2x}} &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec t \tan t}{\sec^{4} t \tan t} \mathrm{d}t = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{3} t \mathrm{d}t \\ &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^{2} t) \mathrm{d}(\sin t) \\ &= \left.\left(\sin t - \frac{1}{3} \sin^{3} t\right)\right|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3} - \frac{3}{8} \sqrt{3}; \end{aligned}\]（Ⅱ）\(\int_{0}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x)^{2}} = \int_{0}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\frac{\mathrm{d}\ln x}{(\ln x)^{2}} = -\frac{1}{\ln x}\Big|_{0 + }^{\frac{1}{\mathrm{e}}} = 1\)。
评注：本例的第（I）小题原为无穷区间上的反常积分（广义积分），而经引入新的积分变量 \(t\) 后就变成了定积分，这说明定积分与反常积分（广义积分）有时可以相互转换。第（Ⅱ）小题实质上是作了变量代换 \(t = \ln x\)，即
\[\int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{dx}{x (\ln x)^{2}} = \int_{-\infty}^{-1} \frac{dt}{t^{2}} = -\frac{1}{t} \Bigg|_{-\infty}^{-1} = 1.\]用凑微分法时变量代换过程可以省略，此例也说明变量代换下无界函数的反常积分与无穷区间上的反常积分也可以相互转化。
（三）反常积分收敛的比较判别法
1. 比较原理
设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 连续，且 \(0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)\) \((a \leqslant x < +\infty)\)。
- 若 \(\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\) 收敛，则 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 也收敛。
- 若 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 发散，则 \(\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\) 也发散。
对瑕积分也有类似结论。
利用这个比较判别法，则我们可以不必求出反常积分值就可判断某些积分的敛散性。
2. 比较原理的极限形式
设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 连续且非负，又 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l\)
- 当 \(0 < l < +\infty\) 时则 \(\int_{a}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x\) 与 \(\int_{a}^{+\infty} g(x) \, \mathrm{d}x\) 有相同的敛散性。
- 当 \(l = 0\) 时，若 \(\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\) 收敛则 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛。
- 当 \(l = +\infty\) 时若 \(\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\) 发散，则 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 发散。
对于瑕积分也有类似结论：
设 \(f(x)\) 在 \((a,b]\) 连续，又 \(\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{\frac{1}{(x - a)^p}} = \lim_{x\to a^{+}}(x - a)^p f(x) = l\)，
- 当 \(0 < l < +\infty\)，则 \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\) \(\left\{ \begin{array}{l} \text{收敛} (p < 1) \\ \text{发散} (p \geqslant 1) \end{array} \right.\)
- 当 \(l = 0, p < 1\)，则 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x\) 收敛。
- 当 \(l = +\infty, p \geqslant 1\)，则 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x\) 发散。
【例3.23】讨论下列反常积分的敛散性：
(I) \(\int_{2}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{2x + \sqrt[3]{x^2 + 1} + 5}\); (II) \(\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{1 - x^4}}\); (III) \(\int_{0}^{+\infty}\frac{e^x\arctan(x + 1)}{(4 + e^x)^2}\mathrm{d}x\)
【解】（I）这是无穷积分，
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{2x + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + 5} / \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{2x + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + 5} = \frac{1}{2}\]因 \(\int_{2}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x}\) 发散，由比较判别法知，原积分发散。
（Ⅱ）这是瑕积分，\(x = 1\) 是瑕点
\[\sqrt[3]{1 - x^{4}} = \sqrt[3]{(1 - x)(1 + x)(1 + x^{2})} \geqslant (1 - x)^{\frac{1}{3}} \quad (0 \leqslant x < 1)\] \[\Rightarrow \quad 0 < \frac{1}{\sqrt[3]{1 - x^{4}}} \leqslant \frac{1}{(1 - x)^{\frac{1}{3}}} (0 \leqslant x < 1).\]因 \(\frac{1}{3} < 1\)，\(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{(1 - x)^{\frac{1}{3}}}\) 收敛，由比较判别法知，原积分收敛。
（Ⅲ）这是无穷积分
\[\frac{e^{x} \arctan(x + 1)}{(4 + e^{x})^{2}} \leqslant \frac{\pi}{2} \frac{e^{x}}{(e^{x})^{2}} = \frac{\pi}{2} e^{-x}\]又 \(\int_{0}^{+\infty}\frac{\pi}{2} e^{-x}\mathrm{d}x = -\frac{\pi}{2} e^{-x}\Big|_{0}^{+\infty} = \frac{\pi}{2}\)（收敛）
练习题
例题1
判断下列反常积分的敛散性：
\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 3x + 2}\]解答 注意到当 \(x \to +\infty\) 时，
\[\frac{1}{x^2 + 3x + 2} \sim \frac{1}{x^2}.\]由于 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}\) 收敛（\(p = 2 > 1\)），由比较判别法的极限形式，原积分收敛。
例题2
计算反常积分：
\[\int_{0}^{+\infty} xe^{-x} \, dx\]解答
利用牛顿-莱布尼兹公式：
设 \(F(x) = -xe^{-x} - e^{-x}\)，则 \(F'(x) = xe^{-x}\)。
计算极限：
因此，
\[\int_{0}^{+\infty} xe^{-x} \, dx = F(+\infty) - F(0) = 0 - (-1) = 1.\]例题3
判断瑕积分的敛散性：
\[\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}(1 - x)}\]解答
被积函数在 \(x = 0\) 和 \(x = 1\) 处无界。
在 \(x = 0\) 附近，\(\frac{1}{\sqrt{x}(1 - x)} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}\)，且 \(p = \frac{1}{2} < 1\)，积分收敛。
在 \(x = 1\) 附近，令 \(t = 1 - x\)，则 \(\frac{1}{\sqrt{x}(1 - x)} \sim \frac{1}{1 \cdot t} = \frac{1}{t}\)，且 \(p = 1\)，积分发散。
因此，原积分发散。
例题4
计算反常积分：
\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x}\]解答 令 \(t = \ln x\)，则 \(dt = \frac{dx}{x}\)，积分变为：
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{t^2}.\]但这是错误的，因为 \(t = \ln x\)，当 \(x = 1\) 时 \(t = 0\)，当 \(x \to +\infty\) 时 \(t \to +\infty\)。正确代换为：
\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x} = \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{t^2}.\]但 \(\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{t^2}\) 在 \(t = 0\) 处发散。实际上，应分拆积分：
\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x} = \int_{1}^{e} \frac{dx}{x \ln^2 x} + \int_{e}^{+\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x}.\]第一项在 \(x = 1\) 处瑕点，第二项无穷积分。
计算：
所以，
\[\int_{1}^{e} \frac{dx}{x \ln^2 x} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ -\frac{1}{\ln x} \right]_{1+\varepsilon}^{e} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -\frac{1}{1} + \frac{1}{\ln(1+\varepsilon)} \right) \to +\infty,\]因此积分发散。
例题5
判断反常积分的敛散性：
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1 + x^2} \, dx\]解答
当 \(x \to +\infty\) 时，\(\frac{\arctan x}{1 + x^2} \sim \frac{\pi/2}{x^2}\)，且 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}\) 收敛，故无穷积分部分收敛。
在 \(x = 0\) 处函数有界，无瑕点。
因此，原积分收敛。
例题6
计算反常积分：
\[\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{1 - x^3}}\]解答 令 \(t = 1 - x\)，则 \(x = 1 - t\)，\(dx = -dt\)，积分变为：
\[\int_{1}^{0} \frac{-dt}{\sqrt[3]{t^3 - 3t^2 + 3t}} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt[3]{t(t^2 - 3t + 3)}}.\]在 \(t = 0\) 附近，\(\frac{1}{\sqrt[3]{t(t^2 - 3t + 3)}} \sim \frac{1}{\sqrt[3]{3t}}\)，且 \(p = \frac{1}{3} < 1\)，积分收敛。
计算原积分：