六、向量空间

(1) $n$ 维向量空间及其子空间

记 $\mathbb{R}^n$ 为由全部 $n$ 维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为 $n$ 维向量空间。

设 $V$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子集，如果它满足：

① 当 $\alpha_1, \alpha_2$ 都属于 $V$ 时，$\alpha_1 + \alpha_2$ 也属于 $V$。
② 对 $V$ 的每个元素 $\alpha$ 和任何实数 $c$，$c\alpha$ 也在 $V$ 中。

（也就是说，$V$ 中任意一组元素的任意线性组合仍在 $V$ 中）则称 $V$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。

例如 $n$ 元齐次方程组 $AX = 0$ 的全部解构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间，称为 $AX = 0$ 的解空间。但是非齐次方程组 $AX = \beta$ 的全部解则不构成 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。

对于 $\mathbb{R}^n$ 中的一组元素 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$，记它们的全部线性组合的集合为

\[L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s) = \{c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \dots + c_s\alpha_s \mid c_i \text{ 任意}\},\]

它也是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。

(2) 基，维数，坐标

设 $V$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个非零子空间（即它含有非零元素），称 $V$ 的秩为其维数，记作 $\dim V$。称 $V$ 的排了次序的极大无关组为 $V$ 的基。

例如 $AX = 0$ 的解空间的维数为 $n - r(A)$，它的每个有序的基础解系构成基。

又如 $\dim L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s) = r(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 的每个有序的最大无关组构成基。

设 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 是 $V$ 的一个基，则 $V$ 的每个元素 $\alpha$ 都可以用 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 唯一线性表示：

\[\alpha = c_1\eta_1 + c_2\eta_2 + \dots + c_k\eta_k,\]

称其中的系数 $c_1, c_2, \dots, c_k$ 为 $\alpha$ 关于基 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 的坐标，它是一个 $k$ 维向量。

坐标有线性性质：

① 两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：

如果向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 关于基 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 的坐标分别为 $(c_1, c_2, \dots, c_k)$ 和 $(d_1, d_2, \dots, d_k)$，则 $\alpha + \beta$ 关于基 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 的坐标为 $(c_1 + d_1, c_2 + d_2, \dots, c_k + d_k) = (c_1, c_2, \dots, c_k) + (d_1, d_2, \dots, d_k)$。

② 向量的数乘的坐标等于坐标乘此数：

如果向量 $\alpha$ 关于基 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 的坐标为 $(c_1, c_2, \dots, c_k)$，则 $c\alpha$ 关于基 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 的坐标为 $(cc_1, cc_2, \dots, cc_k) = c(c_1, c_2, \dots, c_k)$。

坐标的意义：设 $V$ 中的一个向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_t$ 关于某个基的坐标依次为 $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_t$，则 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_t$ 和 $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_t$ 有相同的线性关系。这使得我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和最大无关组等等。

(3) 过渡矩阵，坐标变换公式

设 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 和 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 都是 $V$ 的一个基，并设 $\xi_i$ 在 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 中的坐标为 $(c_{1i}, c_{2i}, \dots, c_{ki})$，构造矩阵

\[C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1k} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{k1} & c_{k2} & \dots & c_{kk} \end{bmatrix},\]

称 $C$ 为 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 到 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 的过渡矩阵。它也就是向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 对于 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 的表示矩阵。

可以利用矩阵分解的工具，用矩阵乘法写出过渡矩阵和两个基的关系：

\[(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k) = (\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k)C.\]

如果 $V$ 中向量 $\alpha$ 在基 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 和 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 中的坐标分别为 $x = (x_1, x_2, \dots, x_k)^{\mathrm{T}}$ 和 $y = (y_1, y_2, \dots, y_k)^{\mathrm{T}}$，即有 $\alpha = (\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k)x$，并且

\[\alpha = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k)y = (\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k)Cy.\]

于是有坐标变换公式：$x = Cy$。

(4) 规范正交基

如果 $V$ 的一个基 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 是单位正交向量组，则称为规范正交基。

两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。

两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。

考题型及其解题方法与技巧

本部分概念多而抽象，性质多而复杂。相对来说，有关计算题型比较少，并且集中在秩的计算和应用上。但是出现比较多的概念检测题和证明题，对许多考生这是难点。

概念检测题涉及的内容是多方面的，做好这些题的关键是正确理解概念，灵活运用有关性质。反过来，做好了这些题有助于加深对概念的掌握。

证明题的题型也是多变的，下面的有些题也许难度大些，但它们给出的结论往往是有用的，能丰富知识，加深对理论的理解。基础好的考生可从它们的证明方法中得到启示，提高解题能力。

题型一概念检测题

本章概念性强，常常成为考试真题中概念检测题的考核目标。这类题目考点是多方面的，因此不仅要求考生掌握概念和性质，并且要会灵活运用它们处理问题。

【例3.6】 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ （）

（A）存在全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_r$，使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_1 + \dots + k_r\alpha_r = 0$
（B）存在不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_r$，使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_1 + \dots + k_r\alpha_r \neq 0$
（C）每个 $\alpha_i$ 都不能用其他向量线性表示。
（D）有线性无关的部分组。

【解】 选（C）。

（A）不对，当 $k_1 = k_2 = \dots = k_r = 0$ 时，对任何向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$，$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_1 + \dots + k_r\alpha_r = 0$ 都成立。
（B）不对，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性相关时，也存在不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_r$，使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_1 + \dots + k_r\alpha_r \neq 0$；
（C）就是线性无关的意义。
（D）不对，线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组。

【例3.7】 设 $A$ 是 $4 \times 5$ 矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 是 $A$ 的列向量组，$r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) = 3$，则（）正确。

（A）$A$ 的任何 3 个行向量都线性无关。
（B）$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的一个含有 3 个向量的部分组（I）如果与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 等价，则一定是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的最大无关组。
（C）$A$ 的 3 阶子式都不为 0。
（D）$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的线性相关的部分组含有向量的个数一定大于 3。

【解】 选（B）。

【分析】 $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) = 3$，说明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定线性相关，但是线性相关不一定包含向量超过 3 个。（D）不对。

$r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) = 3$，则 $A$ 的行向量组的秩也是 3，因此存在 3 个行向量线性无关，但是不是任何 3 个行向量都线性无关。排除（A）。

$A$ 的秩也是 3，因此有 3 阶非零子式，但是并非每个 3 阶子式都不为 0，（C）也不对。

下面说明（B）对。（I）与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 等价，则（I）的秩 $= r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) = 3 =$（I）中向量的个数，于是（I）线性无关，由定义（I）是最大线性无关组。

【例3.8】 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 都是 $n$ 维向量。判断下列命题是否成立，

① 如果 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\alpha_4$ 不能用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关。

② 如果 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\alpha_3, \alpha_4$ 都不能用 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关。

③ 如果存在 $n$ 阶矩阵 $A$，使得 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3, A\alpha_4$ 线性无关，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关。

④ 如果 $\alpha_1 = A\beta_1, \alpha_2 = A\beta_2, \alpha_3 = A\beta_3, \alpha_4 = A\beta_4$，其中 $A$ 可逆，$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 线性无关，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关。

其中成立的为

【解】 ①, ③, ④。

① 直接从定理 3.2 得到。
② 明显不对，例如 $\alpha_3$ 不能用 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，而 $\alpha_3 = \alpha_4$ 时，$\alpha_3, \alpha_4$ 都不能用 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示但是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关。
③ 容易用秩说明：$A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3, A\alpha_4$ 的秩即矩阵 $(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3, A\alpha_4)$ 的秩，而 $(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3, A\alpha_4) = A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，由矩阵秩的性质 ④

$r(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3, A\alpha_4) \leqslant r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$。$A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3, A\alpha_4$ 无关，秩为 4，于是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩也一定为 4，线性无关。

④ 也可从秩看出：$A$ 可逆时，$r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = r(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3, A\alpha_4) = 4$。

【例3.9】 设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 是 $n$ 维向量组，$r(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s) = r$，则（）不正确。

（A）如果 $r = n$，则任何 $n$ 维向量都可用 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性表示。
（B）如果任何 $n$ 维向量都可用 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性表示，则 $r = n$
（C）如果 $r = s$，则任何 $n$ 维向量都可用 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 唯一线性表示，
（D）如果 $r < n$，则存在 $n$ 维向量不能用 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性表示。

【解】 选（C）。

【分析】 利用“用秩判断线性表示”的有关性质，

当 $r = n$ 时，任何 $n$ 维向量添加进 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 时，秩不可能增大，从而（A）正确。

如果（B）的条件成立，则任何 $n$ 维向量组 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_t$ 都可用 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性表示，从而 $r(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_t) \leqslant r(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$。如果取 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵的列向量组，则得

\[n = r(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) \leqslant r(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s) \leqslant n,\]

从而 $r(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s) = n$，（B）正确。

（D）是（B）的逆否命题，也正确。

由排除法，得选项应该为（C）。下面分析

练习题

例题1

题目内容
设 ( \alpha_1 = (1, 0, 2, 3)^\mathrm{T}, \alpha_2 = (1, 1, 3, 5)^\mathrm{T}, \alpha_3 = (1, -1, a+2, 1)^\mathrm{T}, \alpha_4 = (1, 2, 4, a+8)^\mathrm{T} $， \( \beta = (1, 1, b+3, 5)^\mathrm{T} $。
(1) 当 ( a, b $取何值时，\( \beta$ 不能用 ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 $线性表示？ (2) 当 \( a, b$ 取何值时，( \beta $可用 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 唯一线性表示？

题目解答
构造增广矩阵 ( (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \mid \beta) $ 并进行初等行变换：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 & 4 & b+3 \\ 3 & 5 & 1 & a+8 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & a+1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 & a+1 & 0 \end{bmatrix}.\]

(1) 当 ( a+1 = 0 $且 \( b \neq 0$ 时，( \mathrm{r}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 2 $，而 \( \mathrm{r}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \beta) = 3 $，故 ( \beta $不能用 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表示。
(2) 当 ( a+1 \neq 0 $时（\( b$ 任意），( \mathrm{r}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \mathrm{r}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \beta) = 4 $，故 \( \beta $ 可用 ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 $ 唯一线性表示。

例题2

题目内容
设 ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $线性无关，且 \( \beta_1 = \alpha_1 + t\alpha_2, \beta_2 = \alpha_2 + 2t\alpha_3, \beta_3 = \alpha_3 + 4t\alpha_1$。
若 ( \beta_1, \beta_2, \beta_3 $线性相关，求实数 \( t$。

题目解答
记 ( A = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) C $，其中

\[C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4t \\ t & 1 & 0 \\ 0 & 2t & 1 \end{bmatrix}.\]

由于 ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $线性无关，\( \mathrm{r}(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = \mathrm{r}(C)$。
( \beta_1, \beta_2, \beta_3 $线性相关当且仅当 \( |C| = 0$。计算：

\[|C| = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2t) - 0 + 4t \cdot (t \cdot 2t - 1 \cdot 0) = 1 + 8t^3.\]

令 ( 1 + 8t^3 = 0 $，得 \( t = -\frac{1}{2} $。

例题3

题目内容
设 ( A $是 \( n$ 阶矩阵，( \alpha_0 \neq 0 $满足 \( A\alpha_0 = 0$，且 ( A\alpha_1 = \alpha_0 $，\( A^2\alpha_2 = \alpha_0 $。
证明：( \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2 $ 线性无关。

题目解答
设 ( c_1\alpha_0 + c_2\alpha_1 + c_3\alpha_2 = 0 $。左乘 \( A $ 得：( c_2\alpha_0 + c_3A\alpha_2 = 0 $。左乘 \( A $ 再次得：( c_3\alpha_0 = 0 $。由于 \( \alpha_0 \neq 0 $，有 ( c_3 = 0 $。代入得 \( c_2\alpha_0 = 0 $，故 ( c_2 = 0 $。再代入得 \( c_1\alpha_0 = 0 $，故 ( c_1 = 0 $。因此 \( \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2 $ 线性无关。

例题4

题目内容
设 ( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s $线性无关，且 \( \beta$ 可用 ( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s $线性表示，但不可用 \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s-1}$ 线性表示。
证明：
(1) ( \alpha_s $不可用 \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s-1}$ 线性表示；
(2) ( \alpha_s $可用 \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s-1}, \beta$ 线性表示。

题目解答
(1) 反证法：若 ( \alpha_s $可用 \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s-1}$ 线性表示，则 ( \beta $也可用 \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{s-1}$ 线性表示，矛盾。
(2) 设 ( \beta = k_1\alpha_1 + \dots + k_s\alpha_s $，其中 \( k_s \neq 0 $（否则 ( \beta $可用 \( \alpha_1, \dots, \alpha_{s-1}$ 表示）。
则 ( \alpha_s = -\frac{k_1}{k_s}\alpha_1 - \dots - \frac{k_{s-1}}{k_s}\alpha_{s-1} + \frac{1}{k_s}\beta $，即 \( \alpha_s $ 可用 ( \alpha_1, \dots, \alpha_{s-1}, \beta $ 线性表示。

例题5

题目内容
设 ( A $是 \( m \times n$ 实矩阵，证明：( \mathrm{r}(A^\mathrm{T}A) = \mathrm{r}(A) $。

题目解答
考虑方程组 ( A^\mathrm{T}AX = 0 $和 \( AX = 0$。
若 ( AX = 0 $，则 \( A^\mathrm{T}AX = 0 $。
若 ( A^\mathrm{T}AX = 0 $，则 \( X^\mathrm{T}A^\mathrm{T}AX = 0 $，即 ( |AX|^2 = 0 $，故 \( AX = 0 $。
因此两方程组同解，其解空间维数相同，故 ( \mathrm{r}(A^\mathrm{T}A) = \mathrm{r}(A) $。

例题6

题目内容
设 ( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s $ 是一组两两正交的非零实向量，证明它们线性无关。

题目解答
设 ( c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \dots + c_s\alpha_s = 0 $。对每个 \( i $，取内积 ( (\alpha_i, c_1\alpha_1 + \dots + c_s\alpha_s) = c_i|\alpha_i|^2 = 0 $。由于 \( \|\alpha_i\| \neq 0 $，得 ( c_i = 0 $。故 \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s $ 线性无关。

例题7

题目内容
设 ( V $是 \( \mathbb{R}^n$ 的子空间，( \dim V = k $，且 \( \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k $ 是 ( V $的一个规范正交基。若 \( \alpha, \beta \in V$ 在此基下的坐标分别为 ( \gamma_1, \gamma_2 $，证明： (1) \( (\alpha, \beta) = (\gamma_1, \gamma_2) $；
(2) ( |\alpha| = |\gamma_1| $。

题目解答
(1) 设 ( \gamma_1 = (c_1, c_2, \dots, c_k)^\mathrm{T} $，\( \gamma_2 = (d_1, d_2, \dots, d_k)^\mathrm{T} $，则

\[\alpha = c_1\eta_1 + \dots + c_k\eta_k, \quad \beta = d_1\eta_1 + \dots + d_k\eta_k.\]

由于 ( \eta_1, \dots, \eta_k $ 规范正交，

\[(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^k c_id_i = (\gamma_1, \gamma_2).\]

例题8

题目内容
设 ( A $是 \( n$ 阶实矩阵，且 ( A^\mathrm{T} = A^* $（伴随矩阵）。证明：\( A $ 是正交矩阵。

题目解答
由 ( A^\mathrm{T} = A^* $得 \( AA^\mathrm{T} = AA^* = |A|E$。
由于 ( A \neq 0 $，存在 \( a_{ij} \neq 0 $，则 ( AA^\mathrm{T} $的 \( (i,i)$ 位元素 ( |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 > 0 $。取行列式：\( |A|^2 = |A|^n $，即 ( |A|^{n-2} = 1 $。由 \( |A| > 0 $ 得 ( |A| = 1 $，故 \( AA^\mathrm{T} = E $，即 ( A $ 是正交矩阵。

例题9

题目内容
设 ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $是 \( \mathbb{R}^3$ 的基，求从基 ( \alpha_1, \frac{\alpha_2}{2}, \frac{\alpha_3}{3} $到基 \( \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 + \alpha_1$ 的过渡矩阵。

题目解答
新基向量用旧基表示为：

\[\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha_1 + 2\cdot\frac{\alpha_2}{2}, \alpha_2 + \alpha_3 = 2\cdot\frac{\alpha_2}{2} + 3\cdot\frac{\alpha_3}{3}, \alpha_3 + \alpha_1 = \alpha_1 + 3\cdot\frac{\alpha_3}{3}.\]

故过渡矩阵为

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{bmatrix}.\]

例题10

题目内容
设 ( \alpha_1 = (1,2,-1,0)^\mathrm{T}, \alpha_2 = (1,1,0,2)^\mathrm{T}, \alpha_3 = (2,1,1,a)^\mathrm{T} $。若 \( L(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) $ 的维数为 2，求 ( a $。

题目解答
维数为 2 即 ( \mathrm{r}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = 2 $。
构造矩阵并化简：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & a \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & a-6 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.\]

故 ( a - 6 = 0 $，即 \( a = 6 $。