五、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法
（一）幂指数函数 \(f(x)^{g(x)}\) 的求导数（微分）法
设 \(f(x) > 0, f(x), g(x)\) 均可导，求幂指函数 \(f(x)^{g(x)}\) 的导数，通常用下面两种方法：
方法 \(1^{\circ}\) 将 \(f(x)^{g(x)}\) 表成 \(\mathrm{e}^{g(x)\ln f(x)}\) 后求导。
对 \(f(x)^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\ln f(x)}\) 用复合函数求导法及导数的四则运算法则可得
\[\begin{aligned} \left[ f(x)^{g(x)} \right]' &= \left[ \mathrm{e}^{g(x)\ln f(x)} \right]' = \mathrm{e}^{g(x)\ln f(x)} \left[ g(x)\ln f(x) \right]' \\ &= f(x)^{g(x)} \left[ g'(x)\ln f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)} \right]. \end{aligned}\]方法 \(2^{\circ}\) 对数求导法。
对 \(y = f(x)^{g(x)}\) 两边取对数，有 \(\ln y = g(x)\ln f(x)\)。两边对 \(x\) 求导并注意 \(y\) 是 \(x\) 的函数，得
\[\frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)},\]因此 \(y' = f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right]\)。
用对数求导法求连乘积的导数或微分常常是方便的。如：
\[y = f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x),\]先取绝对值再取对数得
\[\ln |y| = \ln |f_1(x)| + \ln |f_2(x)| + \dots + \ln |f_n(x)|.\]设 \(f_i(x)\) 可导 \((i = 1,2,\dots ,n)\)，求导（注意 \((\ln |x|)' = \frac{1}{x}\)）得
\[\frac{1}{y} y' = \frac{f_1'(x)}{f_1(x)} + \dots + \frac{f_n'(x)}{f_n(x)}, \quad \text{即} \quad y' = y \left[ \frac{f_1'(x)}{f_1(x)} + \dots + \frac{f_n'(x)}{f_n(x)} \right].\]【例2.8】 设 \(y = (1 + x^2)^{\arctan x}\)，求 \(y'\)
【解】 将函数化为 \(y = \mathrm{e}^{\arctan x \ln (1 + x^2)}\)，然后对 \(x\) 求导即得
\[y' = (1 + x^2)^{\arctan x} [\arctan x \ln (1 + x^2)]' = (1 + x^2)^{\arctan x} \left[ \frac{\ln (1 + x^2)}{1 + x^2} + \frac{2x \arctan x}{1 + x^2} \right].\]（二）反函数的求导法
【定理2.5】 设 \(y = f(x)\) 在区间 \(I_x\) 内可导且 \(f'(x)\neq 0\)，值域为区间 \(I_y\)，则 \(y = f(x)\) 的反函数 \(x = \varphi(y)\) 在 \(I_y\) 可导且 \(\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)。
【例2.9】 设 \(y = f(x)\) 可导，且 \(y'\neq 0\)
（I）若已知 \(y = f(x)\) 的反函数 \(x = \varphi(y)\) 可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式；
（Ⅱ）若又设 \(y = f(x)\) 二阶可导，则 \(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2} = \_\)
【分析】（I）设 \(y = f(x)\) 的反函数是 \(x = \varphi(y)\)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由 \(y = f(\varphi(y))\)，两边对 \(y\) 求导得
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} (y) = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}y} = f'(x) \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \Leftrightarrow 1 = f'(x) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}.\]因此 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{y'}\)。
（Ⅱ）\(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{1}{y'}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{y'}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = -\frac{y''}{y'^2}\cdot \frac{1}{y'} = -\frac{y''}{y'^3}\)。
评注 由 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{y'}\) 求 \(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2}\) 时必须牢记 \(\frac{1}{y'}\) 是以 \(x\) 为变量的函数，而其中的 \(x\) 又是 \(y\) 的函数，因而将 \(\frac{1}{y'}\) 对 \(y\) 求导时，应将 \(\frac{1}{y'}\) 中的 \(x\) 看作中间变量，然后使用复合函数求导法则。
（三）由参数方程确定的函数的求导法
给定参数方程 \(x = \varphi(t), y = \psi(t), t\in\) 区间 \(I\)
（1）若 \(x = \varphi(t)\) 是区间 \(I\) 上的单调函数，则它存在反函数记为 \(t = \varphi^*(x)\)，参数方程确定了 \(y\) 是 \(x\) 的函数 \(y = \psi[\varphi^*(x)]\)，定义域是 \(x = \varphi(t)\) 在区间 \(I\) 上的值域 \(X\)；
（2）又设 \(\varphi(t), \psi(t)\) 在区间 \(I\) 上连续，则 \(y = \psi[\varphi^*(x)]\) 在 \(X\) 上连续；
（3）再设 \(\varphi(t),\psi(t)\) 在 \(t\in I\) 可导且 \(\varphi'(t)\neq 0\)，则 \(y = \psi[\varphi^*(x)]\) 在对应点 \(x = \varphi(t)\) 可导且
由复合函数求导法则及反函数求导公式可导出：\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)。若 \(\varphi(t),\psi(t)\) 在 \(t\in I\) 二阶可导，可进一步求得二阶导数，即
\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right] \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi'^3(t)}.\]【例2.10】 设 \(\begin{cases} x = a\cos^3 t, \\ y = a\sin^3 t, \end{cases}\) \(a\) 为常数，求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)
【解】 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{3a\sin^2t\cos t}{3a\cos^2t(-\sin t)} = -\tan t\) 或 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}\)。
继续对 \(x\) 求导，并注意 \(t\) 是 \(x\) 的函数，得
\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (-\tan t) = -(\tan t)' \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\cos^2 t} \cdot \frac{1}{x_t'} = \frac{1}{3a\cos^4 t \sin t}.\]评注 常犯的错误是 \(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = (-\tan t)' = -\sec^2 t\)。
（四）隐函数微分法
设有二元方程 \(F(x, y) = 0\)（如 \(x^2 + y^2 = 1, x - y + \frac{1}{2} \sin y = 0\)），若在区间 \(I\) 上存在函数 \(y = y(x)\) 满足 \(F(x, y(x)) = 0\)，则称这个函数 \(y = y(x)\) 为方程 \(F(x, y) = 0\) 在区间 \(I\) 上确定的隐函数。
求由方程 \(F(x,y) = 0\)（或 \(f(x,y) = g(x,y)\)）确定的隐函数 \(y = y(x)\) 的导数或微分常用下列方法：
方法 \(1^{\circ}\) 将方程两端同时对自变量（如 \(x\)）求导，在求导过程中，自始至终把另一变量（如 \(y\)）视为 \(x\) 的函数 \((y = y(x))\)，由复合函数求导法导出 \(y'\) 满足的方程，然后解出 \(y'\)，同时也求出 \(\mathrm{d}y = y'(x)\mathrm{d}x\)；
方法 \(2^{\circ}\) 将方程两边同时微分，由微分四则运算法则及一阶微分形式不变性，可得 \(\mathrm{d}x\) 与 \(\mathrm{d}y\) 关系式，并写成 \(f(x,y)\mathrm{d}y = g(x,y)\mathrm{d}x\) 的形式，即可求出 \(\mathrm{d}y = \frac{g(x,y)}{f(x,y)}\mathrm{d}x, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{g(x,y)}{f(x,y)}\)；
方法 \(3^{\circ}\) 代公式。利用多元函数复合函数求导法，导出由二元方程 \(F(x, y) = 0\) 确定的隐函数 \(y = y(x)\) 的导数公式 \(y'(x) = -\frac{F_x'}{F_y'}\)，然后代此公式求出 \(y'(x)\)，也就求出 \(\mathrm{d}y = y'(x) \mathrm{d}x\)。
此外，作为代数方程如能解出 \(y = y(x)\)，则可化为显函数求出 \(y'\)。
将上述求出的 \(y'\) 的表达式或 \(y'\) 满足的方程再对 \(x\) 求导，由复合函数求导法可求得 \(y''\)。
【例2.11】（I）设函数 \(y = y(x)\) 由方程 \(\sin (x^2 + y^2) + e^x - xy^2 = 0\) 所确定，求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)
（Ⅱ）设函数 \(y = f(x + y)\)，其中 \(f\) 具有二阶导数，且 \(f' \neq 1\)，求 \(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)。
【解】（I）方法 \(1^{\circ}\) 将原方程两边直接对 \(x\) 求导数，并注意 \(y\) 是 \(x\) 的函数，然后解出 \(y'\) 即可。由
\[(2x + 2y \cdot y') \cos (x^2 + y^2) + e^x - y^2 - 2xy \cdot y' = 0,\]得 \(y' = \frac{y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)}{2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy}\)。
方法 \(2^{\circ}\) 将方程 \(\sin (x^2 + y^2) + \mathrm{e}^{x} - xy^2 = 0\) 两边同时求微分得
\[\cos (x^2 + y^2) (2x\mathrm{d}x + 2y\mathrm{d}y) + e^x \mathrm{d}x - y^2 \mathrm{d}x - 2xy \mathrm{d}y = 0,\]解得 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)}{2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy}\)。
方法 \(3^{\circ}\) 代公式
由 \(F(x,y) = 0, F(x,y) = \sin (x^2 + y^2) + \mathrm{e}^{x} - xy^2\)，代公式得
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\partial F}{\partial x} / \frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{2x \cos (x^2 + y^2) + e^x - y^2}{2y \cos (x^2 + y^2) - 2xy}.\]（Ⅱ）\(y = y(x)\) 由方程 \(f(x + y) - y = 0\) 确定，\(f\) 为抽象函数，若把 \(f(x + y)\) 看成 \(f(u)\)，而 \(u = x + y\)，\(y = y(x)\)，则变成复合函数和隐函数的求导问题。注意，\(f(x + y)\) 及其导函数 \(f'(x + y)\) 均是 \(x\) 的复合函数。
将 \(y = f(x + y)\) 两边对 \(x\) 求导，并注意 \(y\) 是 \(x\) 的函数，\(f\) 是关于 \(x\) 的复合函数，有
\[y' = f' \cdot (1 + y'), \quad \text{即} \quad y' = \frac{f'}{1 - f'} \quad (\text{其中} f' = f'(x + y)).\]又由 \(y' = (1 + y')f'\) 再对 \(x\) 求导，并注意 \(y'\) 是 \(x\) 的函数，\(f'\) 即 \(f'(x + y)\) 仍然是关于 \(x\) 的复合函数，有
\[\begin{aligned} y'' &= (1 + y')' f' + (1 + y') (f')_x' \\ &= y'' f' + (1 + y') f'' \cdot (1 + y') = y'' f' + (1 + y')^2 f'', \end{aligned}\]将 \(y' = \frac{f'}{1 - f'}\) 代入并解出 \(y''\) 即得
\[y'' = \frac{(1 + y')^2 f''}{1 - f'} = \frac{f''}{(1 - f')^3} \quad (\text{其中} f' = f'(x + y), f'' = f''(x + y)).\]或直接由 \(y' = \frac{f'}{1 - f'}\) 再对 \(x\) 求导，同样可求得 \(y'' = \frac{f''}{(1 - f')^3}\)。
评注 \([f'(x + y)]_x' \neq f''(x + y)\)，而应是 \([f'(x + y)]_x' = f''(x + y) \cdot (1 + y')\)。
（五）变限积分的求导法（详见第三章之一、（三）及题型十二）
练习题
例题1
求函数 \(y = x^{\sin x}\) 的导数。
解答
使用对数求导法。
设 \(y = x^{\sin x}\)，取对数得
两边对 \(x\) 求导：
\[\frac{1}{y} y' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x},\]所以
\[y' = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right).\]例题2
设 \(y = f(x)\) 二阶可导，且 \(f'(x) \neq 0\)，其反函数为 \(x = \varphi(y)\)。求 \(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} y^2}\)。
解答
由反函数求导公式：
对 \(y\) 再次求导：
\[\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} y^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \left( \frac{1}{y'} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{y'} \right) \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} = -\frac{y''}{(y')^2} \cdot \frac{1}{y'} = -\frac{y''}{(y')^3}.\]例题3
设参数方程
\[\begin{cases} x = e^t \cos t, \\ y = e^t \sin t, \end{cases}\]求 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) 和 \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}\)。
解答
计算导数：
所以
\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{y'}{x'} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}.\]对 \(x\) 求二阶导：
\[\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \right) \cdot \frac{1}{x'}.\]先计算
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \right) = \frac{(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2}{(\cos t - \sin t)^2} = \frac{2}{(\cos t - \sin t)^2},\]代入得
\[\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = \frac{2}{(\cos t - \sin t)^2} \cdot \frac{1}{e^t (\cos t - \sin t)} = \frac{2}{e^t (\cos t - \sin t)^3}.\]例题4
设函数 \(y = y(x)\) 由方程 \(x^2 + y^2 = 1\) 确定，求 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) 和 \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}\)。
解答
对方程两边求导：
再次求导：
\[y'' = -\frac{y - x y'}{y^2} = -\frac{y - x (-\frac{x}{y})}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3} = -\frac{1}{y^3}.\]例题5
设函数 \(y = y(x)\) 由方程 \(y = f(x + y)\) 确定，其中 \(f\) 二阶可导且 \(f' \neq 1\)。求 \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}\)。
解答
两边对 \(x\) 求导：
再次求导：
\[y'' = \frac{(1 + y')^2 f''}{1 - f'} = \frac{f''}{(1 - f')^3},\]其中 \(f' = f'(x + y), \, f'' = f''(x + y)\)。