四、平面方程、直线方程
（一）平面方程
1. 平面方程的基本形式
（1）点法式 \(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\) （7.14）
（2）一般式 \(Ax + By + Cz + D = 0\) （\(A, B, C\) 不全为零）
（3）向量式 \(r - r_0 = t_1U_1 + t_2U_2\)，其中 \(r_0 = \overrightarrow{OM}, r = \overrightarrow{OP}, P\) 是平面 \(\Pi\) 上任一点
（4）参数式
\[\left\{ \begin{array}{l} x = X_1t_1 + X_2t_2 + x_0,\\ y = Y_1t_1 + Y_2t_2 + y_0,\\ z = Z_1t_1 + Z_2t_2 + z_0. \end{array} \right.\]2. 确定平面方程的两个基本思路
（1）如已知平面 \(\varPi\) 上一点 \(M(x_0,y_0,z_0)\) 以及平面 \(\varPi\) 的法向量 \(\pmb {n} = \{A,B,C\}\)，则平面 \(\varPi\) 被完全确定，它的方程是（7.14）
（2）如已知平面 \(\varPi\) 上一点 \(M(x_0,y_0,z_0)\) 以及与平面 \(\varPi\) 平行的两个不共线的向量 \(U_{1} = \{X_{1},Y_{1},Z_{1}\}, U_{2} = \{X_{2},Y_{2},Z_{2}\}\)，则平面 \(\varPi\) 被完全确定，它的方程是
\[\left| \begin{array}{ccc} x - x_{0} & y - y_{0} & z - z_{0} \\ X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\ X_{2} & Y_{2} & Z_{2} \end{array} \right| = 0. \tag{7.11}\]【注】如 \(P(x,y,z)\) 是平面上任一点，那么 \(\overrightarrow{MP}, U_1, U_2\) 共面，因此混合积 \((\overrightarrow{MP}, U_1, U_2) = 0\)，即有（7.11）。利用（7.11）建立平面方程是重要的。
（二）直线方程
1. 直线方程的基本形式
（1）一般式（交面式）
\[\left\{ \begin{array}{l} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0, \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0, \end{array} \right.\]其中 \(\{A_{1}, B_{1}, C_{1}\}\) 与 \(\{A_{2}, B_{2}, C_{2}\}\) 不平行（7.15）
（2）参数式
\[\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + tl,\\ y = y_0 + tm,\\ z = z_0 + tn; \end{array} \right.\]（3）对称式（标准式）
\[\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}\]2. 确定直线方程的两个基本思路
（1）两个不平行的平面相交于一条直线，如（7.15）
（2）已知直线 \(L\) 上一点 \(M(x_0, y_0, z_0)\) 以及直线 \(L\) 的方向向量 \(S = \{l, m, n\}\) 可确定直线 \(L\)，它的方程是（7.16）或（7.17）
例题
【例7.4】（Ⅰ）经过点 \(P(1,2, -1)\) 并且与直线 \(L\)：
\[\left\{ \begin{array}{l} x = -t + 2,\\ y = 3t - 4,\\ z = t - 1 \end{array} \right.\]垂直的平面 \(\varPi_1\) 的方程是；（Ⅱ）经过点 \(P\) 及直线 \(L\) 的平面 \(\varPi_2\) 的方程是
【分析】（Ⅰ）由于 \(L \perp \Pi_1, L\) 的方向向量 \(S = \{-1, 3, 1\}\) 就是平面 \(\Pi_1\) 的法向量，那么由点法式得 \(\Pi_1\) 的方程是 \(-(x - 1) + 3(y - 2) + (z + 1) = 0\)，即 \(x - 3y - z + 4 = 0\)。
（Ⅱ）点 \(M(2, -4, -1)\) 在直线 \(L\) 上，因而点 \(M\) 是平面 \(\Pi_2\) 上的一点，于是 \(\overrightarrow{PM} = \{1, -6, 0\}\) 与 \(S\) 是平面 \(\Pi_2\) 上的两个不平行的向量，设 \(Q(x, y, z)\) 是平面 \(\Pi_2\) 上的任一点，则 \(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PM}, S\) 共面，利用（7.11）有
\[\left| \begin{array}{ccc} {x - 1} & {y - 2} & {z + 1} \\ {1} & {-6} & {0} \\ {-1} & {3} & {1} \end{array} \right| = 0, \text{即} \quad 6x + y + 3z - 5 = 0.\]【例7.5】（Ⅰ）经过点 \(P(2, -3, 1)\) 且与平面 \(\Pi: 3x + y + 5z + 6 = 0\) 垂直的直线 \(L_{1}\) 的方程是 ______；（Ⅱ）经过点 \(P\) 且与直线 \(L: \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z + 2}{5}\) 垂直相交的直线 \(L_{2}\) 的方程是 ______。
【分析】（Ⅰ）由于 \(L_{1} \perp \Pi\)，平面 \(\Pi\) 的法向量 \(n = \{3, 1, 5\}\) 就是 \(L_{1}\) 的方向向量 \(S\)，故有
\[\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{5}.\]（Ⅱ）因 \(L_{2}\) 与 \(L\) 垂直相交，所以直线 \(L_{2}\) 在经过 \(P\) 点且以 \(L\) 的方向向量 \(\{3,4,5\}\) 为法向量的平面 \(\Pi_{1}\) 上，则有
\[\varPi_{1}: \quad 3(x - 2) + 4(y + 3) + 5(z - 1) = 0, \text{即} 3x + 4y + 5z + 1 = 0.\]同时，\(L_{2}\) 在经过 \(P\) 点且经过直线 \(L\) 的平面 \(\Pi_2\) 上，于是有
\[\varPi_{2}: \quad \left| \begin{array}{ccc} {{x - 1}} & {{y}} & {{z + 2}} \\ {{3}} & {{4}} & {{5}} \\ {{1}} & {{-3}} & {{3}} \end{array} \right| = 0, \text{即} \quad 27x - 4y - 13z - 53 = 0.\]故所求 \(L_{2}\) 的方程是
\[\left\{ \begin{array}{l} 3x + 4y + 5z + 1 = 0,\\ 27x - 4y - 13z - 53 = 0. \end{array} \right.\]评注
这两个例题是建立平面、直线方程时所采用的最基本也是最重要的方法，考生应仔细体会。
练习题
例题1
已知平面Π过点M(1, -2, 3)且法向量为n = {2, -1, 4}，求该平面的点法式方程和一般式方程。
解答
由点法式方程：
2(x - 1) + (-1)(y + 2) + 4(z - 3) = 0
整理得一般式：
2x - y + 4z - 16 = 0
例题2
求过点P(2, 1, -1)且与向量U₁ = {1, 0, 2}、U₂ = {3, 1, -1}平行的平面方程。
解答
利用混合积公式：
计算行列式：
(x - 2)(0·(-1) - 2·1) - (y - 1)(1·(-1) - 2·3) + (z + 1)(1·1 - 0·3)
= (x - 2)(-2) - (y - 1)(-7) + (z + 1)(1)
= -2x + 4 + 7y - 7 + z + 1
= -2x + 7y + z - 2 = 0
即平面方程为：2x - 7y - z + 2 = 0
例题3
求过点Q(0, 1, 2)且方向向量为S = {2, -1, 3}的直线参数式、对称式方程。
解答
参数式：
对称式：
\[\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{3}\]例题4
求过点R(1, 0, -1)且与平面Π: x - 2y + 3z + 5 = 0垂直的直线方程。
解答
平面法向量n = {1, -2, 3}即为直线方向向量，
由对称式得：
例题5
求过点A(1, 2, -1)且与直线L:
\[\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3t - 1 \\ z = t + 2 \end{cases}\]垂直的平面方程。
解答
直线L的方向向量S = {-1, 3, 1}即为所求平面的法向量，
由点法式：
-1(x - 1) + 3(y - 2) + 1(z + 1) = 0
整理得：-x + 3y + z - 4 = 0
即x - 3y - z + 4 = 0
例题6
求过点B(2, -1, 3)且与直线L:
\[\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z}{3}\]垂直相交的直线方程。
解答
设所求直线为L₂。
L的方向向量S = {2, -1, 3}
先求过B且以S为法向量的平面Π₁：
2(x - 2) + (-1)(y + 1) + 3(z - 3) = 0
即2x - y + 3z - 14 = 0
再求过B和直线L的平面Π₂：
直线L上取点M(1, -2, 0)，则向量BM = {-1, -1, -3}
由混合积：
计算得：-6(x - 2) + 3(y + 1) + 3(z - 3) = 0
即-6x + 3y + 3z + 6 = 0，化简得2x - y - z - 2 = 0
L₂为Π₁与Π₂的交线：
\[\begin{cases} 2x - y + 3z - 14 = 0 \\ 2x - y - z - 2 = 0 \end{cases}\]