二、向量组的线性相关性
刻画向量组的内在关系的性质。
1. 意义与定义
意义：线性相关性是描述向量组内在关系的概念。
- 如果向量组 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 中有向量可以用其他的 \(s - 1\) 个向量线性表示，就说 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性相关。
- 如果向量组 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 中每个向量都不可用其他的 \(s - 1\) 个向量线性表示，就说 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性无关。
【定义3.1】 如果存在不全为0的一组数 \(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{s}\) 使得
\[c_{1} \alpha_{1} + c_{2} \alpha_{2} + \dots + c_{s} \alpha_{s} = 0,\]则说 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性相关，否则就说它们线性无关。（即要使得 \(c_{1}\pmb{\alpha}_{1} + c_{2}\pmb{\alpha}_{2} + \dots +c_{s}\pmb{\alpha}_{s} = \mathbf{0}\)，必须 \(c_{1},c_{2},\dots ,c_{s}\) 全为0。）
【注】 意义和定义是一致的，它们给出了对线性相关性从两个不同角度的认识。
【定理3.1】 令 \(A = (\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s})\)，则
\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性相关（无关） \(\Leftrightarrow\) 齐次方程组 \(AX = 0\) 有非零解（无非零解）。
2. 性质
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一个向量 \(\alpha\)（个数 \(s = 1\)）线性相关 \(\Leftrightarrow \alpha = 0\)。
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两个向量相关 \(\Leftrightarrow\) 它们的分量对应成比例。
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线性无关向量组的每个部分组都无关。
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若向量的个数 \(s\) 等于维数 \(n\)，则：
\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}\) 线性相关 \(\Leftrightarrow |\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}| = 0\)。
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当向量的个数 \(s\) 大于维数 \(n\) 时，\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 一定线性相关。
3. 与线性表示的关系
【定理3.2】 如果 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性无关，则：
\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}, \beta\) 线性相（无）关 \(\Leftrightarrow \beta\)（不）可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示。
【定理3.3】 如果 \(\beta\) 可用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示，则：
表示方式唯一 \(\Leftrightarrow \alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性无关。
练习题
例题1
判断下列向量组的线性相关性：
(1) 向量组 \(\alpha_1 = (1, 0, 0), \alpha_2 = (0, 1, 0), \alpha_3 = (0, 0, 1)\)
(2) 向量组 \(\beta_1 = (1, 2, 3), \beta_2 = (2, 4, 6), \beta_3 = (1, 1, 1)\)
解答
(1) 考虑齐次方程组 \(AX = 0\)，其中 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\) 是单位矩阵。由于 \(|A| = 1 \neq 0\)，方程组只有零解，因此 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关。
(2) 注意到 \(\beta_2 = 2\beta_1\)，即 \(\beta_2\) 可由 \(\beta_1\) 线性表示。根据线性相关的定义，存在不全为零的系数 \(c_1, c_2, c_3\)（例如 \(c_1 = 2, c_2 = -1, c_3 = 0\)）使得 \(2\beta_1 - \beta_2 + 0\cdot\beta_3 = 0\)，因此 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 线性相关。
例题2
设 \(\alpha_1 = (1, 1, 0), \alpha_2 = (0, 1, 1), \alpha_3 = (1, 0, 1)\)，判断 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 是否线性相关，并说明理由。
解答
构造矩阵 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\)，计算行列式：
由于行列式不为零，根据性质（4），\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关。
例题3
已知向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关，且 \(\beta = 2\alpha_1 - \alpha_2 + 3\alpha_3\)。判断向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta\) 的线性相关性。
解答
由定理3.2，若 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关，则 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta\) 线性相关当且仅当 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示。
已知 \(\beta = 2\alpha_1 - \alpha_2 + 3\alpha_3\)，即 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示，因此 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta\) 线性相关。
例题4
设 \(\alpha_1 = (1, 2), \alpha_2 = (3, 4), \alpha_3 = (5, 6)\)。证明 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性相关，并找出一个非零线性组合使得 \(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + c_3\alpha_3 = 0\)。
解答
由于向量个数 \(s = 3\) 大于维数 \(n = 2\)，根据性质（5），\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 一定线性相关。
设 \(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + c_3\alpha_3 = 0\)，即：
解方程组：
\[\begin{cases} c_1 + 3c_2 + 5c_3 = 0 \\ 2c_1 + 4c_2 + 6c_3 = 0 \end{cases}\]两式相减得 \(c_1 + c_2 + c_3 = 0\)，令 \(c_3 = 1\)，则 \(c_1 + c_2 = -1\)，代入第一式得 \(c_1 + 3c_2 = -5\)，解得 \(c_2 = -2, c_1 = 1\)。
因此，\(1\cdot\alpha_1 - 2\cdot\alpha_2 + 1\cdot\alpha_3 = 0\)，即非零组合为 \((1, -2, 1)\)。
例题5
若 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 唯一线性表示，证明 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关。
解答
根据定理3.3，若 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示，且表示方式唯一，则 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关。
假设 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性相关，则存在不全为零的 \(k_1, k_2, k_3\) 使得 \(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0\)。
若 \(\beta = l_1\alpha_1 + l_2\alpha_2 + l_3\alpha_3\)，则 \(\beta = (l_1 + k_1)\alpha_1 + (l_2 + k_2)\alpha_2 + (l_3 + k_3)\alpha_3\) 也是另一种表示，与唯一性矛盾。
因此 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关。