第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算

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练习题

例题1

设函数 \(f(x) = x^2 + 3x - 1\)，求 \(f(x)\) 在点 \(x = 2\) 处的导数。

解答
首先，利用导数的定义或基本求导公式。函数 \(f(x) = x^2 + 3x - 1\) 的导数为：

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(1) = 2x + 3\]

在点 \(x = 2\) 处，代入得：

\[f'(2) = 2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7\]

因此，\(f(x)\) 在 \(x = 2\) 处的导数为 7。

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例题2

设函数 \(g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}\)，求 \(g(x)\) 的微分 \(dg\)。

解答
首先，求 \(g(x)\) 的导数。函数 \(g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} = x^{1/2} + x^{-1}\)，应用幂函数求导法则：

\[g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}\]

根据微分的定义，\(dg = g'(x) \, dx\)，因此：

\[dg = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \right) dx\]

这给出了函数 \(g(x)\) 的微分表达式。

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例题3

设函数 \(h(x) = \sin(x) \cdot e^x\)，求 \(h(x)\) 的导数。

解答
函数 \(h(x) = \sin(x) \cdot e^x\) 是两个函数的乘积，应用乘积法则：

\[h'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x)] \cdot e^x + \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}[e^x]\]

已知 \(\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)\) 和 \(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)，代入得：

\[h'(x) = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x = e^x (\cos(x) + \sin(x))\]

因此，\(h(x)\) 的导数为 \(e^x (\cos(x) + \sin(x))\)。

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例题4

设函数 \(y = \ln(x^2 + 1)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解答
这是一个复合函数，外函数为 \(\ln(u)\)，内函数为 \(u = x^2 + 1\)。应用链式法则：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}[\ln(u)] \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)\]

计算 \(\frac{du}{dx} = 2x\)，并代入 \(u = x^2 + 1\)，得：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}\]

因此，导数为 \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)。

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例题5

设函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)，求 \(f(x)\) 的极值点。

解答
首先，求一阶导数：

\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\]

令 \(f'(x) = 0\) 解临界点：

\[3x^2 - 12x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-1)(x-3) = 0\]

解得临界点 \(x = 1\) 和 \(x = 3\)。
接下来，求二阶导数以判断极值类型：

\[f''(x) = 6x - 12\]

在 \(x = 1\) 处，\(f''(1) = 6 \times 1 - 12 = -6 < 0\)，故为局部极大值点。
在 \(x = 3\) 处，\(f''(3) = 6 \times 3 - 12 = 6 > 0\)，故为局部极小值点。
因此，\(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处有局部极大值，在 \(x = 3\) 处有局部极小值。