一、线性表示

设 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 是一个 \(n\) 维向量组。

1. 向量的线性表示

\(n\) 维向量 \(\pmb{\beta}\) 可用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示，即存在数组 \(c_{1},c_{2},\dots ,c_{s}\) 使得

\[c _ {1} \alpha_ {1} + c _ {2} \alpha_ {2} + \dots + c _ {s} \alpha_ {s} = \boldsymbol {\beta}.\]

线性表示问题和线性方程组解的情况的判断问题有直接的关系：

方程组 \(AX = \beta\) 有解 \(\Leftrightarrow \beta\) 可用 \(A\) 的列向量组线性表示。

【例3.1】 设 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 是一个 \(n\) 维向量组，\(\beta\) 和 \(\gamma\) 也都是 \(n\) 维向量。判断下列命题的正确性。

如果 \(\beta, \gamma\) 都可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，则 \(\beta + \gamma\) 也可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示。
如果 \(\beta, \gamma\) 都不可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，则 \(\beta + \gamma\) 也不可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示。
如果 \(\beta\) 可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，而 \(\gamma\) 不可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，则 \(\beta + \gamma\) 可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示。
如果 \(\beta\) 可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，而 \(\gamma\) 不可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，则 \(\beta + \gamma\) 不可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示。

【解】 正确的是 \(①\) 和 \(④\)，\(②\) 和 \(③\) 都不对。

\(①\) 显然。
\(②\) 不对，可用一个反例说明。

取 \(\beta\) 不可用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示，\(\gamma = -\beta\)，则 \(\gamma\) 也不可用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示，但是 \(\beta +\gamma = 0\) 是可用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示。

用反证法说明 \(③\) 不对 \(④\) 对。如果 \(\beta + \gamma\) 可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，则因为 \(\beta\) 可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，所以 \(\gamma = (\beta + \gamma) - \beta\) 也可用 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{s}\) 线性表示，与条件矛盾。

2. 向量组的线性表示

\(n\) 维向量组 \(\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{t}\) 可以用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示，即 \(\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{t}\) 中的每一个向量都可以用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示。

向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系：乘积矩阵 \(AB\) 的列向量组可以用 \(\mathbf{A}\) 的列向量组线性表示，而 \(AB\) 的行向量组可以用 \(\pmb{B}\) 的行向量组线性表示。

反过来，如果向量组 \(\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{s}\) 可以用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示，则矩阵 \((\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{t})\) 可分解为矩阵 \((\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s})\) 和一个矩阵 \(C\) 的乘积。（\(C\) 这样构造：它的第 \(i\) 个列向量就是 \(\beta_{i}\) 对 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 的分解系数。）称 \(C\) 为 \(\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{t}\) 对 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 的表示矩阵。（\(C\) 不一定是唯一的，唯一的充分必要条件是 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性无关。）

向量组的线性表示关系有传递性，即如果向量组 \(\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{t}\) 可以用 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}\) 线性表示，而 \(\alpha_{1}\) \(\alpha_{2},\dots ,\alpha_{r}\) 可以用 \(\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r\) 线性表示，则 \(\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{t}\) 可以用 \(\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r\) 线性表示。

3. 向量组的等价

当向量组 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\) 和 \(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\) 互相都可以表示时，就说它们等价，并记作 \(\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\} \cong \{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\}\)。

等价关系也有传递性。

【例3.2】 设 \(AB = C\)，证明：

（1）如果 \(\pmb{B}\) 是可逆矩阵，则 \(A\) 的列向量组和 \(C\) 的列向量组等价。
（2）如果 \(A\) 是可逆矩阵，则 \(\pmb{B}\) 的行向量组和 \(\pmb{C}\) 的行向量组等价。

【证明】

（1）由上面的说明，\(C\) 的列向量组可以用 \(\mathbf{A}\) 的列向量组线性表示。当 \(\pmb{B}\) 是可逆矩阵时，有 \(CB^{-1} = A\)，于是 \(\mathbf{A}\) 的列向量组又可以用 \(C\) 的列向量组线性表示。

（2）\(C\) 的行向量组可以用 \(\pmb{B}\) 的行向量组线性表示。当 \(\pmb{A}\) 是可逆矩阵时，\(A^{-1}C = B\)，于是 \(\pmb{B}\) 的行向量组又可以用 \(\pmb{C}\) 的行向量组线性表示。

【例3.3】

（1）如果矩阵 \(\mathbf{A}\) 用初等列变换化为 \(\pmb{B}\)，则 \(\mathbf{A}\) 的列向量组和 \(\pmb{B}\) 的列向量组等价。
（2）如果矩阵 \(A\) 用初等行变换化为 \(\pmb{B}\)，则 \(\mathbf{A}\) 的行向量组和 \(\pmb{B}\) 的行向量组等价。

【证明】

（1）利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵 \(\mathbf{A}\) 用初等列变换化为 \(\pmb{B}\) 时，存在一系列初等矩阵 \(P_{1}, P_{2}, \dots, P_{s}\)，使得

\[A P _ {1} P _ {2} \dots P _ {s} = B.\]

由于 \(P_{1}P_{2}\dots P_{s}\) 是可逆矩阵，于是用【例3.2】的（1），\(\pmb{A}\) 的列向量组和 \(\pmb{B}\) 的列向量组等价。

（2）当矩阵 \(A\) 用初等行变换化为 \(\pmb{B}\) 时，存在一系列初等矩阵 \(P_{1}, P_{2}, \dots, P_{s}\)，使得

\[P _ {s} \dots P _ {2} P _ {1} A = B.\]

由于 \(P_{s} \dots P_{2} P_{1}\) 是可逆矩阵，于是用【例3.2】的（2），\(A\) 的行向量组和 \(B\) 的行向量组等价。

评注：此例的结果很有用（例如可推出矩阵的初等变换保持秩不变），因此其结论应该作为性质记住。

练习题

例题1

设 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量组，其中 \(\alpha_1 = (1,0,0)\), \(\alpha_2 = (0,1,0)\), \(\alpha_3 = (1,1,0)\)。向量 \(\beta = (2,3,0)\) 和 \(\gamma = (1,1,1)\)。判断下列命题是否正确，并说明理由：

\(\beta\) 可用 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示。
\(\gamma\) 可用 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示。
\(\beta + \gamma\) 可用 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示。

解答

正确。因为 \(\beta = (2,3,0) = 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + 0\cdot\alpha_3\)，所以 \(\beta\) 可用 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示。
错误。因为 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 的第三个分量均为0，而 \(\gamma\) 的第三个分量为1，无法通过线性组合得到非零的第三个分量。
错误。因为 \(\beta + \gamma = (3,4,1)\)，其第三个分量为1，而 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 的第三个分量均为0，无法线性表示出非零的第三个分量。

例题2

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，且 \(C = AB\)。证明：\(C\) 的列向量组可用 \(A\) 的列向量组线性表示，并写出表示矩阵。

解答由矩阵乘法的定义，\(C = A \cdot B\)，因此 \(C\) 的每一列是 \(A\) 的列向量的线性组合，组合系数由 \(B\) 的对应列给出。具体地：

\(C\) 的第一列为 \(A \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix}\)。
\(C\) 的第二列为 \(A \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)。因此，\(C\) 的列向量组可用 \(A\) 的列向量组线性表示，表示矩阵为 \(B\)。

例题3

设向量组 \(\alpha_1 = (1,1,0)\), \(\alpha_2 = (0,1,1)\), \(\beta_1 = (2,3,1)\), \(\beta_2 = (1,2,2)\)。已知 \(\beta_1, \beta_2\) 可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示，且 \(\alpha_1, \alpha_2\) 可用 \(\gamma_1 = (1,0,0)\), \(\gamma_2 = (0,1,0)\) 线性表示。证明：\(\beta_1, \beta_2\) 可用 \(\gamma_1, \gamma_2\) 线性表示。

解答由线性表示的传递性，若 \(\beta_1, \beta_2\) 可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示，且 \(\alpha_1, \alpha_2\) 可用 \(\gamma_1, \gamma_2\) 线性表示，则 \(\beta_1, \beta_2\) 可用 \(\gamma_1, \gamma_2\) 线性表示。具体验证：

\(\alpha_1 = (1,1,0) = 1\cdot\gamma_1 + 1\cdot\gamma_2\)，\(\alpha_2 = (0,1,1) = 0\cdot\gamma_1 + 1\cdot\gamma_2 + 1\cdot\gamma_3\)（但 \(\gamma_3\) 未定义，此处仅说明思路）。实际上，由于 \(\alpha_1, \alpha_2\) 均可由 \(\gamma_1, \gamma_2\) 线性表示（在适当扩展维度下），且 \(\beta_1, \beta_2\) 可由 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示，根据传递性，结论成立。

例题4

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)，通过初等行变换将 \(A\) 化为行最简形 \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)。证明：\(A\) 的行向量组与 \(B\) 的行向量组等价。

解答由例3.3，若矩阵 \(A\) 经初等行变换化为 \(B\)，则存在可逆矩阵 \(P\) 使得 \(PA = B\)。因此，\(B\) 的行向量组可由 \(A\) 的行向量组线性表示（通过 \(P\)），且 \(A = P^{-1}B\)，故 \(A\) 的行向量组也可由 \(B\) 的行向量组线性表示。所以 \(A\) 的行向量组与 \(B\) 的行向量组等价。

例题5

设 \(\alpha_1 = (1,0)\), \(\alpha_2 = (0,1)\)，向量 \(\beta = (2,3)\)，\(\gamma = (4,5)\)。判断下列命题是否正确：

若 \(\beta\) 和 \(\gamma\) 均可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示，则 \(\beta - \gamma\) 也可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示。
若 \(\beta\) 不可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示，则 \(2\beta\) 也不可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示。

解答

正确。因为 \(\beta = 2\alpha_1 + 3\alpha_2\)，\(\gamma = 4\alpha_1 + 5\alpha_2\)，则 \(\beta - \gamma = (-2)\alpha_1 + (-2)\alpha_2\)，故可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示。
错误。反例：取 \(\alpha_1 = (1,0)\), \(\alpha_2 = (0,1)\)，\(\beta = (1,1)\) 显然可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示，但若修改为 \(\beta = (0,0)\)，则 \(2\beta = (0,0)\) 可用 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性表示（零向量可由任意向量组线性表示）。原命题假设 \(\beta\) 不可用，但零向量总可被表示，故命题不成立。