八、伴随矩阵
1. 定义
【定义2.2】 若 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵，记 \(A_{ij}\) 是 \((i,j)\) 位元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式，规定 \(A\) 的伴随矩阵为
\[\boldsymbol{A}^* = \left[ \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{array} \right] = (A_{ij})^{\mathrm{T}}.\]2. 基本公式
基本公式：\(AA^{*} = A^{*}A = |A|E\) (2.3)
3. 可逆矩阵的伴随矩阵
对于可逆矩阵 \(A\)，有
\[A^{*} = |A|A^{-1}. \tag{2.4}\]【注1】 (2.3) 和 (2.4) 是解题中处理伴随矩阵问题的两个最有效的工具。
【注2】 (2.4) 式可改写为 \(A^{-1} = \frac{A^{*}}{|A|}\)，这就产生了求 \(A^{-1}\) 的伴随矩阵法。
【注3】 从 (2.3) 和 (2.4) 式可得到 \((A^{*})^{-1} = \frac{A}{|A|} = (A^{-1})^{*}\)
4. 伴随矩阵的性质
伴随矩阵还有下面性质：
\[\left|\boldsymbol{A}^{*}\right| = \left|\boldsymbol{A}\right|^{n-1}, \quad \left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*} = \left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}};\] \[(cA)^{*} = c^{n-1}A^{*};\] \[(AB)^{*} = B^{*}A^{*};\] \[\left(\boldsymbol{A}^{k}\right)^{*} = \left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{k}; \quad \left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*} = \left|\boldsymbol{A}\right|^{n-2}\boldsymbol{A}.\]它们都曾作为考核内容在考题中出现过，特别是 \(|A^{*}| = |A|^{n-1}\)，多次成为考点。
考题型及其解题方法与技巧
矩阵的乘法是线性代数的重要基础，是考试的重点之一。并且这部分内容丰富，概念多，因此考题形式的变化也多。
本部分的计算题集中在两个方面：
- 乘法的定义和性质（如求 \(n\) 阶矩阵的方幂等）
- 求逆矩阵和解矩阵方程。这是出现较多的题型
本部分还有许多概念检测题，其中涉及初等矩阵和伴随矩阵的较多。
证明题多数是有关可逆性的判断或矩阵恒等式的验证的。证明题题型变化多端，下面所举例题不能涵盖全部可能的题型，但它们有代表性。请注意它们的解题思路和方法，从中得到启示，提高解这类题的能力。
题型一 有关乘法定义和规律的题
【例2.2】
（1）证明两个上三角矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的乘积 \(AB\) 还是上三角矩阵；并且 \(AB\) 对角线元素就是 \(A\) 和 \(B\) 对应对角线元素的乘积。
（2）证明上三角矩阵 \(A\) 的方幂 \(A^k\) 与多项式 \(f(A)\) 也都是上三角矩阵；并且 \(A^k\) 的对角线元素为 \(a_{11}^k, a_{22}^k, \dots, a_{nn}^k\)；\(f(A)\) 的对角线元素为 \(f(a_{11}), f(a_{22}), \dots, f(a_{nn})\)。
（\(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}\) 是 \(A\) 的对角线元素。）
【证明】
（1）方法一 设 \(A\) 和 \(B\) 都是 \(n\) 阶上三角矩阵，\(C = AB\)，要说明 \(C\) 的对角线下的元素都为0，即 \(i > j\) 时，\(c_{ij} = 0\)。\(c_{ij} = A\) 的第 \(i\) 个行向量和 \(B\) 的第 \(j\) 个列向量对应分量乘积之和。由于 \(A\) 和 \(B\) 都是 \(n\) 阶上三角矩阵，\(A\) 的第 \(i\) 个行向量的前面 \(i-1\) 个分量都是 \(0\)，\(B\) 的第 \(j\) 个列向量的后面 \(n-j\) 个分量都是0，而 \(i-1 + n-j = n + (i-j-1) \geqslant n\)，因此 \(c_{ij} = 0\)。
\[\begin{aligned} c_{ii} &= a_{i1}b_{1i} + \dots + a_{ii-1}b_{i-1i} + a_{ii}b_{ii} + a_{ii+1}b_{i+1i} + \dots + a_{in}b_{ni} \\ &= a_{ii}b_{ii} \quad (a_{i1} = \dots = a_{ii-1} = 0, b_{i+1i} = \dots = b_{ni} = 0). \end{aligned}\]方法二 设 \(A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}), B = (\beta_{1}, \beta_{2}, \dots, \beta_{n}), C = (\gamma_{1}, \gamma_{2}, \dots, \gamma_{n})\)。要证明每个 \(\gamma_{i}\) 下面的 \(n-i\) 个分量都是0。
由 (2.1)，\(\pmb{\gamma}_{i} = \pmb{A}\pmb{\beta}_{i}\) 而 \(\pmb{\beta}_{i}\) 的下面 \(n-i\) 个分量都是0，于是用 (2.2)
\[\gamma_{i} = b_{1i}\alpha_{1} + b_{2i}\alpha_{2} + \dots + b_{ii}\alpha_{i}.\]因为 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{i}\) 的下面 \(n-i\) 个分量都是0，所以 \(\gamma_{i}\) 的下面 \(n-i\) 个分量也都是0。
并且 \(\gamma_{i}\) 的第 \(i\) 个分量是（\(C\) 的一个对角线元素）
\[c_{ii} = b_{1i}a_{i1} + b_{2i}a_{i2} + \dots + b_{ii}a_{ii} = a_{ii}b_{ii}.\]（因为 \(a_{i1} = a_{i2} = \dots = a_{ii-1} = 0\)）
（2）设 \(A\) 是上三角矩阵，由 (1)，直接可得 \(A^k\) 是上三角矩阵，并且对角线元素为 \(a_{11}^k, a_{22}^k, \dots, a_{nn}^k\)。
设 \(f(A) = a_{m}A^{m} + a_{m-1}A^{m-1} + \dots + a_{1}A + a_{0}E\)。\(a_iA^i\) 都是上三角矩阵，作为它们的和，\(f(A)\) 也是上三角矩阵。\(f(A)\) 的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是 \(f(a_{11}),f(a_{22}),\dots,f(a_{nn})\)。
评注 这个例题给出了上三角矩阵的有用结论。
【例2.3】
\(n\) 维向量 \(\alpha = (a,0,\dots,0,a)^{\mathrm{T}}, a < 0, A = E - \alpha \alpha^{\mathrm{T}}, A^{-1} = E + a^{-1}\alpha \alpha^{\mathrm{T}}\)，求 \(a\)
【解】
\((\pmb{E} - \pmb{\alpha}\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}})(\pmb{E} + a^{-1}\pmb{\alpha}\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}) = \pmb{E}\)
\[\begin{aligned} &\boldsymbol{E} + a^{-1}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} - a^{-1}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{E} \\ &a^{-1}\alpha\alpha^{T} - \alpha\alpha^{T} - a^{-1}\alpha\alpha^{T}\alpha\alpha^{T} = 0, \quad (\alpha^{T}\alpha = 2a^{2}) \\ &(a^{-1} - 1 - 2a)\alpha\alpha^{\mathrm{T}} = 0, \end{aligned}\]\(a^{-1} - 1 - 2a = 0\)，（因为 \(\alpha \alpha^{\mathrm{T}}\) 不是零矩阵）
\[1 - a - 2a^{2} = 0, \quad a = -1.\]评注 本例和例3,4的关键都是：当 \(\alpha ,\beta\) 都是 \(n\) 维列向量时，\(\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\pmb{\beta}(\theta = \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha})\) 是数，可前移，从而简化计算式。
相关例题
\(n\) 维向量 \(\alpha = (1/2,0,\dots,0,1/2)^{\mathrm{T}}, A = E - \alpha \alpha^{\mathrm{T}}, B = E + 2\alpha \alpha^{\mathrm{T}}\)，求 \(AB\)。
答案：E。
【例2.4】
\(A = E - \alpha \beta^{\mathrm{T}}\)，其中 \(\alpha ,\beta\) 都是 \(n\) 维非零列向量，已知 \(A^2 = 3E - 2A\)，求 \(\alpha^{\mathrm{T}}\beta\)
【解】
\(A^2 = 3E - 2A\)
\[\begin{aligned} &\boldsymbol{A}^{2} + 2\boldsymbol{A} - 3\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}, \\ &(\boldsymbol{A} + 3\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) = \boldsymbol{0}, \\ &(4E - \alpha\boldsymbol{\beta}^{T})(-\alpha\boldsymbol{\beta}^{T}) = \mathbf{0}, \end{aligned}\]\(4\alpha \pmb{\beta}^{\mathrm{T}} - \alpha \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha}\pmb{\beta}^{\mathrm{T}} = \mathbf{0},\) (\(\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha}\) 是数！)
\((4 - \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha})\pmb{\alpha}\pmb{\beta}^{\mathrm{T}} = \mathbf{0},\) （由于 \(\pmb{\alpha},\pmb{\beta}\) 都是非零列向量，\(\pmb{\alpha}\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\) 不是零矩阵）
\(\Rightarrow 4 - \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha} = 0, \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha} = 4\)，从而 \(\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\pmb{\beta} = \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha} = 4\)
【例2.5】
设 \(A = \alpha \beta^{\mathrm{T}}\)，其中 \(\pmb{\alpha}\) 和 \(\pmb{\beta}\) 都是 \(n\) 维列向量，证明对正整数 \(k\)
\[\boldsymbol{A}^{k} = \left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}\right)^{k-1}\boldsymbol{A} = (\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}))^{k-1}\boldsymbol{A}.\](\(\operatorname{tr}(A)\) 是 \(A\) 的对角线上元素之和，称为 \(A\) 的迹数。)
【证明】
\(A^{k} = (\alpha \pmb{\beta}^{\mathrm{T}})^{k} = \alpha \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha}\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\dots \pmb{\alpha}\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha}\pmb{\beta}^{\mathrm{T}} = \alpha (\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha})(\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha})\dots (\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha})\pmb{\beta}^{\mathrm{T}} = (\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha})^{k-1}\pmb{A}.\)
\(\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \dots + a_{n}b_{n}\)，而 \(a_1b_1,a_2b_2,\dots,a_nb_n\) 正好是 \(A = \alpha \pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\) 的对角线上各元素，于是 \(\pmb{\beta}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha} = \operatorname{tr}(A)\)
\[\boldsymbol{A}^{k} = (\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}))^{k-1}\boldsymbol{A}.\]评注 一个 \(n\) 阶矩阵 \(\mathbf{A}\) 可写成 \({\mathbf{\alpha}}^{\mathrm{T}}\) 的形式的充分必要条件为 \(\mathrm{r}\left(\mathrm{A}\right) \leq 1\)。（参见第三章有关例题）
【例2.6】
\(\pmb{\alpha}\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}} = \left[ \begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right],\) 求 \(\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha}\)
【解】
方法一 从例2.5的证明中知道 \(\alpha^{\mathrm{T}}\alpha = \operatorname{tr}(\alpha \alpha^{\mathrm{T}}) = 3\)
方法二 求出 \(\pmb{\alpha}\)，容易看出 \(\pmb{\alpha} = (1, -1, 1)^{\mathrm{T}}\) 适合要求，得 \(\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha} = 3\)。
方法三 利用例2.5结果，\((\pmb{\alpha}\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}})^{2} = (\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha})\pmb{\alpha}\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\)，计算
\[\left(\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)^{2} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & -3 & 3 \\ -3 & 3 & -3 \\ 3 & -3 & 3 \end{array} \right] = 3\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}},\]得 \(\pmb{\alpha}^{\mathrm{T}}\pmb{\alpha} = 3\)
【例2.7】
设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)，求 \(A^n\)
【解】
\(A\) 的秩为2，不符合例2.5注的条件，不能用例2.5的方法直接求 \(A\) 的方幂。我们先求 \(A^2\)
\[\boldsymbol{A}^{2} = \left[ \begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{lll} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array} \right] = 2\boldsymbol{A}.\]\(A^2 = 2A\) 即 \(AA = 2A\)，\(A\) 在乘 \(A\) 上的作用相当于2乘 \(A\)，于是
\[\boldsymbol{A}^{n} = \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{A} = 2^{n-1}\boldsymbol{A}.\]评注 求 \(n\) 阶矩阵方幂的一种思路：先求低次方幂，用其推导高次方幂，但只适用于部分矩阵。
【例2.8】
求 \(\left[ \begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right]^{2017}\)
【解】
记此矩阵为 \(A\)：
\[\begin{aligned} \boldsymbol{A}^{2} &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right] \\ \boldsymbol{A}^{3} &= \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & --- # 练习题 根据文档内容，我生成了以下涵盖伴随矩阵、矩阵乘法、逆矩阵、矩阵方程等核心概念的例题： ### 例题1 **题目内容** 设3阶矩阵A满足$|A|=2$，求$|A^*|$和$|(A^*)^*|$。 **题目解答** 由伴随矩阵性质：$|A^*| = |A|^{n-1}$ 当$n=3$时，$|A^*| = |A|^{3-1} = 2^2 = 4$ 又由性质：$(A^*)^* = |A|^{n-2}A$ 当$n=3$时，$(A^*)^* = |A|^{3-2}A = |A|A = 2A$ 所以$|(A^*)^*| = |2A| = 2^3|A| = 8×2 = 16$ --- ### 例题2 **题目内容** 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$的伴随矩阵法。 **题目解答** 计算$|A| = 1×4-2×3 = -2$ 计算代数余子式： $A_{11}=4, A_{12}=-3, A_{21}=-2, A_{22}=1$ 伴随矩阵： $A^* = \begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$ 由公式$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$得： $A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$ --- ### 例题3 **题目内容** 设$A$是3阶可逆矩阵，且$A^2=2A$，求$|A^*|$。 **题目解答** 由$A^2=2A$得$A(A-2E)=0$ 由于$A$可逆，用$A^{-1}$左乘得：$A-2E=0$，即$A=2E$ 所以$|A| = |2E| = 2^3 = 8$ 由$|A^*| = |A|^{n-1}$得： $|A^*| = 8^{3-1} = 8^2 = 64$ --- ### 例题4 **题目内容** 设$A,B$都是3阶矩阵，且$|A|=3, |B|=2$，求$|AB|^*$。 **题目解答** 由$|AB| = |A||B| = 3×2 = 6$ 由伴随矩阵性质：$|M^*| = |M|^{n-1}$ 当$n=3$时，$|(AB)^*| = |AB|^{3-1} = 6^2 = 36$ --- ### 例题5 **题目内容** 设$A$是3阶矩阵，且$AA^*=2E$，求$|A|$。 **题目解答** 由基本公式$AA^* = |A|E$ 已知$AA^* = 2E$，所以$|A|E = 2E$ 比较得$|A| = 2$ --- ### 例题6 **题目内容** 设$A$是$n$阶可逆矩阵，证明：$(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*$ **题目解答** 由$A^* = |A|A^{-1}$得： $(A^*)^{-1} = (|A|A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}A$ 又$(A^{-1})^* = |A^{-1}|(A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}A$ 所以$(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*$ --- ### 例题7 **题目内容** 设$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}$，求$A^n$。 **题目解答** 先计算$A^2$： $A^2 = \begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&0&2\\0&4&0\\2&0&2\end{bmatrix} = 2A$ 由$A^2=2A$，用数学归纳法可得： $A^n = 2^{n-1}A$ --- ### 例题8 **题目内容** 设$\alpha=(1,-1,1)^T$，求$\alpha\alpha^T$和$\alpha^T\alpha$。 **题目解答** $\alpha\alpha^T = \begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{bmatrix}$ $\alpha^T\alpha = \begin{bmatrix}1&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix} = 1+1+1 = 3$ 验证：$tr(\alpha\alpha^T) = 1+1+1 = 3 = \alpha^T\alpha$ --- 这些例题涵盖了伴随矩阵的定义、基本公式、性质应用，以及相关的矩阵运算技巧，难度从基础到提高都有涉及。\]