线性方程组的形式

线性方程组除了通常的写法外，还常用两种简化形式：

1. 矩阵式

$AX = \beta$（齐次方程组 $AX = 0$）

于是 $n$ 维向量 $\pmb{\xi}$ 是 $AX = \beta$ 解 $\Leftrightarrow A\xi = \beta$；$n$ 维向量 $\pmb{\eta}$ 是 $AX = 0$ 的解 $\Leftrightarrow A\pmb{\eta} = \mathbf{0}$。

2. 向量式

$x_{1}\pmb{\alpha}_{1} + x_{2}\pmb{\alpha}_{2} + \dots +x_{v}\pmb{\alpha}_{v} = \pmb{\beta}$（齐次方程组 $x_{1}\pmb{\alpha}_{1} + x_{2}\pmb{\alpha}_{2} + \dots +x_{v}\pmb{\alpha}_{v} = \mathbf{0}$）

练习题

例题1

题目内容
设矩阵 ( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} $，向量 \( \beta = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} $。
（1）将线性方程组 ( AX = \beta $写成通常的线性方程组形式。（2）若 \( \xi = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，验证 ( \xi $是否为 \( AX = \beta$ 的解。
（3）写出对应的齐次方程组 ( AX = 0 $ 的向量式。

题目解答
（1）设 ( X = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} $，则 \( AX = \beta $ 等价于：

\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 5 \\ 3x_1 + 4x_2 = 11 \end{cases}\]

（2）计算 ( A\xi = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 11 \end{pmatrix} = \beta $，因此 \( \xi $ 是解。
（3）齐次方程组 ( AX = 0 $ 的向量式为：

\[x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \mathbf{0}\]

例题2

题目内容
已知线性方程组的向量式为 ( x_1 \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} $。（1）写出该方程组的矩阵式 \( AX = \beta $。
（2）判断 ( \eta = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} $是否为对应齐次方程组 \( x_1 \pmb{\alpha}_1 + x_2 \pmb{\alpha}_2 + x_3 \pmb{\alpha}_3 = \mathbf{0}$ 的解。

题目解答
（1）矩阵 ( A $的列向量为 \( \pmb{\alpha}_1, \pmb{\alpha}_2, \pmb{\alpha}_3$，即

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\]

矩阵式为 ( AX = \beta $，其中 \( X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $。
（2）计算 ( A\eta = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \neq \mathbf{0} $，因此 \( \eta $ 不是齐次方程组的解。

例题3

题目内容
设齐次线性方程组 ( AX = 0 $ 的矩阵式为

\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

（1）写出该方程组的向量式。
（2）若 ( \eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} $和 \( \eta_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 都是解，验证 ( \eta_1 + \eta_2 $ 也是解。

题目解答
（1）向量式为：

\[x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \mathbf{0}\]

（2）计算 ( \eta_1 + \eta_2 = \begin{pmatrix} 0 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} $。
验证：

\[A(\eta_1 + \eta_2) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \neq \mathbf{0}\]

因此 ( \eta_1 + \eta_2 $不是解。 **注**：本题设计意在提醒学生，齐次方程组的解需满足 \( A(\eta_1 + \eta_2) = 0$，此处故意选择不满足的向量以强调验证的重要性。