九、多元函数微分学的几何应用
（一）空间曲面的切平面与法线
1. 用隐式方程表示的曲面
若空间曲面 \(S\) 的方程为 \(F(x,y,z) = 0\)，\(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 是 \(S\) 上的一点，则 \(S\) 在 \(M_0\) 点的切平面方程为
\[\frac {\partial F (M _ {0})}{\partial x} \left(x - x _ {0}\right) + \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial y} \left(y - y _ {0}\right) + \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial z} \left(z - z _ {0}\right) = 0;\]曲面在该点的法线方程为 \(\frac{x - x_0}{\frac{\partial F(M_0)}{\partial x}} = \frac{y - y_0}{\frac{\partial F(M_0)}{\partial y}} = \frac{z - z_0}{\frac{\partial F(M_0)}{\partial z}}\)，
其中 \(F(x,y,z)\) 在 \(M_0\) 点处有连续偏导数且 \(\left[\frac{\partial F(M_0)}{\partial x}\right]^2 +\left[\frac{\partial F(M_0)}{\partial y}\right]^2 +\left[\frac{\partial F(M_0)}{\partial z}\right]^2\neq 0\)。
这里 \(S\) 在 \(M_0\) 点处的法向量是 \(\mathbf{grad}F(M_0) = \left(\frac{\partial F(M_0)}{\partial x},\frac{\partial F(M_0)}{\partial y},\frac{\partial F(M_0)}{\partial z}\right)\)。
2. 用显式方程表示的曲面
若空间曲面 \(S\) 的方程为 \(z = f(x,y)\)，\(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 是 \(S\) 上的一点，\(z_0 = f(x_0,y_0)\)，则曲面 \(S\) 在 \(M_0\) 的切平面方程为 \(z - z_0 = f_x'(x_0,y_0)(x - x_0) + f_y'(x_0,y_0)(y - y_0)\)；
曲面在该点的法线方程为 \(\frac{x - x_0}{f_x'(x_0,y_0)} = \frac{y - y_0}{f_y'(x_0,y_0)} = \frac{z - z_0}{-1}\)
其中 \(z = f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 有连续偏导数。这里 \(S\) 在 \(M_0\) 的法向量为 \(\pm (-f_x'(x_0,y_0), - f_y'(x_0,y_0), 1)\)；
单位法向量为 \(\pmb{n} = \frac{\pm(-f_x'(x_0,y_0), - f_y'(x_0,y_0),1)}{\sqrt{1 + f_x'^2(x_0,y_0) + f_y'^2(x_0,y_0)}} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\)。
这里 \(\alpha, \beta, \gamma\) 分别是法向量 \(n\) 与 \(x, y, z\) 轴正向的夹角，\(n\) 的表达式中正负号的选取取决于 \(\gamma\) 是锐角还是钝角，即法向量是朝上还是朝下。朝上取正号，朝下取负号。
【例8.14】 设有曲面 \(S: \frac{x^2}{2} + y^2 + \frac{z^2}{4} = 1\)，平面 \(\Pi: 2x + 2y + z + 5 = 0\)。
（I）在曲面 \(S\) 上求平行于平面 \(\varPi\) 的切平面方程；（Ⅱ）求曲面 \(S\) 与平面 \(\varPi\) 之间的最短距离。
【解】（I）先写出曲面 \(S\) 上任意点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处的切平面方程。
记 \(S\) 的方程为 \(F(x,y,z) = 0\)，\(F(x,y,z) = \frac{x^2}{2} + y^2 + \frac{z^2}{4} - 1\)，则 \(S\) 上点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面方程为 \(F_x'(M_0)(x - x_0) + F_y'(M_0)(y - y_0) + F_z'(M_0)(z - z_0) = 0\)，
其中 \(F_{x}^{\prime}(M_0) = x_0\)，\(F_{y}^{\prime}(M_0) = 2y_0\)，\(F_{z}^{\prime}(M_0) = \frac{1}{2} z_0\)
该切平面与平面 \(\varPi\) 平行 \(\Leftrightarrow\) 它们的法向量共线即成比例 \(\frac{x_0}{2} = \frac{2y_0}{2} = \frac{\frac{1}{2}z_0}{1} = \lambda\)，且
\[2 x _ {0} + 2 y _ {0} + z _ {0} + 5 \neq 0。\]因为 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 在 \(S\) 上，所以它满足方程
\[\frac {1}{2} x _ {0} ^ {2} + y _ {0} ^ {2} + \frac {1}{4} z _ {0} ^ {2} = \frac {1}{2} (2 \lambda) ^ {2} + \lambda^ {2} + \frac {1}{4} (2 \lambda) ^ {2} = 1,\]即 \(4\lambda^2 = 1, \lambda = \pm \frac{1}{2}\)。于是，\((x_0, y_0, z_0) = \pm \left(1, \frac{1}{2}, 1\right)\)。显然，\((x_0, y_0, z_0)\) 不在平面 \(\Pi\) 上。
相应的切平面方程是
\[(x - 1) + \left(y - \frac {1}{2}\right) + \frac {1}{2} (z - 1) = 0,\] \[- (x + 1) - \left(y + \frac {1}{2}\right) - \frac {1}{2} (z + 1) = 0,\]即 \(x + y + \frac{1}{2} z - 2 = 0\)，
\[x + y + \frac {1}{2} z + 2 = 0。\]这就是曲面 \(S\) 上平行于平面 \(\Pi\) 的切平面方程。
（Ⅱ）椭球面 \(S\) 是夹在上述两个切平面之间，故曲面 \(S\) 上切点到平面 \(\varPi\) 的距离最短或最长。
\[d _ {1} = \frac {\left| 2 \times 1 + 2 \times \frac {1}{2} + 1 + 5 \right|}{\sqrt {2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 1}} = 3, d _ {2} = \frac {\left| 2 \times (- 1) + 2 \times \left(- \frac {1}{2}\right) - 1 + 5 \right|}{3} = \frac {1}{3}。\]因此，曲面 \(S\) 到平面 \(\varPi\) 的最短距离为 \(d_2 = \frac{1}{3}\)。
（二）空间曲线的切线与法平面
1. 用参数方程表示的空间曲线
若空间曲线 \(\Gamma\) 的参数方程为 \(x = x(t), y = y(t), z = z(t) (\alpha \leqslant t \leqslant \beta)\)，又 \(M_0(x_0, y_0, z_0) = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))\) 是 \(\Gamma\) 上的一点，则 \(\Gamma\) 在点 \(M_0\) 的切线方程为
\[\frac {x - x _ {0}}{x ^ {\prime} \left(t _ {0}\right)} = \frac {y - y _ {0}}{y ^ {\prime} \left(t _ {0}\right)} = \frac {z - z _ {0}}{z ^ {\prime} \left(t _ {0}\right)},\]法平面方程为 \(x^{\prime}(t_0)(x - x_0) + y^{\prime}(t_0)(y - y_0) + z^{\prime}(t_0)(z - z_0) = 0\)，其中 \(x(t),y(t),z(t)\) 在 \(t = t_0\) 可导且 \(x^{\prime 2}(t_0) + y^{\prime 2}(t_0) + z^{\prime 2}(t_0)\neq 0,(x^{\prime}(t_0),y^{\prime}(t_0),z^{\prime}(t_0))\) 为 \(\varGamma\) 在点 \(M_0\) 的切向量。
2. 作为两曲面交线的空间曲线
若空间曲线 \(\Gamma\) 的一般方程为 \(\left\{ \begin{array}{l} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0, \end{array} \right.\) \(M_0\) 是 \(\Gamma\) 上的一点，则 \(\Gamma\) 在点 \(M_0\) 的切线方程为
\[\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial x} (x - x _ {0}) + \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial y} (y - y _ {0}) + \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial z} (z - z _ {0}) = 0, \\ \frac {\partial G (M _ {0})}{\partial x} (x - x _ {0}) + \frac {\partial G (M _ {0})}{\partial y} (y - y _ {0}) + \frac {\partial G (M _ {0})}{\partial z} (z - z _ {0}) = 0, \end{array} \right.\]或 \(\frac{x - x_0}{\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_{M_0}} = \frac{y - y_0}{\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\right|_{M_0}} = \frac{z - z_0}{\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\right|_{M_0}}\)，其中 \(\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = \left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{array}\right|\)。
法平面方程为 \(\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_{M_0}(x - x_0) + \left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\right|_{M_0}(y - y_0) + \left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\right|_{M_0}(z - z_0) = 0\)，
其中 \(F(x,y,z),G(x,y,z)\) 在 \(M_0\) 均有连续的偏导数且 \(\mathbf{grad}F(M_0)\times \mathbf{grad}G(M_0)\neq 0\)。这里 \(\varGamma\) 在 \(M_0\) 的切向量是
\[\begin{array}{l} \mathbf {g r a d} F (M _ {0}) \times \mathbf {g r a d} G (M _ {0}) = \left| \begin{array}{c c c} i & j & k \\ \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial x} & \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial y} & \frac {\partial F (M _ {0})}{\partial z} \\ \frac {\partial G (M _ {0})}{\partial x} & \frac {\partial G (M _ {0})}{\partial y} & \frac {\partial G (M _ {0})}{\partial z} \end{array} \right| \\ = \left(\frac {\partial (F , G)}{\partial (y , z)} \Big | _ {M _ {0}}, \frac {\partial (F , G)}{\partial (z , x)} \Big | _ {M _ {0}}, \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , y)} \Big | _ {M _ {0}}\right)。 \\ \end{array}\]【例8.15】 在曲线 \(\left\{ \begin{array}{l}x = t,\\ y = -t^2,\\ z = t^3 \end{array} \right.\) 的所有切线中，与平面 \(x + 2y + z = 4\) 平行的切线
(A) 只有一条。 (B) 只有两条。 (C) 至少有三条。 (D) 不存在。
【分析】 \(\forall t_0\in (-\infty , + \infty)\)，该曲线在点 \(M_0(x(t_0),y(t_0),z(t_0)) = (t_0, - t_0^2,t_0^3)\) 的切线方程为 \(\frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)} = \frac{z - z(t_0)}{z'(t_0)}\) 即 \(\frac{x - t_0}{1} = \frac{y + t_0^2}{-2t_0} = \frac{z - t_0^3}{3t_0^2}\)
该切线与平面 \(x + 2y + z = 4\) 平行的充要条件是，切线的方向向量 \((1, -2t_0, 3t_0^2)\) 与平面的法向量 \((1, 2, 1)\) 垂直，即 \((1, -2t_0, 3t_0^2) \cdot (1, 2, 1) = 1 - 4t_0 + 3t_0^2 = (3t_0 - 1)(t_0 - 1) = 0\)，则 \(t_0 = \frac{1}{3}\) 或 \(t_0 = 1\)，且 \(M_0\) 不在该平面上。因此选（B）。
【例8.16】 求曲线 \(\Gamma : \left\{ \begin{array}{l} x^2 + z^2 = 10, \\ y^2 + z^2 = 10 \end{array} \right.\) 在点 \(M_0(1,1,3)\) 处的切线与法平面方程。
【分析】 关键是求切线的方向向量。这里没给出曲线的参数方程，而是给出曲面的交线方程，曲面的交线的切线与它们的法向均垂直，由此可求出切线的方向向量 \(l\)：
【解】 这两个曲面在点 \(M_0\) 的法向量分别为 \(\left. n_1 = (2x, 0, 2z) \right|_{(1,1,3)} = 2(1,0,3)\)，\(\left. n_2 = (0, 2y, 2z) \right|_{(1,1,3)} = 2(0,1,3)\)。切线的方向向量与它们均垂直，即有
\[l = n _ {1} \times n _ {2} = \left| \begin{array}{c c c} i & j & k \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right| = - 3 i - 3 j + k。\]可取方向向量 \(l = (3, 3, -1)\)，因此切线方程为 \(\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 3}{-1}\)。
法平面方程为 \(3(x - 1) + 3(y - 1) - (z - 3) = 0\)，即 \(3x + 3y - z - 3 = 0\)。
考题型及其解题方法与技巧
题型一 有关多元函数偏导数与全微分概念的问题
1. 已知二元函数的偏导数求二元函数
【例8.17】 设 \(z(x,y)\) 满足
\[\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial z}{\partial x} = - \sin y + \frac {1}{1 - x y}, \\ z (1, y) = \sin y, \end{array} \right. \tag {①}\]求 \(z(x,y)\)
【分析】 实质上这是一元函数的积分问题。当 \(y\) 任意给定时，求 \(z(x, y)\) 就是 \(x\) 的一元函数的积分问题，但求积分后还含有 \(y\) 的任意函数，要由 \(z(1, y)\) 定出这个任意函数。
【解】 把 \(y\) 看作任意给定的常数，将等式 ① 两边对 \(x\) 求积分得
\[z (x, y) = - x \sin y - \frac {1}{y} \ln | 1 - x y | + \varphi (y),\]其中 \(\varphi (y)\) 为待定函数。由 \(②\) 式得 \(-\sin y - \frac{1}{y}\ln |1 - y| + \varphi (y) = \sin y\)
因此，\(z(x,y) = (2 - x)\sin y + \frac{1}{y}\ln \left|\frac{1 - y}{1 - xy}\right|\)。
2. 二元分段函数在分界点处的可微性与偏导数的连续性等问题的讨论
【例8.18】
练习题
根据文档内容，以下是生成的多元函数微分学几何应用的例题：
例题1
题目内容
设曲面 \(S\) 由方程 \(F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0\) 定义，点 \(M_0(1, 1, 2)\) 在曲面 \(S\) 上。
（I）求曲面 \(S\) 在点 \(M_0\) 处的切平面方程。
（II）求曲面 \(S\) 在点 \(M_0\) 处的法线方程。
题目解答
（I）计算梯度：
在点 \(M_0(1, 1, 2)\) 处：
\[\frac{\partial F}{\partial x}(M_0) = 2, \quad \frac{\partial F}{\partial y}(M_0) = 2, \quad \frac{\partial F}{\partial z}(M_0) = -1.\]切平面方程为：
\[2(x - 1) + 2(y - 1) - 1(z - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 2y - z - 2 = 0.\]（II）法线方程为：
\[\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{-1}.\]例题2
题目内容
设曲面 \(S\) 由显式方程 \(z = f(x, y) = x^2 + y^2\) 定义，点 \(M_0(1, 2, 5)\) 在曲面 \(S\) 上。
（I）求曲面 \(S\) 在点 \(M_0\) 处的切平面方程。
（II）求曲面 \(S\) 在点 \(M_0\) 处的法线方程。
题目解答
（I）计算偏导数：
在点 \(M_0(1, 2, 5)\) 处：
\[f_x'(1, 2) = 2, \quad f_y'(1, 2) = 4.\]切平面方程为：
\[z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2) \quad \Rightarrow \quad 2x + 4y - z - 5 = 0.\]（II）法线方程为：
\[\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 5}{-1}.\]例题3
题目内容
设空间曲线 \(\Gamma\) 由参数方程 \(x = t, \, y = t^2, \, z = t^3\) 给出，点 \(M_0(1, 1, 1)\) 对应参数 \(t = 1\)。
（I）求曲线 \(\Gamma\) 在点 \(M_0\) 处的切线方程。
（II）求曲线 \(\Gamma\) 在点 \(M_0\) 处的法平面方程。
题目解答
（I）计算导数：
在 \(t = 1\) 处：
\[x'(1) = 1, \quad y'(1) = 2, \quad z'(1) = 3.\]切线方程为：
\[\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3}.\]（II）法平面方程为：
\[1(x - 1) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 2y + 3z - 6 = 0.\]例题4
题目内容
设空间曲线 \(\Gamma\) 由两曲面交线定义：
点 \(M_0(1, -1, 1)\) 在曲线 \(\Gamma\) 上。
（I）求曲线 \(\Gamma\) 在点 \(M_0\) 处的切线方程。
（II）求曲线 \(\Gamma\) 在点 \(M_0\) 处的法平面方程。
题目解答
（I）计算梯度：
在点 \(M_0(1, -1, 1)\) 处：
\[\nabla F(M_0) = (2, -2, -2), \quad \nabla G(M_0) = (1, 1, 1).\]切向量为：
\[\mathbf{\tau} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0, -4, 4).\]取方向向量 \((0, 1, -1)\)，切线方程为：
\[\frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}.\]（II）法平面方程为：
\[0(x - 1) + 1(y + 1) - 1(z - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad y - z + 2 = 0.\]例题5
题目内容
设曲面 \(S: \frac{x^2}{4} + y^2 + \frac{z^2}{9} = 1\) 与平面 \(\Pi: x + y + z = 0\) 平行。
（I）求曲面 \(S\) 上所有与平面 \(\Pi\) 平行的切平面方程。
（II）求曲面 \(S\) 与平面 \(\Pi\) 之间的最短距离。
题目解答
（I）记 \(F(x, y, z) = \frac{x^2}{4} + y^2 + \frac{z^2}{9} - 1\)，梯度为：
切平面与 \(\Pi\) 平行时，法向量成比例：
\[\frac{x/2}{1} = \frac{2y}{1} = \frac{2z/9}{1} = \lambda \quad \Rightarrow \quad x = 2\lambda, \, y = \frac{\lambda}{2}, \, z = \frac{9\lambda}{2}.\]代入曲面方程：
\[\frac{(2\lambda)^2}{4} + \left( \frac{\lambda}{2} \right)^2 + \frac{(9\lambda/2)^2}{9} = \lambda^2 + \frac{\lambda^2}{4} + \frac{9\lambda^2}{4} = \frac{14\lambda^2}{4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm \frac{\sqrt{14}}{7}.\]对应切点：
\[\left( \frac{2\sqrt{14}}{7}, \frac{\sqrt{14}}{14}, \frac{9\sqrt{14}}{14} \right), \quad \left( -\frac{2\sqrt{14}}{7}, -\frac{\sqrt{14}}{14}, -\frac{9\sqrt{14}}{14} \right).\]切平面方程分别为：
\[x + y + z = \pm \frac{13\sqrt{14}}{14}.\]（II）最短距离为两平行平面间距离：
\[d = \frac{|0 - 13\sqrt{14}/14|}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{42}}{42}.\]这些例题涵盖了文档中的核心概念，包括曲面的切平面与法线、空间曲线的切线与法平面，以及几何应用中的距离计算和方向导数等。题目难度适中，既有基础题也有提高题。