第四章 线性方程组

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练习题

例题1

题目内容
考虑线性方程组：

\[\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 4y - 2z = 2 \\ 3x + 6y - 3z = 3 \end{cases}\]

1. 判断该方程组是否有解。
2. 若有解，求出其通解；若无解，说明理由。

题目解答

1. 将方程组写成增广矩阵形式：

\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & 3 \end{array}\right]\]

通过行变换，第二行减去第一行的2倍，第三行减去第一行的3倍，得到：

\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\]

由于系数矩阵的秩为1，增广矩阵的秩也为1，且秩等于未知数个数（3）中的较小值，因此方程组有解。
2. 通解为：令 ( y = s \(, \( z = t \)（其中 ( s, t \(为任意实数），则 \( x = 1 - 2s + t\)。
通解形式为：

\[(x, y, z) = (1 - 2s + t, s, t), \quad s, t \in \mathbb{R}.\]

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例题2

题目内容
给定线性方程组：

\[\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}\]

1. 使用高斯消元法求解该方程组。
2. 判断该方程组的解是否唯一，并说明理由。

题目解答

1. 增广矩阵为：

\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right]\]

行变换步骤：

• ( R2 \leftarrow R2 - 2R1 $:

\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right]\]

• ( R3 \leftarrow R3 - R1 $:

\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array}\right]\]

• ( R3 \leftarrow R3 + \frac{1}{3}R2 $:

\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & -\frac{7}{3} & -7 \end{array}\right]\]

回代求解：

• ( -\frac{7}{3}z = -7 \Rightarrow z = 3 $
• ( -3y - z = -9 \Rightarrow -3y - 3 = -9 \Rightarrow y = 2 $
• ( x + y + z = 6 \Rightarrow x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1 \( 解为： \( (x, y, z) = (1, 2, 3)\)。

2. 由于系数矩阵的秩等于未知数个数（3），且与增广矩阵的秩相等，因此解唯一。

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例题3

题目内容
考虑齐次线性方程组：

\[\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x - 4y + 6z = 0 \\ 3x - 6y + 9z = 0 \end{cases}\]

1. 求出该方程组的基础解系。
2. 写出通解形式。

题目解答

1. 系数矩阵为：

\[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 6 \\ 3 & -6 & 9 \end{bmatrix}\]

通过行变换，第二行减去第一行的2倍，第三行减去第一行的3倍，得到：

\[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

秩为1，自由变量个数为 ( 3 - 1 = 2 \(。 令 \( y = s \), ( z = t \(，则 \( x = 2s - 3t \)。
基础解系为：

\[\mathbf{v}_1 = (2, 1, 0), \quad \mathbf{v}_2 = (-3, 0, 1).\]

2. 通解为：

\[(x, y, z) = s(2, 1, 0) + t(-3, 0, 1), \quad s, t \in \mathbb{R}.\]

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例题4

题目内容
判断以下命题是否正确，并说明理由：
“若线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组必有唯一解。”

题目解答
命题错误。
理由：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩是方程组有解的充要条件，但解的唯一性还需要系数矩阵的秩等于未知数的个数。如果秩小于未知数个数，则方程组有无穷多解。例如，例题1中秩为1，未知数个数为3，解不唯一。