二、向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。通常用 \(a, b, AB\) 等形式表示向量。在建立空间直角坐标系后，若向量 \(a = \overrightarrow{OM}\)，点 \(M\) 的坐标 \((x, y, z)\) 就称为向量 \(a\) 的坐标，且有向量 \(a = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\)，通常记为 \(\{x, y, z\}\)，其中 \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别为 \(x, y, z\) 轴的正方向上的单位向量，即坐标向量。
起点是坐标原点 \(O\)，终点是 \(P\) 的向量 \(\overrightarrow{OP}\) 称为点 \(P\) 的向径，也常用 \(r, r_0\) 等形式表示。
向量 \(\pmb{a}\) 的大小（长度）称为向量的模，记作 \(|\pmb{a}|\)；模为 1 的向量叫单位向量，模为零的向量叫零向量。
方向相同或相反的向量称为共线向量，平行于同一平面的向量称为共面向量。
从同一点出发的两个非零向量 \(a, b\)，它们所成的两个角中不超过 \(\pi\) 的那个角为 \(a, b\) 的夹角，记为 \(\langle a, b \rangle\)。
向量 \(\pmb{a}\) 与三个坐标向量 \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\) 的夹角 \(\alpha ,\beta ,\gamma\) 称为向量 \(\pmb{a}\) 的方向角，方向角的余弦 \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma\) 称为向量 \(\pmb{a}\) 的方向余弦。如 \(a = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}\)，则 \(|a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)。
\[\cos \alpha = \frac {x}{| a |} = \frac {x}{\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, \quad \cos \beta = \frac {y}{| a |} = \frac {y}{\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, \quad \cos \gamma = \frac {z}{| a |} = \frac {z}{\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}},\] \[\cos^ {2} \alpha + \cos^ {2} \beta + \cos^ {2} \gamma = 1,\]且方向余弦 \(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\) 就是单位向量 \(\frac{a}{|a|}\) 的坐标，即 \(a^0 = \frac{a}{|a|} = \{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\}\)。
与向量 \(\pmb{a}\) 的方向余弦 \(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\) 成比例的三个不全为零的数 \(A, B, C\) 构成的有序数组称为向量 \(\pmb{a}\) 的一组方向数，记为 \(\{A, B, C\}\)，即
\[\frac {A}{\cos \alpha} = \frac {B}{\cos \beta} = \frac {C}{\cos \gamma}.\]练习题
例题1
已知向量 \(\mathbf{a} = \{3, -4, 12\}\)，求： (1) 向量 \(\mathbf{a}\) 的模； (2) 向量 \(\mathbf{a}\) 的方向余弦； (3) 向量 \(\mathbf{a}\) 的单位向量。
解答
(1) 向量 \(\mathbf{a}\) 的模为：
(2) 方向余弦为：
\[\cos \alpha = \frac{3}{13}, \quad \cos \beta = \frac{-4}{13}, \quad \cos \gamma = \frac{12}{13}.\](3) 单位向量为：
\[\mathbf{a}^0 = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \left\{ \frac{3}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{12}{13} \right\} = \{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\}.\]例题2
已知向量 \(\mathbf{b}\) 的方向余弦满足 \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\)，\(\cos \beta = \frac{2}{3}\)，求 \(\cos \gamma\)，并写出向量 \(\mathbf{b}\) 的一组方向数。
解答
由方向余弦的性质：
代入已知：
\[\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{5}{9} + \cos^2 \gamma = 1,\]解得：
\[\cos^2 \gamma = \frac{4}{9} \Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{2}{3}.\]取 \(\cos \gamma = \frac{2}{3}\)，则方向数为与方向余弦成比例的一组数，例如 \(\{1, 2, 2\}\)。
例题3
判断下列向量是否共线：
\[\mathbf{u} = \{2, -1, 3\}, \quad \mathbf{v} = \{-4, 2, -6\}.\]解答
若两向量共线，则存在常数 \(k\) 使得 \(\mathbf{v} = k \mathbf{u}\)。比较分量：
所有分量均满足，故 \(\mathbf{u}\) 与 \(\mathbf{v}\) 共线。
例题4
已知点 \(A(1, 2, 3)\) 和 \(B(4, 6, 9)\)，求向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的模、方向余弦及与 \(x\) 轴的夹角 \(\alpha\)。
解答
向量 \(\overrightarrow{AB} = \{4-1, 6-2, 9-3\} = \{3, 4, 6\}\)。
模为：
方向余弦为：
\[\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{61}}, \quad \cos \beta = \frac{4}{\sqrt{61}}, \quad \cos \gamma = \frac{6}{\sqrt{61}}.\]与 \(x\) 轴的夹角 \(\alpha\) 满足 \(\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{61}}\)。
例题5
若向量 \(\mathbf{c}\) 的方向数为 \(\{2, -1, 2\}\)，求其方向余弦。
解答
设方向余弦为 \(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\)，由定义：
则：
\[\cos \alpha = 2k, \quad \cos \beta = -k, \quad \cos \gamma = 2k.\]代入方向余弦平方和公式：
\[(2k)^2 + (-k)^2 + (2k)^2 = 1 \Rightarrow 4k^2 + k^2 + 4k^2 = 1 \Rightarrow 9k^2 = 1 \Rightarrow k = \pm \frac{1}{3}.\]取 \(k = \frac{1}{3}\)，得方向余弦：
\[\cos \alpha = \frac{2}{3}, \quad \cos \beta = -\frac{1}{3}, \quad \cos \gamma = \frac{2}{3}.\]