随机变量及其分布函数

随机变量及概率分布的概念

取值依赖于某个随机试验的结果，并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。直观上它指取值带随机性的变量，数学上它指基本事件（样本点）的函数。

随机变量 $X$ 的概率分布，是指 $X$ 的”值域”及它取各可能值或在值域内各部分取值的”概率”二者的总称。实际中遇到的概率分布主要有离散型和连续型两大类，分别描绘离散型和连续型随机变量。

随机变量的分布函数

分布函数的概念

设 $X$ 是一个随机变量，对任意实数 $x$，记 $F(x) = P\{X \leqslant x\} (-\infty < x < +\infty)$，称 $F(x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，又称随机变量 $X$ 服从分布 $F(x)$。它在点 $x$ 处的值是事件 $\{X \leqslant x\}$ 的概率，即 $X$ 在 $(- \infty, x]$ 上取值的概率。

分布函数的性质

$F(x)$ 是一个单调不减函数，即对任意实数 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$，有 $F(x_{1}) \leqslant F(x_{2})$
$0 \leqslant F(x) \leqslant 1$，且 $F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
$F(x) = F(x + 0)$，即 $F(x)$ 是右连续的
对于任意实数 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$，有 $P\{x_{1} < X \leqslant x_{2}\} = F(x_{2}) - F(x_{1})$
对任意的 $x, P\{X = x\} = F(x) - F(x - 0)$

注：

① 上述性质(1)~(3)是分布函数的三条基本性质，这三条基本性质是一个函数 $F(x)$ 为某一随机变量的分布函数的充分和必要条件。

② 根据分布函数可以求随机变量有关事件的概率。例如：设 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的分布函数，则对任意两个实数 $a < b$，有

\[\begin{aligned} P \{a < X \leqslant b \} &= F (b) - F (a); \\ P \{X = a \} &= F (a) - F (a - 0); \\ P \{a \leqslant X \leqslant b \} &= F (b) - F (a - 0); \\ P \{X \geqslant a \} &= 1 - F (a - 0); \\ P \{a < X < b \} &= F (b - 0) - F (a); \\ P \{X < a \} &= F (a - 0), \end{aligned}\]

其中，$F(a) = F(a + 0) = \lim_{x\to a^{+}}F(x)$，$F(a - 0) = \lim_{x\to a^{-}}F(x)$。

特别地，如果 $X$ 是连续型随机变量，则有

\[P \{a < X \leqslant b \} = P \{a \leqslant X < b \} = P \{a < X < b \} = P \{a \leqslant X \leqslant b \} = F (b) - F (a).\]

例题

【例2.1】 下列函数中是某一随机变量的分布函数的是

(A) $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll}0, & x < 0,\\ 4\mathrm{e}^{4x}, & x\geqslant 0. \end{array} \right.$

(B) $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll}0, & x < 0,\\ \frac{1}{2}, & 0\leqslant x\leqslant 1,\\ 1, & x > 1. \end{array} \right.$

(C) $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 0, \\ \frac{1 - x}{2}, & 0 \leqslant x < 1, \\ 1, & x \geqslant 1. \end{array} \right.$

(D) $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 0, \\ \sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 1 & x \geqslant \frac{\pi}{2}. \end{array} \right.$

【分析】 对于(A)：由于 $F(x)$ 应满足 $0 \leqslant F(x) \leqslant 1$，因此(A)不正确。对于(B)：由于 $F(1 + 0) = 1 \neq \frac{1}{2} = F(1)$，即 $F(x)$ 在点 $x = 1$ 处不是右连续的，因此(B)不正确。对于(C)：由于 $F(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调减小，不满足分布函数 $F(x)$ 是单调不减这一性质，因此(C)不正确。故选(D)。

评注若已知随机变量 $X$ 的分布函数为(D)中的 $F(x)$，如何求概率 $P\left\{|X| < \frac{\pi}{6}\right\}$？事实上，经验证 $F(x)$ 是连续函数，从而有

\[P \left\{|X| < \frac{\pi}{6} \right\} = P \left\{- \frac{\pi}{6} < X < \frac{\pi}{6} \right\} = F \left(\frac{\pi}{6}\right) - F \left(- \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{1}{2}.\]

练习题

例题1

设随机变量 (X$ 的分布函数为

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{x}{2}, & 0 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases}\]

求以下概率：
(1) (P{X \leq 1}$ (2) \(P\{0.5 < X \leq 1.5\}$
(3) (P{X = 1}$

解答
(1) (P{X \leq 1} = F(1) = \frac{1}{2}$ (2) \(P\{0.5 < X \leq 1.5\} = F(1.5) - F(0.5) = \frac{1.5}{2} - \frac{0.5}{2} = 0.75 - 0.25 = 0.5$
(3) (P{X = 1} = F(1) - F(1-0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$（因为 \(F(x)$ 在 (x=1$ 处连续）

例题2

判断下列函数是否为分布函数，并说明理由：

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1, \\ \frac{1}{3}, & -1 \leq x < 0, \\ \frac{2}{3}, & 0 \leq x < 1, \\ 1, & x \geq 1. \end{cases}\]

解答
验证分布函数的三个基本性质：

单调不减：在区间 ([-1,0)$、\([0,1)$ 内函数值为常数，整体不降，满足。
极限条件：(F(-\infty)=0$，\(F(+\infty)=1$，满足。
右连续：在 (x=-1$ 处，\(F(-1+0)=\frac{1}{3}=F(-1)$；在 (x=0$ 处，\(F(0+0)=\frac{2}{3} \neq F(0)=\frac{1}{3}$，不右连续。
因此，该函数不是分布函数。

例题3

设随机变量 (X$ 的分布函数为

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \sin x, & 0 \leq x < \frac{\pi}{2}, \\ 1, & x \geq \frac{\pi}{2}. \end{cases}\]

求概率 (P\left{X > \frac{\pi}{4}\right}$。

解答
由性质 (P{X \geq a} = 1 - F(a-0)$，且 \(F(x)$ 在 (x=\frac{\pi}{4}$ 处连续，

\[P\left\{X > \frac{\pi}{4}\right\} = 1 - F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - \sin\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

例题4

已知随机变量 (X$ 的分布函数 \(F(x)$ 连续，且 (P{X \leq 2} = 0.6$，\(P\{X \leq 1\} = 0.3$，求 (P{1 < X \leq 2}$。

解答
由分布函数性质：

\[P\{1 < X \leq 2\} = F(2) - F(1) = 0.6 - 0.3 = 0.3.\]

例题5

设随机变量 (X$ 的分布函数为

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ Ax^2, & 0 \leq x < 1, \\ 1, & x \geq 1. \end{cases}\]

(1) 求常数 (A$； (2) 求 \(P\{0.2 \leq X < 0.8\}$。

解答
(1) 由 (F(1-0) = F(1)$ 得 \(A \cdot 1^2 = 1$，故 (A=1$。 (2) \(P\{0.2 \leq X < 0.8\} = F(0.8-0) - F(0.2-0) = 0.8^2 - 0.2^2 = 0.64 - 0.04 = 0.6$。