常数项级数

（一）常数项级数的基本概念和基本性质

1. 基本概念

级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$ 的前 $n$ 项的和

\[S _ {n} = \sum_ {k = 1} ^ {n} u _ {k} = u _ {1} + u _ {2} + \dots + u _ {n}, (n = 1, 2, \dots) \tag {11.1}\]

称为无穷级数的部分和。

若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和数列 $\{S_n\}$ 的极限 $\lim_{n \to \infty} S_n$ 存在，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；否则就称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛时，称极限值 $\lim_{n \to \infty} S_n$ 为此级数的和，即 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} u_k = S$；当级数收敛时 $r_n = S - S_n = u_{n+1} + u_{n+2} + \cdots$ 称为级数的余项（或余和）。

2. 收敛级数的基本性质

（1）收敛级数的一般项（级数收敛的必要条件）：设级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to \infty}u_n = 0$。

性质（1）只是级数收敛的必要条件，不能由此判定级数收敛，但是不满足此条件的级数一定发散，这一点是经常使用的。

（2）收敛级数的线性运算：若两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 同时收敛，则

\[\sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left(\lambda u _ {n} + \mu v _ {n}\right) = \lambda \sum_ {n = 1} ^ {\infty} u _ {n} + \mu \sum_ {n = 1} ^ {\infty} v _ {n} \text {, 其中} \lambda , \mu \text {为常数}. \tag {11.2}\]

由该性质有如下推论：若两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 中，一个收敛，一个发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n)$ 发散。但若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 均发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n)$ 的敛散性必须具体讨论。

（3）收敛级数的结合律：若级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$ 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。特别有，若 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ 收敛，则将其相继两项加括号所得级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}(u_{2n - 1} + u_{2n})$ 收敛，且 $\sum_{n = 1}^{\infty}(u_{2n - 1} + u_{2n}) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_n$。

如果按性质(3)规定的方式加括号后所成的某一个级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛。

例如：级数 $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ 发散，但其相邻两项加括号所得级数 $(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \dots$ 却是收敛的。

性质(3)有如下推论：

推论1：如果加括号后所成的级数发散，则原来的级数也发散。
推论2：若 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$ 满足 $\lim_{n\to +\infty}u_n = 0$，又其相继两项加括号所得的级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}\left(u_{2n - 1} + u_{2n}\right)$ 收敛，则原级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ 必收敛，且 $\sum_{n = 1}^{\infty}\left(u_{2n - 1} + u_{2n}\right) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$（证明见例11.10的评注）。

（4）级数的敛散性与其有限项无关：在级数中添加或去掉有限项不影响级数的收敛性。

3. 几个重要级数

（1）几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ 当 $|q| < 1$ 时收敛，当 $|q| \geqslant 1$ 时发散。
（2）$p$ 级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \leqslant 1$ 时发散（证明见例11.1（Ⅲ））。

常用的还有：$\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n^{p}\ln^{q}n}$，当 $p > 1$，或 $p = 1$ 且 $q > 1$ 时收敛；当 $p < 1$ 或 $p = 1$ 且 $q\leqslant 1$ 时发散。

（二）正项级数敛散性的判定

1. 正项级数的概念与特点及其收敛的充要条件

若 $u_{n} \geqslant 0$，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 为正项级数。正项级数的特点是部分和数列 $\{S_{n}\}$ 单调非减，而单调数列收敛 $\Leftrightarrow$ 有界，因此，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛的充要条件是，它的部分和数列有界。这一点正是正项级数敛散性判别法的基础。

2. 正项级数敛散性的判别法

（1）比较判别法

比较原理

设 $c v_{n} \geqslant u_{n} \geqslant 0 (n \geqslant N), c > 0$，若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛；若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 发散。

比较原理的极限形式 设 $u_{n} > 0, v_{n} > 0$，若 $\lim_{n\to \infty}\frac{v_n}{u_n} = A$，则有

① 当 $0 < A < +\infty$ 即 $v_{n} \sim Au_{n}(n \to \infty)$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 同时收敛或同时发散；
② 当 $A = 0$ 即 $v_{n} = o(u_{n})(n \to \infty)$ 时，若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛；
③ 当 $A = +\infty$ 即 $u_{n} = o(v_{n})(n \to \infty)$ 时，若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 发散。

（2）与几何级数比较——比值与根值判别法

设 $u_{n} > 0$

比值判别法（达朗贝尔判别法）

若 $\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n + 1}}{u_n} = \rho$

\[\left\{ \begin{array}{ll} < 1, & \text{级数}\sum_{n = 1}^{\infty}u_n\text{收敛},\\ >1, & \text{级数}\sum_{n = 1}^{\infty}u_n\text{发散},\\ = 1, & \text{此判别法失效}, \end{array} \right.\]

且 $\lim_{n\to \infty}u_n = +\infty$

根值判别法

若 $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n} = \rho$

\[\left\{ \begin{array}{ll} < 1, & \text{则}\sum_{n = 1}^{\infty}u_n\text{收敛},\\ >1, & \text{则}\sum_{n = 1}^{\infty}u_n\text{发散},\\ = 1, & \text{此判别法失效}, \end{array} \right.\]

且 $\lim_{n\to \infty}u_n = +\infty$

（3）与 $p$ 级数比较——确定无穷小 $u_{n}$ 关于 $\frac{1}{n}$ 的阶

设 $u_{n} > 0, \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{\frac{1}{n^{p}}} = A$

① 若 $0 \leqslant A < +\infty, p > 1$（即当 $n \to \infty$ 时 $u_{n}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的 $p$ 阶或高于 $p$ 阶的无穷小，$p > 1$），则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，
② 若 $0 < A \leqslant +\infty, p \leqslant 1$（即当 $n \to \infty$ 时 $u_{n}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的 $p$ 阶或低于 $p$ 阶的无穷小，$p \leqslant 1$），则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散。

（4）积分判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，若 $\exists$ 单调下降的正值函数 $f(x) (x \geqslant 1)$ 使得 $u_n = f(n) (n = 1,2,3,\dots)$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 收敛的充要条件是无穷积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛。

【例11.1】 判定下列级数的敛散性：

（I）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4n^{2}+n}}$；

（Ⅱ）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}$。

（Ⅲ）$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p} (p$ 为常数）。

【解】（I）因 $\frac{1}{\sqrt{4n^2 + n}} \geqslant \frac{1}{\sqrt{4n^2 + n^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}n}$，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5}n}$ 发散，故原级数发散。

（Ⅱ）使用比值判别法。因 $\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n + 1}}{u_n} = \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{2n + 1}{2^{n + 1}}}{\frac{2n - 1}{2^n}} = \lim_{n\to \infty}\frac{2n + 1}{2(2n - 1)} = \frac{1}{2} < 1$，故原级数收敛。
（Ⅲ）$u_{n} = \frac{1}{n^{p}}$，可设 $f(x) = \frac{1}{x^p}$，于是 $u_{n} = f(n)$，显然 $p > 0$ 时 $f(x)$ 当 $x\geqslant 1$ 时是单调下降的正值函数，又

\[\int_ {1} ^ {+ \infty} f (x) \mathrm {d} x = \int_ {1} ^ {+ \infty} {\frac {\mathrm {d} x}{x ^ {p}}} {\Bigl \{} \text {收敛} (p > 1) \text {发散} (p \leqslant 1)\]

因此，由积分判别法知，$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 收敛（$p > 1$）发散($0 < p\leqslant 1$)。

当 $p \leqslant 0, n \to +\infty$ 时 $\frac{1}{n^p}$ 不趋于 0，显然 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 发散。

评注注意到 $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2n - 1} = 1$，所以第（Ⅱ）小题使用根值判别法也是很简单的。

（三）交错级数的敛散性判别法

1. 交错级数的定义

若 $u_{n} > 0$，则称 $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}u_n = u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \dots$ 为交错级数。

2. 交错级数的敛散性判别

莱布尼兹判别法：设交错级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}u_n$ 满足：

\[\left(\mathrm {i}\right) u _ {n} \geqslant u _ {n + 1}, n \geqslant N \geqslant 1; \quad \left(\mathrm {i i}\right) \lim _ {n \rightarrow \infty} u _ {n} = 0,\]

则 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 收敛；且其和 $0 < \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n < u_1$，余项 $|r_n| < u_{n+1}$。

（四）任意项级数敛散性的判定

若 $u_{n}$ 为任意实数，则称 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ 为任意项级数。

1. 绝对收敛与条件收敛的定义

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 绝对收敛；若 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛，而 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 发散，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 条件收敛。

2. 关于绝对收敛与条件收敛的基本结论

对于任意项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$，下列结论成立：

（1）绝对收敛的级数一定收敛，即若 $\sum_{n = 1}^{\infty}|u_n|$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ 必收敛；

【注】
① 对于任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$，如果用正项级数的判别法判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛。这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性判定问题。
② 若由比值或根值判别法得出 $\sum_{n = 1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散（此时 $u_{n}$ 为无穷大量），则 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ 发散；否则当 $\sum_{n = 1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散时，还应考虑 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ 是否条件收敛。
（2）条件收敛级数的全部正项（或负项）构成的级数一定发散。即：若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} (|u_n| + u_n)$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} (u_n - |u_n|)$ 均发散。

【例11.2】 判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：

（I）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\sin\frac{x}{n}(x>0)$；（II）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin\frac{1}{n}+1}{n}$。

【解】（I）由于当 $n$ 充分大时，$0 < \frac{x}{n} < \frac{\pi}{2}$，$\sin \frac{x}{n} > 0$，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \sin \frac{x

练习题

例题1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n}$ 的敛散性。

解答注意到当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^2 + 3n} \sim \frac{1}{n^2}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是 $p=2>1$ 的 $p$-级数，因此收敛。根据比较判别法的极限形式，取 $u_n = \frac{1}{n^2 + 3n}$，$v_n = \frac{1}{n^2}$，有

\[\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n} = 1 \in (0, +\infty),\]

所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n}$ 收敛。

例题2

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{2^n}$ 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

解答首先考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n-1} \frac{n}{2^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$。使用比值判别法：

\[\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1,\]

所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 收敛，故原级数绝对收敛。

例题3

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

解答绝对值级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$，这是 $p=\frac{1}{2} \leq 1$ 的 $p$-级数，因此发散。原级数为交错级数，且 $u_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 满足：

$u_n > 0$，
$u_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减，
$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。由莱布尼兹判别法，原级数收敛。由于绝对值级数发散，故原级数条件收敛。

例题4

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$ 的敛散性。

解答使用比值判别法：

\[\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{3^n}{n!}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3}{n+1} = 0 < 1,\]

所以级数收敛。

例题5

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ 的敛散性，若收敛，求其和。

解答写出部分和：

\[S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1}.\]

则

\[\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1.\]

所以级数收敛，且和为 $1$。

例题6

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n + \ln n}$ 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

解答绝对值级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n + \ln n}$。由于 $\frac{1}{n + \ln n} \sim \frac{1}{n}$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法的极限形式，绝对值级数发散。原级数为交错级数，令 $u_n = \frac{1}{n + \ln n}$，则：

$u_n > 0$，
$u_n$ 单调递减（因为分母递增），
$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。由莱布尼兹判别法，原级数收敛，且为条件收敛。

例题7

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{n^2 + 1}$ 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

解答绝对值级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}$。由于 $\frac{n}{n^2 + 1} \sim \frac{1}{n}$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，所以绝对值级数发散。原级数为交错级数，令 $u_n = \frac{n}{n^2 + 1}$，则：

$u_n > 0$，
$u_n$ 单调递减（当 $n \geq 1$ 时，$u_n$ 递减），
$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。由莱布尼兹判别法，原级数收敛，且为条件收敛。

例题8

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 的敛散性。

解答考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x \ln x}$，在 $[2, +\infty)$ 上单调递减且正值。计算积分：

\[\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} \, dx = \left[ \ln(\ln x) \right]_{2}^{\infty} = \infty,\]

所以积分发散。由积分判别法，级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 发散，因此原级数（从 $n=2$ 开始）发散。