三、线性方程组的通解
1. 齐次方程组
（1）齐次方程组 \(AX = 0\) 解性质
【定理4.3】 如果 \(\pmb{\eta}_1, \pmb{\eta}_2, \dots, \pmb{\eta}_s\) 是齐次方程组 \(AX = 0\) 的一组解，则它们的任何线性组合 \(c_1\pmb{\eta}_1 + c_2\pmb{\eta}_2 + \dots + c_s\pmb{\eta}_s\) 也都是解。
（2）齐次方程组 \(AX = 0\) 的基础解系和通解
【定义4.1】 如果齐次方程组 \(AX = 0\) 有非零解，则它的解集 \(J\)（全部解的集合）是无穷集，称 \(J\) 的最大无关组为 \(AX = 0\) 的基础解系。
当 \(\pmb{\eta}_1, \pmb{\eta}_2, \dots, \pmb{\eta}_s\) 是 \(AX = 0\) 的基础解系时：
向量 \(\pmb{\eta}\) 是 \(AX = 0\) 的解 \(\Leftrightarrow \pmb{\eta}\) 可用 \(\pmb{\eta}_1, \pmb{\eta}_2, \dots, \pmb{\eta}_s\) 线性表示。
于是，\(AX = 0\) 的通解为：
\[c _ {1} \pmb {\eta} _ {1} + c _ {2} \pmb {\eta} _ {2} + \dots + c _ {s} \pmb {\eta} _ {s}, \quad c _ {i} \text{任意}.\]（3）齐次方程组解集 \(J\) 的秩
【定理4.4】 设 \(AX = 0\) 有 \(n\) 个未知数，则 \(\operatorname {r}(J) = n - \operatorname {r}(A)\)
即它的基础解系中包含解的个数为 \(s = n - \mathrm{r}(A)\)
于是判别一组向量 \(\pmb{\eta}_1, \pmb{\eta}_2, \dots, \pmb{\eta}_s\) 是 \(AX = 0\) 的基础解系的条件为：
① \(\pmb{\eta}_{1},\pmb{\eta}_{2},\dots ,\pmb{\eta}_{s}\) 是 \(AX = 0\) 的一组解。
② \(\pmb{\eta}_{1},\pmb{\eta}_{2},\dots ,\pmb{\eta}_{s}\) 线性无关。
③ \(s = n - \mathrm{r}(A)\)
推论 如果 \(AB = 0\)，\(n\) 为 \(A\) 的列数（\(B\) 的行数），则 \(\mathrm{r}(A) + \mathrm{r}(B) \leqslant n\)。
2. 非齐次方程组 \(AX = \beta\)
（1）非齐次方程组 \(AX = \beta\) 解性质
【定理4.5】 如果 \(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s\) 是 \(AX = \beta\) 的一组解，则：
① 它们的线性组合 \(c_{1}\pmb{\xi}_{1} + c_{2}\pmb{\xi}_{2} + \dots +c_{s}\pmb{\xi}_{s}\) 也是 \(AX = \beta\) 的解 \(\Leftrightarrow c_1 + c_2 + \dots +c_s = 1\)
② 它们的线性组合 \(c_{1}\pmb{\xi}_{1} + c_{2}\pmb{\xi}_{2} + \dots +c_{s}\pmb{\xi}_{s}\) 是 \(AX = 0\) 的解 \(\Leftrightarrow c_1 + c_2 + \dots +c_s = 0\)
【定理4.6】
① \(AX = \beta\) 的两个解的差一定是 \(AX = 0\) 的解。
② 如果 \(\pmb{\xi}\) 是 \(AX = \beta\) 的一个解，\(\pmb{\eta}\) 是 \(AX = 0\) 的解，则：\(\pmb{\xi} + \pmb{\eta}\) 是 \(AX = \beta\) 的解。
（2）非齐次方程组的通解
如果 \(\xi_0\) 是非齐次方程组 \(AX = \beta\) 的解，\(\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_s\) 是导出组 \(AX = 0\) 的基础解系，则 \(AX = \beta\) 的通解（一般解）为
\[\pmb {\xi} _ {0} + c _ {1} \pmb {\eta} _ {1} + c _ {2} \pmb {\eta} _ {2} + \dots + c _ {s} \pmb {\eta} _ {s}, \quad \text{其中} c _ {1}, c _ {2}, \dots , c _ {s} \text{可取任何常数}.\]（3）非齐次方程组解集的秩
【定理4.7】 当非齐次方程组 \(AX = \beta\) 有解时，其解集的秩为 \(n - r(A) + 1\)
考题型及其解题方法与技巧
题型一 概念检测题
解方程组是线性代数中最主要的计算题，但是它也可从概念的方面来考核。有的考生完全没有这样的思想准备，遇到方程组的概念检测题时觉得比计算题还难。其实这只是思维习惯的问题。
【例4.1】 \(AX = 0\) 和 \(BX = 0\) 都是 \(n\) 元方程组，下列断言正确的是（ ）。
(A) \(AX = 0\) 和 \(BX = 0\) 同解 \(\Leftrightarrow \mathrm{r}(A) = \mathrm{r}(B)\)
(B) \(AX = 0\) 的解都是 \(BX = 0\) 的解 \(\Rightarrow \mathrm{r}(A)\leqslant \mathrm{r}(B)\)
(C) \(AX = 0\) 的解都是 \(BX = 0\) 的解 \(\Rightarrow \mathrm{r}(A)\geqslant \mathrm{r}(B)\)
(D) \(\mathrm{r}(A) \geqslant \mathrm{r}(B) \Rightarrow AX = 0\) 的解都是 \(BX = 0\) 的解。
【解】 选（C）。
设 \(AX = 0\) 和 \(BX = 0\) 同解 \(\Rightarrow r(A) = r(B)\)，但 \(r(A) = r(B)\) 推不出 \(AX = 0\) 和 \(BX = 0\) 同解，排除（A）
\(AX = 0\) 的解都是 \(BX = 0\) 的解，则 \(AX = 0\) 的解集合 \(\subseteq BX = 0\) 的解集合，于是 \(n - r(A) \leqslant n - r(B)\)，即
\(\mathbf{r}(A)\geqslant \mathbf{r}(B)\)。（C）对，（B）不对。
\(n - \mathrm{r}(A)\leqslant n - \mathrm{r}(B)\) 推不出 \(AX = 0\) 的解集合 \(\subseteq BX = 0\) 的解集合，（D）不对。
【例4.2】 设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(r(A) = r\)。则方程组 \(AX = \beta\)
(A) 在 \(r = m\) 时有解。
(B) 在 \(m = n\) 时有唯一解。
(C) 在 \(r < n\) 时有无穷多解。
(D) 在 \(r = n\) 时有唯一解。
【解】 选（A）。
此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质。在判别法则中虽然没有出现方程个数 \(m\)，但是 \(m\) 是 \(\mathbf{r}(A)\) 和 \(\mathbf{r}(A|\boldsymbol{\beta})\) 的上限。因此，当 \(\mathbf{r}(A) = m\) 时，必有 \(\mathbf{r}(A|\boldsymbol{\beta}) = \mathbf{r}(A)\)，从而方程组有解，（A）正确。
（C）和（D）的条件下不能确定方程组有解，
（B）的条件下对解的情况不能作任何判断，
评注 本题提醒了一个事实：方程个数 \(m\) 是 \(r(A)\) 和 \(r(A|\beta)\) 的上限。
【例4.3】 \(\left\{ \begin{array}{l}x_{1} + x_{3} = 0,\\ 2x_{2} + x_{4} = 0 \end{array} \right.\) 的一个基础解系为
(A) \((0, -1, 0, 2)^{\mathrm{T}}\)。
(B) \((0, -1, 0, 2)^{\mathrm{T}}, (0, 1/2, 0, 1)^{\mathrm{T}}\)。
(C) \((1,0, - 1,0)^{\mathrm{T}},(-2,0,2,0)^{\mathrm{T}}\)。
(D) \((0, -1, 0, 2)^{\mathrm{T}}, (1, 0, -1, 0)^{\mathrm{T}}\)。
【解】 选（D）。
【分析】 用基础解系的条件来衡量4个选项。
先看包含解的个数。
因为 \(n = 4\)，系数矩阵为
\[\left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right]\]其秩为2，所以基础解系应该包含2个解。排除（A）。
再看无关性
（C）中的2个向量相关，不是基础解系，也排除。
（B）和(D)都是两个无关的向量，就看它们是不是解了。\((0, -1, 0, 2)^{\mathrm{T}}\) 在这两个选项里都出现，一定是解。只要看 \((0, 1/2, 0, 1)^{\mathrm{T}}\) 或 \((1, 0, -1, 0)^{\mathrm{T}}\)（其中一个就可以）。如检查 \((1, 0, -1, 0)^{\mathrm{T}}\) 是解，说明(D)正确。或者检查出 \((0, 1/2, 0, 1)^{\mathrm{T}}\) 不是解，排除(B)。
评注 本题虽然给了一个简单的齐次线性方程组，容易求基础解系，但是由于基础解系的不唯一性，求出了一个基础解系不能用来判断选项中哪个也是基础解系。因此如果作为计算题来做是劳而无功的。这说明本题本质上不是计算题，是概念题！
【例4.4】 已知 \((1, a, 2)^{\mathrm{T}}, (-1, 4, b)^{\mathrm{T}}\) 构成齐次线性方程组
\[\left\{ \begin{array}{l} s x _ {1} + x _ {2} - 2 x _ {3} = 0, \\ 2 x _ {1} - t x _ {2} - 2 x _ {3} = 0 \end{array} \right.\]的一个基础解系，求 \(a,b,s,t\)
【解】 此齐次线性方程组的基础解系包含2个解，未知数有3个，则系数矩阵
\[\left[ \begin{array}{c c c} s & 1 & - 2 \\ 2 & - t & - 2 \end{array} \right]\]的秩为1，立刻得到 \(s = 2, t = -1\)。于是方程组为
\[\left\{ \begin{array}{l} 2 x _ {1} + x _ {2} - 2 x _ {3} = 0, \\ 2 x _ {1} + x _ {2} - 2 x _ {3} = 0 \end{array} \right.\]把 \((1, a, 2)^{\mathrm{T}}, (-1, 4, b)^{\mathrm{T}}\) 代入，得 \(a = 2, b = 1\)
评注 许多考生往往马上想到的是 \((1, a, 2)^{\mathrm{T}}, (-1, 4, b)^{\mathrm{T}}\) 都是解，把它们代入方程组得到关系 \(a, b, s, t\) 的一个方程组来求它们，这就走了一条麻烦的路了。涉及基础解系的问题首先考察个数，因为这比较简单。这也是编者的经验和建议。
【例4.5】 当 \(A = ()\) 时，\((0,1, - 1)\) 和(1,0,2）构成齐次方程组 \(AX = 0\) 的基础解系。
(A) \((-2,1,1)\)。
(B) \(\left[ \begin{array}{ccc}2 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right]\)。
(C) \(\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right]\)。
(D) \(\left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right]\)。
【解】 选（A）。
【分析】 由解是3维向量知 \(n = 3\)，由基础解系含有两个解得到 \(3 - \mathrm{r}(A) = 2\)，从而 \(\mathrm{r}(A) = 1\)。由此着眼，只有（A）中的矩阵符合此要求。
【例4.6】 \(A = \left[ \begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\ -1 & -2 & -3\\ 0 & a & b \end{array} \right],\mathrm{r}(A) = 2\)，则（）是 \(A^{*}X = 0\) 的基础解系。
(A) \((1, - 1,0)^{\mathrm{T}},(0,0,1)^{\mathrm{T}}\)。
(B) \((1, - 1,0)^{\mathrm{T}}\)
(C) \((1, - 1,0)^{\mathrm{T}},(2, - 2,a)^{\mathrm{T}}\)。
(D) \((2, - 2,a)^{\mathrm{T}},(3, - 3,b)^{\mathrm{T}}\)。
【解】 选（A）。
【分析】 由 \(A\) 是3阶矩阵，因此未知数个数 \(n\) 为3。\(\operatorname {r}(A) = 2\)，则 \(\mathrm{r}(A^{*}) = 1\)
方法一 \(A^{*}X = 0\) 的基础解系应该包含 \(n - 1 = 2\) 个解，（A）满足。\((1, -1, 0)^{\mathrm{T}}, (0, 0, 1)^{\mathrm{T}}\) 显然线性无关，只要再说明它们都是 \(A^{*}X = 0\) 的解。\(A^{*}A = |A|E = 0\)，于是 \(A\) 的3个列向量 \((1, -1, 0)^{\mathrm{T}}, (2, -2, a)^{\mathrm{T}}, (3, -3, b)^{\mathrm{T}}\) 都是 \(A^{*}X = 0\) 的解。由于 \(\mathbf{r}(A) = 2, a\) 和 \(b\) 不会都是0，不妨设 \(a \neq 0\)，则
\[(0, 0, a) ^ {\mathrm {T}} = (2, - 2, a) ^ {\mathrm {T}} - 2 (1, - 1, 0) ^ {\mathrm {T}}\]也是 \(A^{*}X = 0\) 的解。于是 \((0,0,1)^{\mathrm{T}} = (0,0,a)^{\mathrm{T}} / a\) 也是解。
方法二 用排除法。由于 \(A^{*}X = 0\) 的基础解系应该包含 \(n - 1 = 2\) 个解，（B）可排除。
当 \(a = 0\) 时，\((1, - 1,0)^{\mathrm{T}}\)，\((2, - 2,a)^{\mathrm{T}}\) 相关，（C）排除。
当 \(a = 2, b = 3\) 时，\((2, -2, a)^{\mathrm{T}}, (3, -3, b)^{\mathrm{T}}\) 相关，（D）排除。
于是选(A)。
评注 此题排除法比较简单，用到的知识比较少，方程组方面的选择题多数有此情况。
【例4.7】 线性方程组
\[\left\{ \begin{array}{l} 2 x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} - x _ {4} = 1, \\ x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} - 2 x _ {4} = 0 \end{array} \right.\]的通解可以表示为
(A) \((1, -1, 0, 0)^{\mathrm{T}} + c(0, 1, -1, 0)^{\mathrm{T}}, c\) 任意。
(B) \((0,1,1,1)^{\mathrm{T}} + c_{1}(0, - 2,2,0)^{\mathrm{T}} + c_{2}(0,1, - 1,0)^{\mathrm{T}},c_{1},c_{2}\) 任意。
(C) \((1, -2, 1, 0)^{\mathrm{T}} + c_{1}(-1, 2, 1, 1)^{\mathrm{T}} + c_{2}(0, 1, -1, 0)^{\mathrm{T}}, c_{1}, c_{2}\) 任意。
(D) \((1, -1, 0, 0)^{\mathrm{T}} + c_{1}(1, -2, 1, 0)^{\mathrm{T}} + c_{2}(0, 1, -1, 0)^{\mathrm{T}}, c_{1}, c_{2}\) 任意。
【解】 选（C）。
【分析】 用排除法。
非齐次方程组 \(AX = \beta\) 的通解是它的一个特解加上导出组 \(AX = 0\) 的一个基础解系的线性组合。因此表达式中，带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解。于是可从这两个方面来检查。
先看导出组
练习题
例题1
设齐次线性方程组 ( AX = 0 \(的基础解系包含 \( s\) 个解向量，且 ( A \(是 \( m \times n\) 矩阵，秩为 ( r \(。证明：\( s = n - r \)。
解答 根据定理4.4，齐次方程组 ( AX = 0 \(的解集 \( J\) 的秩为 ( \operatorname{r}(J) = n - \operatorname{r}(A) \(。基础解系是解集 \( J \) 的最大无关组，因此基础解系中包含解的个数为 ( s = n - r $。证毕。
例题2
已知非齐次线性方程组 ( AX = \beta \(有解 \( \xi_1 = (1, 2, 3)^{\mathrm{T}}\) 和 ( \xi_2 = (2, 3, 4)^{\mathrm{T}} \(，且导出组 \( AX = 0 \) 的基础解系为 ( \eta = (1, 1, 1)^{\mathrm{T}} \(。求 \( AX = \beta \) 的通解。
解答 由非齐次方程组解的性质，通解为特解加上导出组基础解系的线性组合。取 ( \xi_1 $ 作为特解，则通解为：
\[\xi_1 + c\eta = (1, 2, 3)^{\mathrm{T}} + c(1, 1, 1)^{\mathrm{T}}, \quad c \text{任意}.\]例题3
判断下列向量组是否为齐次方程组 ( AX = 0 \(的基础解系，其中 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}\)：
- ( \eta_1 = (2, -1, 0)^{\mathrm{T}}, \eta_2 = (1, 0, 1)^{\mathrm{T}} $
解答 首先，计算 ( A \(的秩：行化简得 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，故 ( \operatorname{r}(A) = 1 \(。未知数个数 \( n = 3 \)，基础解系应包含 ( n - r = 2 \(个解。 验证 \( \eta_1, \eta_2\)：
- 计算 ( A\eta_1 = (0, 0)^{\mathrm{T}} \(，\( A\eta_2 = (0, 0)^{\mathrm{T}} \)，故均为解。
- 检查线性无关：( \eta_1, \eta_2 $ 不成比例，故线性无关。
- 个数为 2，满足条件。 因此，( \eta_1, \eta_2 $ 是基础解系。
例题4
设非齐次方程组 ( AX = \beta \(有解 \( \xi_1, \xi_2, \xi_3\)，且 ( \xi_1 - \xi_2 = (1, 0, -1)^{\mathrm{T}} \(，\( \xi_2 + \xi_3 = (2, 1, 0)^{\mathrm{T}} \)。若 ( \operatorname{r}(A) = 2 \(，求 \( AX = \beta \) 的通解。
解答 由解的性质，( \xi_1 - \xi_2 \(是导出组 \( AX = 0\) 的解。未知数个数 ( n = 3 \(，导出组基础解系应含 \( n - r = 1 \) 个解，故 ( (1, 0, -1)^{\mathrm{T}} \(为基础解系。 取 \( \xi_1\) 为特解，则通解为：
\[\xi_1 + c(1, 0, -1)^{\mathrm{T}}, \quad c \text{任意}.\]其中 ( \xi_1 \(可由已知条件求出，例如从 \( \xi_1 - \xi_2\) 和 ( \xi_2 + \xi_3 $ 联立解得。
例题5
求齐次方程组：
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 0 \\ 3x_1 + 6x_2 + 4x_3 = 0 \end{cases}\]的基础解系和通解。
解答 系数矩阵为：
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 6 & 4 \end{bmatrix}\]行化简：
\[\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]同解方程组为：
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x_1 = -2x_2, \quad x_3 = 0.\]令 ( x_2 = 1 \(，得基础解系 \( \eta = (-2, 1, 0)^{\mathrm{T}} \)。通解为：
\[c(-2, 1, 0)^{\mathrm{T}}, \quad c \text{任意}.\]例题6
设 ( A \(为 \( 4 \times 3\) 矩阵，( \eta_1, \eta_2, \eta_3 \(是 \( AX = \beta\) 的线性无关解。证明：导出组 ( AX = 0 $ 的基础解系包含至少 2 个解。
解答 由解的性质，( \eta_2 - \eta_1 \(、\( \eta_3 - \eta_1 \) 是 ( AX = 0 \(的解，且线性无关（因为 \( \eta_1, \eta_2, \eta_3\) 线性无关）。故导出组解集的秩至少为 2，即基础解系包含至少 2 个解。
例题7
已知方程组：
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + ax_3 = 3 \\ x_1 + ax_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}\]有无数解，求 ( a $ 并求通解。
解答 增广矩阵为：
\[(A \mid \beta) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a & 3 \\ 1 & a & 3 & 2 \end{bmatrix}\]行化简：
\[\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-2 & 1 \\ 0 & a-1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3-a & 0 \\ 0 & 1 & a-2 & 1 \\ 0 & 0 & (a-2)(3-a) & 2-a \end{bmatrix}\]有无数解当且仅当 ( \operatorname{r}(A) = \operatorname{r}(A \mid \beta) < 3 $，故：
\[(a-2)(3-a) = 0, \quad 2-a = 0.\]解得 ( a = 2 $。代入得通解：
\[(x_1, x_2, x_3)^{\mathrm{T}} = (0, 1, 0)^{\mathrm{T}} + c(-1, 0, 1)^{\mathrm{T}}, \quad c \text{任意}.\]例题8
设 ( A \(是 \( n \times n\) 矩阵，且 ( A^2 = A \(。证明：\( AX = 0 \) 与 ( (A - I)X = 0 $ 的解空间互为直和。
解答 由 ( A^2 = A \(得 \( A(A - I) = 0\)，故 ( \operatorname{Im}(A - I) \subseteq \operatorname{Ker}(A) \(。同理，\( \operatorname{Im}(A) \subseteq \operatorname{Ker}(A - I) \)。结合维数公式，可证两个解空间交集为 ( {0} \(，且维数和为 \( n \)，故互为直和。
例题9
求两个齐次方程组：
- (I) ( x_1 + x_2 + x_3 = 0 $
- (II) ( x_1 - x_2 + x_3 = 0 $ 的公共解。
解答 联立方程组：
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{cases}\]解得 ( x_2 = 0 \(, \( x_1 + x_3 = 0 \)。令 ( x_3 = 1 \(，得公共解为 \( c(-1, 0, 1)^{\mathrm{T}} \), ( c $ 任意。
例题10
设 ( A \(为 \( m \times n\) 矩阵，( B \(为 \( n \times p\) 矩阵，且 ( AB = 0 \(。证明：\( \operatorname{r}(A) + \operatorname{r}(B) \leq n \)。
解答 由 ( AB = 0 \(，知 \( B \) 的列向量均为 ( AX = 0 \(的解。故 \( \operatorname{r}(B) \leq n - \operatorname{r}(A)\)，即 ( \operatorname{r}(A) + \operatorname{r}(B) \leq n $。