第二章 矩阵

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练习题

例题1

设矩阵 ( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \(，计算矩阵 \( A \) 的行列式。

题目解答
矩阵 ( A $ 的行列式为：

\[\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2\]

因此，( \det(A) = -2 $。

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例题2

已知矩阵 ( B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} \(，求矩阵 \( B \) 的逆矩阵。

题目解答
首先计算行列式：

\[\det(B) = 2 \times 3 - (-1) \times 0 = 6\]

由于行列式不为零，逆矩阵存在。逆矩阵公式为：

\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]

因此，

\[B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\]

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例题3

设矩阵 ( C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ -1 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \(，求矩阵 \( C \) 的转置。

题目解答
转置矩阵是将原矩阵的行与列互换：

\[C^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

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例题4

已知矩阵 ( D = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \(和 \( E = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，计算矩阵乘积 ( DE $。

题目解答
矩阵乘法按行乘列规则计算：

\[DE = \begin{pmatrix} 2 \times (-1) + 1 \times 0 & 2 \times 2 + 1 \times 1 \\ 1 \times (-1) + 3 \times 0 & 1 \times 2 + 3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\]

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例题5

设矩阵 ( F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \(，求矩阵 \( F \) 的特征值和特征向量。

题目解答
特征值满足方程 ( \det(F - \lambda I) = 0 $：

\[\det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0\]

解二次方程：

\[\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}\]

因此，特征值为 ( \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \(，\( \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \)。
对于 ( \lambda_1 \(，解 \( (F - \lambda_1 I)\mathbf{v} = 0 \) 得特征向量 ( \mathbf{v}_1 = k \begin{pmatrix} 2 \ \lambda_1 - 1 \end{pmatrix} \(（\( k \neq 0 \)）；
对于 ( \lambda_2 \(，特征向量 \( \mathbf{v}_2 = k \begin{pmatrix} 2 \\ \lambda_2 - 1 \end{pmatrix} \)（( k \neq 0 $）。