第一章 随机事件和概率

---

练习题

例题1

题目内容
设A和B是两个随机事件，已知P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，P(A ∩ B) = 0.2。
（1）求P(A ∪ B)；
（2）判断事件A和B是否独立；
（3）求P(A | B)。

题目解答
（1）根据概率的加法公式：
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8。
（2）事件A和B独立的条件是P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
计算P(A)P(B) = 0.6 × 0.4 = 0.24，而P(A ∩ B) = 0.2 ≠ 0.24，因此事件A和B不独立。
（3）根据条件概率公式：
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.4 = 0.5。

---

例题2

题目内容
一个袋中有5个红球和3个白球，从中随机抽取2个球（不放回）。
（1）求两个球都是红球的概率；
（2）求至少有一个白球的概率；
（3）若已知第一个球是红球，求第二个球是白球的概率。

题目解答
（1）总共有8个球，抽取2个红球的组合数为C(5,2) = 10，总组合数为C(8,2) = 28。
概率为10/28 = 5/14。
（2）至少有一个白球的概率等于1减去两个球都是红球的概率：
1 - 5/14 = 9/14。
（3）已知第一个球是红球，剩余7个球（4红3白）。
第二个球是白球的概率为3/7。

---

例题3

题目内容
设随机事件A和B满足P(A) = 0.5，P(B) = 0.3，且P(A ∪ B) = 0.7。
（1）求P(A ∩ B)；
（2）求P(A’ ∩ B’)，其中A’和B’分别表示A和B的补事件。

题目解答
（1）根据概率的加法公式：
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
0.7 = 0.5 + 0.3 - P(A ∩ B)
解得P(A ∩ B) = 0.1。
（2）根据德摩根定律：
P(A’ ∩ B’) = P((A ∪ B)’) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.7 = 0.3。

---

例题4

题目内容
某工厂生产的产品中，有5%是次品。现从产品中随机抽取3件，设X表示抽到的次品数。
（1）写出X的概率分布；
（2）求至少有一件次品的概率。

题目解答
（1）X服从二项分布B(3, 0.05)。
概率分布为：
P(X = k) = C(3, k) × (0.05)^k × (0.95)^(3-k)，k = 0, 1, 2, 3。
具体值：
P(X=0) = (0.95)^3 ≈ 0.8574，
P(X=1) = 3 × 0.05 × (0.95)^2 ≈ 0.1354，
P(X=2) = 3 × (0.05)^2 × 0.95 ≈ 0.0071，
P(X=3) = (0.05)^3 = 0.000125。
（2）至少有一件次品的概率为：
1 - P(X=0) ≈ 1 - 0.8574 = 0.1426。