第六章 常微分方程
练习题
例题1
求解一阶线性微分方程：
\[\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}\]并求满足初始条件 \(y(0) = 1\) 的特解。
解答
该方程为一阶线性微分方程，标准形式为 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)，其中 \(P(x) = 2\)，\(Q(x) = e^{-x}\)。
积分因子为 \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int 2dx} = e^{2x}\)。
将方程两边乘以积分因子：
左边可写为 \(\frac{d}{dx}(e^{2x}y)\)，因此：
\[\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^{x}\]两边积分：
\[e^{2x}y = \int e^{x}dx = e^{x} + C\]解得：
\[y = e^{-x} + Ce^{-2x}\]代入初始条件 \(y(0) = 1\)：
\[1 = e^{0} + Ce^{0} = 1 + C \implies C = 0\]因此特解为：
\[y = e^{-x}\]例题2
求解二阶常系数齐次微分方程：
\[y'' - 4y' + 4y = 0\]并求通解。
解答
该方程为二阶常系数齐次微分方程，特征方程为：
解得：
\[(r - 2)^2 = 0 \implies r = 2 \quad (\text{二重根})\]因此通解为：
\[y = (C_1 + C_2x)e^{2x}\]其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 为任意常数。
例题3
求解可分离变量微分方程：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}\]并求满足初始条件 \(y(1) = 2\) 的特解。
解答
该方程为可分离变量微分方程，分离变量得：
两边积分：
\[\int y \, dy = \int x \, dx \implies \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C\]化简得：
\[y^2 = x^2 + 2C \implies y^2 = x^2 + C_1 \quad (C_1 = 2C)\]代入初始条件 \(y(1) = 2\)：
\[2^2 = 1^2 + C_1 \implies 4 = 1 + C_1 \implies C_1 = 3\]因此特解为：
\[y^2 = x^2 + 3 \quad \text{或} \quad y = \sqrt{x^2 + 3} \quad (\text{取正根，因初始值为正})\]例题4
求解伯努利方程：
\[\frac{dy}{dx} + y = xy^2\]并求通解。
解答
该方程为伯努利方程，形式为 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n\)，其中 \(n=2\)。
令 \(z = y^{1-n} = y^{-1}\)，则 \(\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\frac{dy}{dx}\)。
原方程两边除以 \(y^2\)：
代入 \(z = y^{-1}\)，\(\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\frac{dy}{dx}\)，得：
\[-\frac{dz}{dx} + z = x \implies \frac{dz}{dx} - z = -x\]这是一阶线性微分方程，其中 \(P(x) = -1\)，\(Q(x) = -x\)。
积分因子为 \(\mu(x) = e^{\int -1 dx} = e^{-x}\)。
两边乘以积分因子：
左边为 \(\frac{d}{dx}(e^{-x}z)\)，因此：
\[\frac{d}{dx}(e^{-x}z) = -xe^{-x}\]积分得：
\[e^{-x}z = \int -xe^{-x}dx\]使用分部积分，令 \(u = -x\)，\(dv = e^{-x}dx\)，则 \(du = -dx\)，\(v = -e^{-x}\)：
\[\int -xe^{-x}dx = -x(-e^{-x}) - \int -e^{-x}(-dx) = xe^{-x} - \int e^{-x}dx = xe^{-x} + e^{-x} + C\]因此：
\[e^{-x}z = xe^{-x} + e^{-x} + C \implies z = x + 1 + Ce^{x}\]代回 \(z = y^{-1}\)，得：
\[y^{-1} = x + 1 + Ce^{x} \implies y = \frac{1}{x + 1 + Ce^{x}}\]其中 \(C\) 为任意常数。