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三、零点问题

例 17 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 。证明：存在 $x_0 \in [0, 1]$ ，使

f(x_0) = x_0.

【证】命 $\varphi(x) = f(x) - x$ 。由 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ，所以有

\varphi(0) = f(0) - 0 \geqslant 0, \quad \varphi(1) = f(1) - 1 \leqslant 0.

若 $\varphi(0) = 0$ ，则取 $x_0 = 0 \in [0, 1]$ 使 $\varphi(0) = 0$ ，即 $f(0) = 0$ ，便完成了证明。

若 $\varphi(1) = 0$ ，则取 $x_0 = 1 \in [0, 1]$ 使 $\varphi(1) = 0$ ，即 $f(1) = 1$ ，也完成了证明。

不然，有 $\varphi(0) > 0, \varphi(1) < 0$ ，由零点定理知，存在 $x_0 \in (0, 1)$ 使 $\varphi(x_0) = 0$ ，即

f(x_0) = x_0,

证毕。

例 18 讨论方程 $\ln x = \frac{x}{e} - 1$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内根的个数及范围。

【解】令 $F(x) = \frac{x}{e} - 1 - \ln x$ ，则 $F'(x) = \frac{1}{e} - \frac{1}{x} = \frac{x - e}{ex}$ 。由 $F'(x) = 0$ ，得 $x = e$ 。

当 $0 < x < e$ 时， $F'(x) < 0$ ， $F(x)$ 单调减少；当 $e < x < +\infty$ 时， $F'(x) > 0$ ， $F(x)$ 单调增加。

又 $F(0^+) = +\infty > 0, F(e) = -1 < 0, F(+\infty) = +\infty > 0$ 。

方程 $\ln x = \frac{x}{e} - 1$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内有且仅有两个不同的实根，一个根在 $(0, e)$ 内，另一个根在 $(e, +\infty)$ 内。

例 19 求证：方程 $x + p + q \cos x = 0$ 恰有一个实根，其中 $p, q$ 为常数且 $0 \leqslant q < 1$ 。

【证】令 $f(x) = x + p + q \cos x, f'(x) = 1 - q \sin x > 0$ ，则 $f(x)$ 是单调递增的，方程 $f(x) = x + p + q \cos x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内最多有一个实根。

又 $f(-\infty)=-\infty, f(+\infty)=+\infty$ ，因而方程至少有一个实根.
所以方程 $x + p + q\cos x = 0$ 恰有一个实根.

以下设所提到的导数存在，则有结论：如果 $f(x)$ 有 $k (k \geq 2)$ 个零点，则 $f'(x)$ 至少有 $(k-1)$ 个零点； $\cdots$ ； $f^{(k-1)}(x)$ 至少有 1 个零点.

以下设所提到的导数存在，则有结论：

例 20 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内存在一阶导数，下列论断正确的是

(A) 若 $f(x)$ 只有一个零点，则 $f'(x)$ 必定无零点.

(B) 若 $f'(x)$ 至少有一个零点，则 $f(x)$ 必至少有两个零点.

(D) 若 $f'(x)$ 没有零点，则 $f(x)$ 至多有一个零点.

方法一 对 (D) 选项，用反证法。设 $f(x)$ 有 2 个或 2 个以上零点，则由上面的定理知， $f'(x)$ 有 1 个或 1 个以上零点，矛盾。故 $f(x)$ 至多有 1 个零点.

方法二 也可举反例排除 (A) (B) (C).

(A) 的反例： $f(x) = (x+3)(x^2-3x+6) = x^3-3x+18$ , $f'(x) = 3(x^2-1)$ , $f(x)$ 只有 1 个零点 $x = -3$ ，但 $f'(x)$ 却有 2 个零点.

(B) 的反例同 (A) 的反例： $f'(x)$ 有 2 个零点（至少 1 个），但 $f(x)$ 却只有 1 个零点.

例 21 设 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 内可导，下述论断正确的是

(A) 设存在 $X > 0$ ，在区间 $(X, +\infty)$ 内 $f'(x)$ 有界，则 $f(x)$ 在 $(X, +\infty)$ 内亦必有界.

(B) 设存在 $X > 0$ ，在区间 $(X, +\infty)$ 内 $f(x)$ 有界，则 $f'(x)$ 在 $(X, +\infty)$ 内亦必有界.

(D) 设存在 $\delta > 0$ ，在 $(0, \delta)$ 内 $f(x)$ 有界，则 $f'(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内亦有界.

解应选 (C). 要讨论 $f'(x)$ 与 $f(x)$ 的关系，用拉格朗日中值定理。取 $x_0 \in (0, \delta)$ , $x \in (0, \delta)$ ，有 $f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x-x_0)$ ,

|f(x)| \leq \left|f(x_0)\right| + \left|f'(\xi)\right| \cdot \left|x-x_0\right| \leq \left|f(x_0)\right| + M \cdot \delta,

所以 $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内有界，其中 $\left|f'(x)\right| \leq M$ ，当 $x \in (0, \delta)$ .

(A) 的反例： $f(x) = x$ , $f'(x) = 1$ ，在区间 $(1, +\infty)$ 内 $f'(x)$ 有界，但 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 内无界.

(B) 的反例： $f(x) = \frac{1}{x} \sin x^3$ , $f'(x) = -\frac{1}{x^2} \sin x^3 + 3x \cos x^3$ ，在区间 $(1, +\infty)$ 内 $f(x)$

有界，在 $(1,+\infty)$ 内 $f'(x)$ 无界.

(D) 的反例： $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ ， $f'(x)=\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ ，在区间 $(0,1)$ 内 $f(x)$ 有界，在 $(0,1)$ 内 $f'(x)$ 无界.

【评注】

(1) 在有限区间上，以 $f(x)$ 或 $f'(x)$ 有界为条件，只有下述命题是正确的：“设 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界”.

(2) 在有限区间上，以 $f(x)$ 或 $f'(x)$ 无界为条件，只有下述命题是正确的：“设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上无界，则 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 上必无界”.

(3) 在无穷区间上，以 $f(x)$ 或 $f'(x)$ 无界为条件，分别推不出 $f'(x)$ 或 $f(x)$ 关于有界、无界的结论.