1. 微分的概念

定义（微分） 设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果函数的增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 可以表示为

其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数，$o(\Delta x)$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可.

定理 函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且有

在点 $x$ 处，常记 $\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x$。

【注】

（1）函数 $y = f(x)$ 的微分 $\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x$，等于函数的导数 $f'(x)$ 乘以自变量的微分 $\mathrm{d}x$。

（2）若函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 点可微，则函数的增量 $\Delta y$ 与函数的微分 $\mathrm{d}y$ 之间满足 $\Delta y = \mathrm{d}y + o(\Delta x)$。

例 30

设函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可微，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则当 $\Delta x \to 0$ 时，必有

(A) $\mathrm{d}y$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小量。

(B) $\mathrm{d}y$ 是比 $\Delta x$ 低阶的无穷小量。

(C) $\Delta y - \mathrm{d}y$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小量。

(D) $\Delta y - \mathrm{d}y$ 是与 $\Delta x$ 同阶的无穷小量。

【解】

因 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 点可微，由微分定义知 $\Delta y = \mathrm{d}y + o(\Delta x)$，即 $\Delta y - \mathrm{d}y = o(\Delta x)$，则 $\Delta y - \mathrm{d}y$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小量，知选项 (C) 正确。

而 $\mathrm{d}y = f'(x_0) \Delta x$，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\Delta x} = f'(x_0)$，由于 $f'(x_0)$ 是否为零不清楚，则 (A) 不一定正确，(B) 不正确，(D) 也不正确，故应选 (C)。

例 31

若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = 3$，则 $y = f(x)$ 在 $x = a$ 点的微分 $\mathrm{d}y =$ ______。

【解】

由导数定义知，$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = 3$，则 $y = f(x)$ 在 $x = a$ 点可导，所以 $y = f(x)$ 在 $x = a$ 点可微，微分 $\mathrm{d}y = f'(a) \mathrm{d}x = 3 \mathrm{d}x$。

例 32

（2002，数二）设函数 $f(u)$ 可导，$y = f(x^2)$ 当自变量 $x$ 在 $x = -1$ 处取得增量 $\Delta x = -0.1$ 时，相应的函数增量 $\Delta y$ 的线性主部为 0.1，则 $f'(1) =$

(A) -1。

(B) 0.1。

(C) 1。

(D) 0.5。

【解】

由微分定义知，$\Delta y$ 的线性主部即为函数在 $x = -1$ 处的微分 $\mathrm{d}y$。

则

又

于是有 $0.2f'(1) = 0.1$，所以 $f'(1) = 0.5$。

故应选 (D)。

例 33

（1988，数一、二、三）若函数 $y = f(x)$ 有 $f'(x_0) = \frac{1}{2}$，则当 $\Delta x \to 0$ 时，该函数在 $x = x_0$ 处的微分 $\mathrm{d}y$ 是

(A) 与 $\Delta x$ 等价的无穷小。

(B) 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小。

(C) 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小.

(D) 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小.

【解】 由微分定义及计算公式得 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的微分 $dy = f'(x_0) \Delta x = \frac{1}{2} \Delta x$，
则

所以 $dy$ 与 $\Delta x$ 是同阶无穷小.
故应选(B).

2. 微分的几何意义

微分 $dy = f'(x_0) dx$ 在几何上表示曲线 $y = f(x)$ 的切线上的点的纵坐标的增量.
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y = f(x)$ 上的点的纵坐标的增量.
当自变量的增量 $|\Delta x|$ 充分小时, $\Delta y \approx dy$.

例 34

设 $y = f(x)$ 具有二阶导数，且 $f'(x) < 0$, $f''(x) < 0$. $\Delta x$ 为自变量在 $x_0$ 处的增量，$\Delta y$ 与 $dy$ 分别为 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x > 0$，则
(A) $0 < dy < \Delta y$.
(B) $0 < \Delta y < dy$.
(C) $\Delta y < dy < 0$.
(D) $dy < \Delta y < 0$.

【解】 因 $f'(x) < 0$, $f''(x) < 0$，则曲线 $y = f(x)$ 单调递减，是凸的.
因此，当 $\Delta x > 0$ 时，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) < 0$, $dy = f'(x_0) \Delta x < 0$，故排除(A)(B)选项.
因曲线是凸的，则曲线在下，切线在上，由微分的几何意义，有 $\Delta y < dy$，所以 $0 > dy > \Delta y$. 故应选(C).

【评注】 利用泰勒公式 $f(x_0 + \Delta x) = f(x_0) + f'(x_0) \Delta x + \frac{f''(\xi)}{2}(\Delta x)^2$，即 $\Delta y = dy + \frac{f''(\xi)}{2}(\Delta x)^2 < dy < 0$.