三、微分的计算

若函数 $y = f(x)$ 可微，则其微分计算公式为

即函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。

微分的四则运算法则

设 $u(x)、v(x)$ 可微，则：

一阶微分形式的不变性

设 $y = f(u)$ 对 $u$ 可导，$u = \varphi(x)$ 可导，
则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 的微分为

即复合函数的微分等于外层函数的导数乘以内层函数的微分。

也就是说对于函数 $y = f(u)$，无论 $u$ 是自变量还是中间变量，$y = f(u)$ 的微分形式式总可以写为

【注】
对应于初等函数的求导公式也有求微分公式，如

等。

例 46

求函数 $y = x^2 e^x + x - 3$ 的微分。

【解】

方法一

则

方法二

展开：

整理：

例 47

求 $y = \dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ 的微分。

【解】

方法一

则

方法二

展开后：

整理得：

例 48

设

求

【解】

方法一

因此

于是有

方法二

所以

例 49

（2000，数二）设函数 $y = y(x)$，由方程 $2^{xy} = x+y$ 所确定，
则

【解】

方法一
对方程 $2^{xy} = x+y$ 两边关于 $x$ 求导数，得：

将 $x=0$ 代入原方程得 $y=1$，再将 $x=0, y=1$ 代入上式得：

故

方法二
对方程 $2^{xy} = x+y$ 两边求微分，得：

解得：

将 $x=0$ 代入原方程得 $y=1$，
再将 $x=0, y=1$ 代入上式得：

例 50

（2005，数二）设 $y = (1+\sin x)^x$，则

【解】

$y = (1+\sin x)^x = e^{x\ln(1+\sin x)}$，
则

所以

因此

本题也可用对数求导法来求导数。

例 51

（1996，数四）设方程 $x = y^y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，
则

【解】

对方程 $x = y^y$ 两边取对数，得：

对方程 $\ln x = y \ln y$ 两边关于 $x$ 求导，得：

化简得：

解得：

所以：

也可对方程两边求微分，直接求出 $\mathrm{d}y$。